2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x|≤2}，B={a,0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,2]B. [−2,0)∪(0,2]C. (−2,2)D. (−2,0)∪(0,2)
2.已知点P(tanθ,sinθ)是第二象限的点，则θ的终边位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若a，b∈R，则“2a−b>1”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x−18，则f(x)<0的解集为( )
A. (−3,0)∪(0,3)B. (−3,3)
C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)
5.已知点(3,19)在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(lg25)，b=f(ln2)，c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
6.函数f(x)=x2lg2+x2−x的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.若关于x的方程2sinxcsx−cs2x=1在[0,π)内有两个不同的解x1，x2，sin(x1+x2)的值为( )
A. 12B. 22C. 32D. 2+ 64
8.已知函数f(x)=sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
B. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2
C. 终边落在直线y=x上的角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}
D. 函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}
10.设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是( )
A. 1x+1y的最小值为2B. xy的最小值为1
C. x+ y的最大值为4D. x2+y2的最小值为2
11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)，且经过点(1,2).则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x+14)是奇函数
B. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递减
C. ∃n∈N*，使得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)>2
D. ∀x∈R，存在常数m使得f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=m
12.若n∈N*时，不等式(nx−6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x可取下面哪些值( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)= x+4+ln(1−x)，则f(2x)的定义域为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点(35,45)，则tan2α= ______．
15.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒______次.(lg2≈0.3010)
16.已知函数f(x)=sin(2x+π6),g(x)=f(x2+π4)，若对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x+1x−5>0}，B={x|y= 3x−9}，C=(−∞,2m+1]，其中m∈R．
(1)若(∁RA)∩B；
(2)若A∪C=R，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知tanα是关于x的方程2x2+x−1=0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α−sinαcsα+2cs2α的值；
(2)已知sinα+csα=12，且α∈(0,π)，求1sinα−1csα的值．
19.(本小题12分)
已知f(x)=2 3sinxcsx−2sin2x．
(1)求函数y=f(x)在R上的单调增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)的图象关于直线x=π6对称，求m取最小值时的y=g(x)的解析式．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(2x)⋅lg2x4．
(1)当x∈[1,4]时，求该函数的值域；
(2)若f(x)21.(本小题12分)
深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min，其中心O距离地面40.5m，半径40m.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t(单位：min)之后，请解答下列问题．
(1)求出你与地面的距离h(单位：m)与时间t之间的函数解析式；
(2)当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=ax2−|x−a|，a∈R．
(1)当a=1时，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当−1≤a≤2时，若对任意的x∈[1,4]，均有f(x)+bx≤0成立，求a2+b的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x|≤2}={x|−2≤x≤2}，B={a,0}，
B⊆A，则实数a的取值范围是[−2,0)∪(0,2]．
故选：B．
根据集合B是集合A的子集，结合集合B中元素的互异性求解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为点P(tanθ,sinθ)在第二象限，
所以sinθ>0，tanθ<0，所以θ为第二象限角．
故选：B．
点P在第二象限，根据坐标特征得sinθ，tanθ的符号，即可得θ所在象限．
本题考查三角函数符号，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据指数函数y=2x是R上的增函数，
可知2a−b>1等价于2a−b>20，即a−b>0，
因为“a−b>0”是“a>b”的充要条件，
所以“2a−b>1”是“a>b”的充要条件．
故选：C．
根据指数函数的性质化简“2a−b>1”，得到的结论与“a>b”加以比较，即可得到本题的答案．
本题主要考查指数函数的性质、充要条件的判断及其应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x−18，
当x>0时，−x<0，
所以f(−x)=2−x−18=−f(x)，
所以f(x)=18−12x，
又f(0)=0，
则f(x)<0可转化x<02x−18<0或x>018−12x<0，
解得，x<−3或0故选：C．
先由奇偶性求解f(x)，再由指数函数单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了指数函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵点(3,19)在幂函数f(x)=xα的图象上，
∴3α=19，
∴α=−2，
∴f(x)=x−2，在(0,+∞)上单调递减，
∵lg25>lg24=2，0=ln1∴0∴f(ln2)>f(tanπ3)>f(lg25)，即b>c>a．
故选：D．
把点(3,19)代入幂函数f(x)的解析式求出α的值，进而可得f(x)在(0,+∞)上单调递减，再结合对数函数的性质可知0本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由2+x2−x>0解得−2f(−x)=x2lg2−x2+x=x2lg(2+x2−x)−1=−x2lg2+x2−x=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC选项．
f(1)=lg3>0，由此排除D选项．
故选：A．
根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案．
本题主要考查了函数的性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：2sinxcsx−cs2x=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)=1在[0,π)内有两个不同的解x1，x2，
等价于sin(2x−π4)= 22在[0,π)内有两个不同的解x1，x2，
x∈[0,π)⇒2x−π4∈[−π4，7π4)，
依题意，得2x1−π4+2x2−π4=π，解得x1+x2=3π4，
sin(x1+x2)=sin3π4= 22．
故选：B．
原问题等价于sin(2x−π4)= 22在[0,π)内有两个不同的解x1，x2，利用正弦函数的性质可求得x1+x2=3π4，进而可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想方法，属于难题．
由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj(i,j=1,2,3,…,m)，都有|f(xi)−f(xj)|≤f(x)max−f(x)min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】
解：∵y=sinx对任意xi，xj(i,j=1,2,3,…,m)，
都有|f(xi)−f(xj)|≤f(x)max−f(x)min=2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点，
考虑0≤x1按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故选：C．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由任意角的定义可知，若角α与角β不相等，则α与β的终边也可能重合，例如α=π6，β=13π6，故A错误；
对于B，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为12×lα×l=12×ππ3×π=32π，故B正确；
对于C，终边落在直线y=x上的角的集合是{α|π4+kπ,k∈Z}，故C正确；
对于D，由正切函数的定义域可得，2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，
∴x≠π3+kπ2，即函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2,k∈Z}，故D正确．
故选：BCD．
由任意角的定义可判断A，由扇形的面积公式可判断B，由终边相同角的定义可判断C，由正切函数的定义域可判断D．
本题主要考查了任意角的定义，考查了扇形的面积公式，以及正切函数的定义域，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵x>0，y>0，x+y=2，
∴1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2 yx⋅xy)=2，
当且仅当yx=xy，即x=y=1时等号成立，故选项A正确；
∵x+y=2≥2 xy，
∴xy≤1，当且仅当x=y=1时，等号成立，故选项B错误；
∵2(a2+b2)−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2≥0，
则2(a2+b2)≥(a+b)2，
∴(a+b)2≤2(a2+b2)，
∴( x+ y)2≤2[( x)2+( y)2]=4，∴ x+ y≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；
x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x=y=1时等号成立，故选项D正确．
故选：AD．
利用基本不等式得到选项AD正确；xy的最大值为1，所以选项B错误； x+ y的最大值为2，所以选项C错误．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)经过(1,2)，
所以sin(2π3+φ)=1，即2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π6，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=−π6，则f(x)=2sin(2π3x−π6).
对于A，f(x+14)=2sin[2π3(x+14)−π6]=2sin2π3x，故为奇函数，所以A正确；
对于B，x∈(1,2)时，，结合正弦函数的性质可知x∈(1,2)时，f(x)单调递减，所以B正确；
对于D，f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=2sin(2π3x+π2)+2sin(2π3x+7π6)+2sin(2π3x+2π−π6)=2cs2π3x−2sin(2π3x+π6)+2sin(2π3x−π6)=2cs2π3x−2(sin2π3xcsπ6+cs2π3xsinπ6)+2(sin2π3xcsπ6−cs2π3xsinπ6)=2cs2π3x−2cs2π3x=0，所以f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)恒为0，所以D正确；
对于C，当n=3k，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=0，
当n=3k+1，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=f(n)=2sin(2π3n−π6)≤2，
当n=3k+2，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=f(n−1)+f(n)=2sin(2π3n−5π6)+2sin(2π3n−π6)=2(sin2π3n⋅cs5π6−cs2π3n⋅sin5π6)+2(sin2π3n⋅csπ6−cs2π3n⋅sinπ6)=−2cs2π3n≤2，所以C错误．
故答案为：ABD．
由f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)经过(1,2)可求出f(x)的解析式，利用正弦函数的对称性可判断A的真假；利用正弦函数的单调性可判断B的真假；求f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)的值，可判断D真假，利用f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=0，分n=3k，k∈N*、n=3k+1，k∈N*、n=3k+2，k∈N*三种情况求f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)的化简式可判断C真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题也是易错题．
12.【答案】BC
【解析】解：当x=1时，n=2时，(n−6)lnn=−4ln2<0，不等式(nx−6)ln(nx)≥0不恒成立，故A错误；
当x=2时，不等式即为(2n−6)lnn2≥0，当n=1，2，3时，原不等式恒成立；n≥4时，原不等式恒成立，故B正确；
当x=3时，不等式即为(3n−6)lnn3≥0，当n=1，2，3时，原不等式恒成立；n≥4时，原不等式恒成立，故C正确；
当x=4时，不等式即为(4n−6)lnn4≥0，当n=2时，8−6=2，ln12<0，原不等式不恒成立，故D错误．
故选：BC．
由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确结论．
本题考查不等式恒成立问题，以及对数的运算性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】[−2,12)
【解析】解：由题意得，x+4≥01−x>0，解得−4≤x<1，
令−4≤2x<1，则−2≤x<12，
故f(2x)的定义域为[−2,12).
故答案为：[−2,12).
先求出函数f(x)的定义域，进而可求．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】−247
【解析】解：由角终边经过点(35,45)，
故tanα=4535=43，
则tan2α=2tanα1−tan2α=2×431−(43)2=−247．
故答案为：−247．
由正切函数的定义可得tanα，借助正切函数的二倍角公式计算即可得．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：设喷洒x次，则：(1−0.8)x<0.1%=10−3，
∴xlg0.2<−3，
∴x>31−lg2，且lg2≈0.3010，
∴31−lg2≈4.3，
∴x≥5，即至少喷洒5次．
故答案为：5．
可设喷洒x次，根据题意可得出x>31−lg2，代入lg2≈0.3010即可求出x≥5，从而得出答案．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】(π2,17π24]
【解析】解：g(x)=f(x2+π4)=sin(x+π2+π6)=cs(x+π6)，
所以f(a)−f(b)所以sin(2a+π6)−sin(2b+π6)所以sin(2a+π6)−cs(2a+π6)所以 2sin(2a+π6−π4)< 2sin(2b+π6−π4)⇒sin(2a−π12)因为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)所以对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，2a−π12>2b−π12,sin(2a−π12)x∈[π−m,m],2x−π12∈[23π12−2m,2m−π12]．
不妨设2x−π12=t，则问题转化成h(t)=sint在t∈(23π12−2m,2m−π12)单调递减，
所以23π12−2m≥π2+2kπ,2m−π12≤3π2+2kπ,2m−π12>23π12−2m其中k∈Z，解得π2所以m的取值范围为(π2,17π24]．
故答案为：(π2,17π24]．
将问题转化为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，sin(2a−π12)本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
17.【答案】解：(1)集合A={x|x+1x−5>0}={x|x<−1或x>5}，
B={x|y= 3x−9}={x|x≥2}，
∴∁RA={x|−1≤x≤5}，
∴(∁RA)∩B={x|2≤x≤5}；
(2)∵A∪C=R，C=(−∞,2m+1]，其中m∈R．
∴2m+1≥5，解得m≥2，
∴m的取值范围是[2,+∞)．
【解析】(1)求出集合A，B，∁RA，利用交集定义能求出(∁RA)∩B；
(2)由A∪C=R，C=(−∞,2m+1]，得2m+1≥5，由此能求出m的取值范围．
本题考查补集、交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)解方程2x2+x−1=0，得x1=−1，x2=12，
∵tanα是关于x的方程2x2+x−1=0的一个实根，且α是第一象限角，
∴tanα=12，
∴3sin2α−sinαcsα+2cs2α
=3sin2α−sinαcsα+2cs2αsin2α+cs2α
=3tan2α−tanα+2tan2α+1
=3×14−12+214+1=95．
(2)∵sinα+csα=12，且α∈(0,π)，
∴(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=14，
∴2sinαcsα=−34，
∵α∈(0,π)，∴α∈(π2,π)，
∴cs−sinα=− (csα−sinα)2=− 1−2sinθcsθ=− 1+34=− 72，
∴1sinα−1csα=csα−sinαsinαcsα=− 72−38=4 73．
【解析】(1)解方程2x2+x−1=0，求出tanα=12，利用同角三角函数关系式能求出结果．
(2)由sinα+csα=12，且α∈(0,π)，得2sinαcsα=−34，从而cs−sinα=− (csα−sinα)2=− 1−2sinθcsθ=− 72，再由1sinα−1csα=csα−sinαsinαcsα，能求出结果．
本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由于f(x)=2 3sinxcsx−2sin2x= 3sin2x−2⋅1−cs2x2=2sin(2x+π6)−1，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位，可得y=2sin(2x+2m+π6)−1的图象；
再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g(x)=2sin(x+2m+π6)−1的图象．
若函数y=g(x)的图象关于直线x=π6对称，则π6+2m+π6=kπ+π2，k∈Z，即m=12⋅kπ+π12，k∈Z．
令k=0，求得m取最小值为π12，此时，y=g(x)=2sin(2x+π3)−1．
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得y=g(x)的解析式．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=lg2(2x)⋅lg2x4=(1+lg2x)(lg2x−2)=lg22x−lg2x−2，
令lg2x=t，则函数化为y=t2−t−2，t∈[0,2]，
因此当t=12时，y=t2−t−2取得最小值−94，
当t=2时，y=t2−t−2，t∈[0,2]取得最大值0，
即当x= 2时，函数f(x)取得最小值−94；当x=4时，函数f(x)取得最大值0，
可得函数的值域为[−94,0]；
(2)f(x)即lg22x−(m+1)lg2x−2<0，x∈[2,8]恒成立，
令lg2x=t，则t2−(m+1)t−2<0，t∈[1,3]恒成立，
令g(t)=t2−(m+1)t−2<0，t∈[1,3]，
则g(1)=−2−m<0g(3)=4−3m<0，
解得m>43，
所以实数m的取值范围为(43,+∞)．
【解析】(1)由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域；
(2)由题意可得lg22x−(m+1)lg2x−2<0，x∈[2,8]恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
本题考查函数的值域求法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和换元法、运算能力和推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知可设y=40.5−40csωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t=6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，
所以6ω=π，即ω=π6，
所以y=40.5−40csπ6t，t≥0；
(2)建立如图坐标系，设你到达点P，你朋友到达点Q，
只有PQ⊥地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，
如图容易知道朋友转了π3时符合要求，π6t=π3，即t=2(分钟)，
最大距离为：PQ=r=40(米)．
【解析】(1)依据题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的转动周期为12分钟，振幅为40，可以求得函数解析式；
(2)建立坐标系，设你到达点P，你朋友到达点Q，只有PQ⊥地面时，你和你的朋友与地面的距离之差最大，容易求出t=2(分钟)，最大距离为PQ=40(米)．
本题考查了三角函数的图象和性质，涉及实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得当a=1时，函数f(x)=x2−|x−1|，且函数f(x)的定义域为R，
∴f(−x)=x2−|−x−1|=x2−|x+1|，
∵f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，
∴f(x)是非奇非偶函数；
(2)因为当−1≤a≤2时，若对任意的x∈[1,4]，均有f(x)+bx=ax2−|x−a|+bx≤0成立，
∴令g(x)=ax2−|x−a|+bx=ax2−x+a+bx,x≥aax2+x−a+bx,x①当a=0时，g(x)=bx−x=(b−1)x≤0，对任意的x∈[1,3]恒成立，
即3(b−1)≤0，解得b≤1，a2+b=b的最大值为1；
②当−1≤a<0时，g(x)=ax2−(x−a)+bx=ax2+(b−1)x+a，x∈[1,3]，
对称轴为x=1−b2a，
(i)1−b2a≤1，则1−b≥2a，(a<0不等号方向改变)，g(1)≤0即a+b−1+a≤0，
所以b≤1−2a，则a2+b≤a2−2a+1=(a−1)2，a2+b的最大值为1；
(ii)1−b2a≥3时，1−b≤6a，即b≥1−6a，所以g(3)≤0，即b≤1−103a，无解；
(iii)1<1−b2a<3时，1−2a即4a2≥(1−b)2，所以1+2a≤b≤1−2a无解；
③当0对称轴为x=1−b2a，
(i)1−b2a≤1，则1−b≤2a，g(3)≤0即b≤1−103a，无解；
(ii)1−b2a≥3时，1−b≥6a，即b≤1−6a，g(1)≤0，b≤1−2a，则b≤1−6a，
则a2+b≤a2−6a+1=(a−3)2−8，
∵0(iii)1<1−b2a<3时，1−6a≤b≤1−2a，g(3)≤0，g(1)≤0，
则b≤1−103a且b≤1−2a，
∴1−6a≤b≤1−103a，则a2+b≤a2+1−103a，a2+b的最大值为1；
④当1≤a≤2时，g(x)=ax2−x+a+bx,a≤x≤3ax2+x−a+bx,1≤x≤a，
g(3)≤0，g(1)≤0，g(a)≤0，
即a+1−a+b≤0a3+ab≤09a−3+a+3b≤0，则b≤−1b≤−a2b≤1−10a3，
而1≤a≤2，
∴b≤1−10a3，则a2+b≤a2+1−103a，
令p(a)=a2+1−103a，1≤a≤2，
则p′(a)=2a−103，即p(a)在[1,53]上单调递减，在[53,2]上单调递增，
又p(1)=−43，p(2)=−53，
所以p(a)的最大值为−43．
综上所述，对任意的x∈[1,3]，均有f(x)+bx≤0成立，
则a2+b的最大值为−43(所有最大值中的最小值)．
【解析】(1)由题意得当a=1时，函数f(x)=x2−|x−1|，且函数f(x)的定义域为R，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案；
(2)讨论去绝对值，然后讨论a，以及对称轴与区间的位置关系，可求出a与b的关系式，然后分别求出a2+b的最大值，从而可求出所求．
本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．