2023-2024学年湖北省襄阳四中高一（下）质检数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳四中高一（下）质检数学试卷（一）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若角α的终边与单位圆相交于点P(12,− 32)，则tanα等于( )
A. 12B. − 32C. − 33D. − 3
2.若π<α<3π2，则 1−sinα1+sinα+ 1+sinα1−sinα的化简结果( )
A. 2tanαB. −2tanαC. 2sinαD. −2csα
3.已知α为锐角，且cs(α+π6)= 33，则tan(π3−α)=( )
A. − 22B. − 2C. 2D. 22
4.设扇形的周长为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )
A. 4cm2B. 1cm2C. 3cm2D. 2cm2
5.已知函数f(x)= 3sin2x−2cs2x+1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x1)⋅g(x2)=9，则|x1−x2|的值可能为( )
A. 5π4B. 3π4C. π2D. π3
6.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+1，则下列结论成立的是( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于直线x=π6对称
C. f(x)的最小值与最太值之和为0D. f(x)在(−π2,π2)上单调递增
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<−π2)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. g(x+π3)为偶函数
B. g(x)的最小正周期是π
C. g(x)的图象关于直线x=π2对称
D. g(x)在区间(7π12,π)上单调递减
8.“函数φ(x)的图象关于点(m,n)对称”的充要条件是“对于函数φ(x)定义域内的任意x，都有φ(x)+φ(2m−x)=2n”.若函数g(x)=bx+cx−2的图象关于点(2,2)对称，且g(1)=3，则函数h(x)=g(x+2)−2与y=sinx在[−100π,99π]内的交点个数为( )
A. 196B. 198C. 199D. 200
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列代数式的值为14的是( )
A. cs275°−sin275°B. tan15°1+tan215∘
C. cs36°cs72°D. 2cs20°cs40°cs80°
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. f(x)的最小正周期是2π
B. f(x+7π12)是奇函数．
C. f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增
D. 直线x=−17π12是曲线y=f(x)的一条对称轴
11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)，且经过点(1,2).则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x+14)是奇函数
B. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递减
C. ∃n∈N*，使得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)>2
D. ∀x∈R，存在常数m使得f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=−3sin(ωx+π3)的最小正周期是2π，则ω= ______．
13.已知0<β<α<π2，点P(1,4 3)为角α终边上的一点，且sinαsin(π2−β)+csαcs(π2+β)=3 314，则角β= ．
14.已知函数f(x)=sin(2x+π6),g(x)=f(x2+π4)，若对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α是第三象限角，tanα=12．
(1)求sinα，csα的值；
(2)求1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最值．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=csx⋅sin(x+π3)− 3cs2x+ 34，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[−π6,π4]上的值域．
18.(本小题17分)
如图是一种升降装置结构图，支柱OP垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱OP上，轨道最低点D，PD=2，OD=12.液压杆OA、OB，牵引杆CA、CB，水平横杆AB均可根据长度自由伸缩，且牵引杆CA、CB分别与液压杆OA、OB垂直.当液压杆OA、OB同步伸缩时，铰点A、B在圆形轨道上滑动，铰点C、E在支柱OP上滑动，水平横杆AB作升降运动(铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动)．
(1)设劣弧AD的长为x，求水平横杆AB的长和AB离水平地面的高度OE(用x表示)；
(2)在升降过程中，求铰点C、E距离的最大值．
19.(本小题17分)
设n次多项式Pn(t)=antn+an−1tn−1+…+a2t2+a1t+a0(an≠0)，若其满足Pn(csx)=csnx，则称这些多项式Pn(t)为切比雪夫多项式.例如：由csθ=csθ可得切比雪夫多项式P1(x)=x，由cs2θ=2cs2θ−1可得切比雪夫多项式P2(x)=2x2−1．
(1)若切比雪夫多项式P3(x)=ax3+bx2+cx+d，求实数a，b，c，d的值；
(2)已知函数f(x)=8x3−6x−1在(−1,1)上有3个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，证明：x1+x2+x3=0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，根据三角函数定义，所以tanα=− 3212=− 3．
故选：D．
利用三角函数定义直接计算即可．
本题主要考查了三角函数定义的简单应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵π<α<3π2，∴csα<0．
1−sinα1+sinα+ 1+sinα1−sinα= (1−sinα)2(1+sinα)(1−sinα)+ (1+sinα)2(1−sinα)(1+sinα)
=1−sinα|csα|+1+sinα|csα|
=2|csα|
=−2csα．
故选：D．
由条件利用三角函数的恒等变换化简所给式子的值，可得结果．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为α为锐角，所以α+π6∈(π6,2π3)且cs(α+π6)= 33，所以sin(α+π6)>0sin2(α+π6)+cs2(α+π6)=1，解得sin(α+π6)= 63，
由诱导公式得sin(π3−α)=sin[π2−(α+π6)]=cs(α+π6)= 33，cs(π3−α)=sin(α+π6)= 63．
所以tan(π3−α)=sin(π3−α)cs(π3−α)= 33 63= 22．
故选：D．
注意到(α+π6)+(π3−α)=π2，利用同角三角函数的关系求角α+π6的正弦，再利用诱导公式求角π3−α的正弦、余弦，从而得到π3−α的正切．
本题考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
∵扇形圆心角的弧度数是2，
∴l=2r，
∵l+2r=2r+2r=4r=4，
∴解得：r=1，l=2，
∵S扇=12lr=12×1×2=1．
故选：B．
设扇形的弧长为l，半径为r，由其周长c=l+2r可求r，l，利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)= 3sin2x−2cs2x+1= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
将函数y=f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y=2sin(4x−π6)的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g(x)=2sin(4x−π6)+1的图象，所以函数y=g(x)的值域为[−1,3]．
若g(x1)⋅g(x2)=9，则g(x1)=3且g(x2)=3，均为函数y=g(x)的最大值，
由4x−π6=π2+2kπ(k∈Z)，解得x=π6+kπ2(k∈Z)；
其中x1、x2是三角函数y=g(x)最高点的横坐标，
∴|x1−x2|的值为函数y=g(x)的最小正周期T的整数倍，且T=2π4=π2．
故选：C．
根据三角恒等变换化简函数f(x)，再由图象的平移得到函数g(x)的解析式，利用函数g(x)的值域，可知|x1−x2|的值为函数y=g(x)的最小正周期T的整数倍，从而得出选项．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：对于A：根据T=2π|ω|=2π2=π，
所以函数f(x)的最小正周期是π，故A错误；
对于B：f(π6)=sin(2×π6+π6)+1=sinπ2+1=2，2为函数f(x)的最大值，
所以函数f(x)的关于直线x=π6对称，故B正确；
对于C：函数f(x)的最大值为2，最小值为0，
所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2，故C错误；
对于D：由B知，x=π6是函数f(x)的最大值点，
所以函数f(x)在(−π2,−π3)上单调递减，(−π3,π6)上单调递增，(π6,π2)上单调递减，
故D错误．
故选：B．
对于A：根据T=2π|ω|即可求出；对于B：根据函数在对称轴处取得最值即可验证；对于C：根据函数解析式求出函数的最大值和最小值，验证即可；对于D：由B知，求出函数在区间(−π2,π2)上的单调性即可判断．
本题考查三角函数图像和性质的应用，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<−π2)的部分图象，可得A=2，f(0)=−1，
可得2sinφ=−1，即sinφ=−12，
因为−π<φ<−π2，
可得φ=−5π6，
又因为函数f(x)的周期T满足：T>5π634T<5π6，即2πω>5π634⋅2πω<5π6，解得95<ω<125，
又f(5π6)=0，即有5π6ω+φ=2kπ+π,k∈Z，
而ω>0，
所以ω=12k5+115,k∈N，
可得k=0,ω=115，
可得f(x)=2sin(115x−5π6)，
由题意g(x)=2sin(115×1011x−5π6)=2sin(2x−5π6)，
可得g(x+π3)=2sin[2(x+π3)−5π6]=2sin(2x−π6)，
可得函数y=2sin(2x−π6)为非奇非偶函数，故A错误；
g(x)=2sin(2x−5π6)的最小正周期T=2π2=π，故B正确；
因为g(π2)=2sin(2×π2−5π6)=2sinπ6=1≠±2，
所以g(x)的图象不关于直线x=π2对称，故C错误；
当7π12而正弦函数y=sinx在(π3,π2)上单调递增，在(π2,7π6)上单调递减，
则g(x)的图象不单调，故D错误．
故选：B．
根据给定的图象依次求出A，φ，ω，得函数f(x)的解析式，结合图象变换求出函数y=g(x)，再根据正弦函数性质逐项判断作答．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意g(x)+g(4−x)=4，g(1)=−(b+c)=3，
在g(x)+g(4−x)=4中，不妨令x=1，得g(3)=4−g(1)=1=3b+c，
所以b=2，c=−5，经检验b=2，c=−5满足题意，
所以g(x)=2x−5x−2=2−1x−2，
所以h(x)=g(x+2)−2=−1x，
如图所示：
由于y=sinx与h(x)=−1x都是奇函数，先考虑x>0时的交点个数，
由图可知x>0时，y=sinx与h(x)=−1x的交点分布在这49个区间[π,2π]，[3π,4π]，⋯，[97π,98π]内，
且每个区间内都有2个交点，
同理x<0时，y=sinx与h(x)=−1x的交点分布在这50个区间[−100π,−99π]，[−98π,−97π]，[−2π,−π]内，
且每个区间内都有2个交点，
综上所述，函数h(x)=g(x+2)−2与y=sinx在[−100π,99π]内的交点个数为(49+50)×2=198．
故选：B．
由题意首先得g(x)=2−1x−2，进一步h(x)=−1x，通过数形结合找规律即可得解．
本题主要考查函数方程的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A：cs275°−sin275°=cs150°=−cs30°=− 32，故A不正确；
对于B：tan15°1+tan215∘=sin15°cs15∘1+sin215°cs215∘=sin15°⋅cs15°cs215∘+sin215∘=12⋅2⋅sin15°⋅cs15°=12sin30°=14，故B正确；
对于C：cs36°⋅cs72°=4sin36°⋅cs36°⋅cs72°4sin36∘=2sin72°cs72°4sin36∘=sin144°4sin36∘=sin(180°−36°)4sin36∘=sin36°4sin36∘=14，故C正确；
对于D：2cs20°⋅cs40°⋅cs80°=8sin20°⋅cs20°⋅cs40°⋅cs80°4sin20∘=4sin40°⋅cs40°⋅cs80°4sin20∘=2sin80°⋅cs80°4sin20∘=sin160°4sin20∘=14，故D正确．
故选：BCD．
利用三角恒等变换转化为特殊角即可求值．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到正余弦的倍角公式，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：由函数图像可知，A=2，T=7π3−π3=2π，故A正确；
ω=2πT=1，
所以f(x)=2sin(x+φ)，
当x=12(π3+5π6)=7π12时，f(x)=2，
即f(7π12)=2sin(7π12+φ)=2，则7π12+φ=2π+2kπ,k∈Z，
故φ=−π12+2kπ(k∈Z)，所以f(x)=2sin(x−π12+2kπ)=2sin(x−π12)．
f(x+7π12)=2sin(x+7π12−π12)=2sin(x+π2)=2csx，f(x+7π12)是偶函数，故B错误；
x∈[−17π12,−5π12]时，x−π12∈[−3π2,−π2]，[−3π2,−π2]是正弦函数的单调递减区间，故C错误；
由x−π12=π2+kπ(k∈Z)，得曲线y=f(x)的对称轴方程为x=7π12+kπ(k∈Z)，
当k=−2时，得直线x=−17π12是曲线y=f(x)的一条对称轴，故D正确．
故选：BC．
由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)经过(1,2)，
所以sin(2π3+φ)=1，即2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，
解得φ=2kπ−π6，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=−π6，则f(x)=2sin(2π3x−π6).
对于A，f(x+14)=2sin[2π3(x+14)−π6]=2sin2π3x，故为奇函数，所以A正确；
对于B，x∈(1,2)时，，结合正弦函数的性质可知x∈(1,2)时，f(x)单调递减，所以B正确；
对于D，f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=2sin(2π3x+π2)+2sin(2π3x+7π6)+2sin(2π3x+2π−π6)=2cs2π3x−2sin(2π3x+π6)+2sin(2π3x−π6)=2cs2π3x−2(sin2π3xcsπ6+cs2π3xsinπ6)+2(sin2π3xcsπ6−cs2π3xsinπ6)=2cs2π3x−2cs2π3x=0，所以f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)恒为0，所以D正确；
对于C，当n=3k，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=0，
当n=3k+1，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=f(n)=2sin(2π3n−π6)≤2，
当n=3k+2，k∈N*时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=f(n−1)+f(n)=2sin(2π3n−5π6)+2sin(2π3n−π6)=2(sin2π3n⋅cs5π6−cs2π3n⋅sin5π6)+2(sin2π3n⋅csπ6−cs2π3n⋅sinπ6)=−2cs2π3n≤2，所以C错误．
故答案为：ABD．
由f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|<π2)经过(1,2)可求出f(x)的解析式，利用正弦函数的对称性可判断A的真假；利用正弦函数的单调性可判断B的真假；求f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)的值，可判断D真假，利用f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=0，分n=3k，k∈N*、n=3k+1，k∈N*、n=3k+2，k∈N*三种情况求f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)的化简式可判断C真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题也是易错题．
12.【答案】±1
【解析】解：由f(x)=−3sin(ωx+π3)的最小正周期是2π，得2π|ω|=2π，解得ω=±1．
故答案为：±1．
根据题意，利用三角函数的周期公式建立关于ω的等式，解之可得ω的值．
本题主要考查三角函数的周期公式，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】π3
【解析】解：∵点P(1,4 3)为角α终边上的一点，
∴sinα=4 3 1+48=4 37，csα=1 1+48=17，
∵0<β<α<π2，∴0<α−β<π2，
∵sinαsin(π2−β)+csαcs(π2+β)=sinαcsβ−csαsinβ=sin(α−β)=3 314，
∴cs(α−β)= 1−(3 314)2= 1−27196=1314，
∴csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=17×1314+4 37×3 314=4998=12，
∵0<β<α<π2，∴β=π3．
故答案为：π3．
由点P的坐标，可以求出sinα，csα，化简已知等式，可得sin(α−β)，由同角三角函数的关系，得出cs(α−β)，再根据两角差的余弦公式化简求值即可．
本题考查两角差的余弦公式，考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题．
14.【答案】(π2,17π24]
【解析】解：g(x)=f(x2+π4)=sin(x+π2+π6)=cs(x+π6)，
所以f(a)−f(b)所以sin(2a+π6)−sin(2b+π6)所以sin(2a+π6)−cs(2a+π6)所以 2sin(2a+π6−π4)< 2sin(2b+π6−π4)⇒sin(2a−π12)因为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，f(a)−f(b)所以对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，2a−π12>2b−π12,sin(2a−π12)x∈[π−m,m],2x−π12∈[23π12−2m,2m−π12]．
不妨设2x−π12=t，则问题转化成h(t)=sint在t∈(23π12−2m,2m−π12)单调递减，
所以23π12−2m≥π2+2kπ,2m−π12≤3π2+2kπ,2m−π12>23π12−2m其中k∈Z，解得π2所以m的取值范围为(π2,17π24]．
故答案为：(π2,17π24]．
将问题转化为对任意的a，b∈[π−m,m]，当a>b时，sin(2a−π12)本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
15.【答案】解：(1)∵α是第三象限角，且tanα=12，
∴cs2α=11+tan2α=45，
则sinα=− 1−cs2α=− 55，csα=−2 55；
(2)1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)=1+2sinαcsαsin2α−cs2α
=(sinα+csα)2(sinα−csα)(sinα+csα)
=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1
=−3．
【解析】(1)由α为第三象限角，且tanα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cs2α的值，即可确定出sinα，csα的值；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
16.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=2．
由图象可知：f(x)最小正周期T=4×(5π12−π6)=π，∴ω=2πT=2．
又f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2，
∴π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得：φ=2kπ+π6，k∈Z，
又|φ|<π2，∴φ=π6，
∴f(x)=2sin(2x+π6)．
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
∴当2x+π6=7π6，即x=π2时,f(x)min=2sin7π6=−1．
∴当2x+π6=π2，即x=π6时，,f(x)max=2sinπ2=2，
∴当x∈[0,π2]时，f(x)的最小值是−1，最大值是2．
【解析】(1)根据题意，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
(2)由题意，利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
17.【答案】解：(1)函数f(x)=csx⋅sin(x+π3)− 3cs2x+ 34，
=csx(12sinx+ 32csx)− 3cs2x+ 34
=14sin2x− 32cs2x+ 34，
=14sin2x− 32(1+cs2x2)+ 34，
=12(sin2x⋅12−cs2x⋅ 32)，
=12sin(2x−π3)．
所以函数的最小正周期为T=2π2=π．
令2x−π3=kπ，解得x=kπ2+π6(k∈Z)．
所以函数的对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z)
(2)函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)=12sin(2x+π2−π3)=12sin(2x+π6)的图象．
由于x∈[−π6,π4]，
所以2x+π6∈[−π6,2π3]，
故−12≤sin(2x+π6)≤1．
所以：g(x)∈[−14,12]
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的对称中心．
(2)利用函数的平移变换的应用求出函数的关系式，最后利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质和函数的值域的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：(1)记轨道圆心为T，则AT=1，
设劣弧AD的长为x，则∠ATD=x，
得AB=2AE=2sinx，
可得OE=OT−ET=OT−csx=32−csx；
(2)由条件易知AB⊥OP，CA⊥OA，
∠CAE+∠ACE=∠CAE+∠OAE=90°，
则∠ACE=∠OAE，
又∠CEA=∠OEA=90°，
所以△AEC∽△OEA，
则CE=AE2OE=sin2x32−csx=1−cs2x32−csx，
令32−csx=t，有t∈(12,52)，
则CE=3t−t2−54t=3−(t+54t)，t∈(12,52)，
因为t+54t≥2 t⋅54t= 5，当且仅当t= 52时，取到等号，
所以CE的最大值为3− 5．
【解析】(1)记轨道圆心为T，圆的半径为1，劣弧AD的长为x时，则∠ATD=x，进而利用三角函数表示出AB，OE的值；
(2)由题意证明出△AEC∽△OEA，则CE=AE2OE=sin2x32−csx=1−cs2x32−csx，进而通过换元，利用基本不等式即可求解最大值．
本题考查了解三角形，考查了函数思想和换元思想，考查了三角函数恒等变换以及基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)切比雪夫多项式P3(x)=ax3+bx2+cx+d，
可得P3(csθ)=cs3θ=cs(2θ+θ)=cs2θcsθ−sin2θsinθ
=(2cs2θ−1)csθ−2sin2θcsθ
=2cs3θ−csθ−2(1−cs2θ)csθ=4cs3θ−3csθ，
所以P3(x)=4x3−3x，
即ax3+bx2+cx+d=4x3−3x，
则a=4，b=d=0，c=−3，
所以实数a，b，c，d的值分别为4，0，−3，0；
(2)证明：因为函数f(x)=8x3−6x−1在(−1,1)上有3个不同的零点x1，x2，x3，
即方程4x3−3x=12在(−1,1)上有3个不同的实根，
令x=csθ，θ∈(0,π)，
由(1)知cs3θ=12，
所以3θ∈(0,3π)，
解得3θ=π3或3θ=5π3或3θ=7π3，
则x1=csπ9，x2=cs5π9，x3=cs7π9，
可得x1+x2+x3=csπ9+cs5π9+cs7π9=csπ9−(cs4π9+cs2π9)
因为cs4π9+cs2π9=cs(3π9+π9)+cs(3π9−π9)
=2csπ3csπ9=csπ9，
所以x1+x2+x3=0．
【解析】(1)由题意，利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出P3(x)，进而即可求出实数的值；
(2)利用(1)的结论，求出θ，再根据和差角的余弦计算即可证明．
本题考查新定义问题，考查了逻辑推理、转化思想、综合分析能力以及运算能力．