2023-2024学年江苏省常州一中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州一中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面向量a=(3,−4)，则与a同向的单位向量为( )
A. (1,0)B. (0,1)C. (35,−45)D. (−35,45)
2.sinπ12的值是( )
A. 6+ 24B. 6− 24C. − 6+ 24D. − 6− 24
3.已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)，则sin2α−12sin2α−cs2α=( )
A. 513B. −113C. −513D. 113
4.已知sin(α−π6)=34，则sin(2α−5π6)=( )
A. 18B. −18C. 78D. −78
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a= 2,A=π4,sinB= 33，则b=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2 3
6.设点D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则BE+CF=( )
A. DAB. 12DAC. ADD. 12BC
7.如图，在平行四边形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，CE与DF交于点O.设AB=a，AD=b，若AO=λa+μb，则λ+μ=( )
A. 817B. 1917C. 317D. 1117
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则EA⋅EB的最小值为( )
A. 2116
B. 32
C. 34
D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
B. 若单位向量a，b夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为csθb
C. 若a⋅c=b⋅c且c≠0，则a=b
D. 若非零向量a，b满足a⋅b=|a||b|，则a/​/b
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC=b2a−c，S△ABC=3 34，且b= 3，则( )
A. csB=12B. csB= 32C. a+c= 3D. a+c=2 3
11.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC≥AD⋅AE
B. 若AB2+AD2=AE2+AC2，则|AB|=|AC|
C. 若|BD|=|DE|=12|AD|，∠BAC=π3，则∠ACB=π6
D. 若|BD|=|DE|=1，∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,x)(x∈R),b=(2,4)，且a//b，则|a|=______．
13.在△ABC中，AB=3，BC=2，M，N分别为BC，AM的中点，则AM⋅BN= ．
14.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为AB的中点，b=2,CM= 3，且2ccsB=2a−b，则S△ABC=______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,1)，b=(3,−1)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若c=(3,m)(m∈R)，且(a−2b)⊥c，求m的值
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示AM；
(2)求线段AM的长度．
17.(本小题15分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，函数f(x)=a⋅b−12．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α2)=−35,α∈(−π2,0)，求sinα．
18.(本小题17分)
在△ABC中，点D在BC上，满足AD=BC，ADsin∠BAC=ABsinB．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若BD=2DC，求csB．
19.(本小题17分)
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsA+ 3csinA=a+b．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2 3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(3,−4)，∴|a|= 9+16=5，
则与a同向的单位向量为a|a|=(35,−45)，
故选：C．
利用与a同向的单位向量为a|a|，求解即可．
本题考查共线的单位向量的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：sinπ12=sin(π4−π6)=sinπ4csπ6−csπ4sinπ6= 22× 32− 22×12= 6− 24．
故选：B．
利用两角差的正弦公式化简即可求解．
本题考查两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的关系式，属于基础题．
利用诱导公式及同角三角函数的关系得到tanα=32，再利用二倍角公式及同角三角函数的关系式即可得到结果．
【解答】
解：已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)，
整理得2sinα=3csα，所以tanα=32，
故sin2α−12sin2α−cs2α
=sin2α−sinαcsα−cs2α
=sin2α−sinαcsα−cs2αsin2α+cs2α
=tan2α−tanα−1tan2α+1
=94−32−194+1=−113，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵sin(α−π6)=34，
∴cs(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−2×916=−18，
∴sin(2α−5π6)=sin[(2α−π3)−π2]=−cs(2α−π3)=18，
故选：A．
根据倍角公式以及诱导公式计算即可．
本题考查了三角函数求值问题，考查诱导公式以及倍角公式的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用正弦定理求出结果．
【解答】
解：由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当a= 2,A=π4,sinB= 33，
利用正弦定理可得：asinA=bsinB，即 2 22=b 33，
整理得b=2 33．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算，考查数形结合思想，属于基础题．
根据向量的线性运算求出答案即可．
【解答】
解：如图示：
BE=12(BC+BA)，
CF=12(CA+CB)，
∴BE+CF=12CA+12BA=−12AC+AB=DA，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算法则的应用，属于中档题．
根据向量线性运算法则结合平面向量基本定理，将AO用a,b表示出来即可．
【解答】
解：因为平行四边形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，
故DOOF=DECF=89，故DO=817DF，
DF=DA+AB+BF=−b+a+14b=a−34b，
故DO=817a−617b，
所以AO=AD+DO=b+817a−617b=817a+1117b，
故λ=817,μ=1117，所以λ+μ=1917．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：由于AB⊥BC，AD⊥CD，
如图，以D为坐标原点，以DA，DC为x，y轴建立直角坐标系，
连接AC，由于AB=AD=1，则△ADC≌△ABC，
而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，则∠BAx=60°，
则D(0,0),A(1,0),B(32, 32),C(0, 3)，
设E(0,y),0≤y≤ 3，则EA=(1,−y)，EB=(32, 32−y)，
故EA⋅EB=32+y2− 32y=(y− 34)2+2116，
当y= 34时，EA⋅EB有最小值2116，
故选：A．
建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得EA,EB的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：选项A，若b=0，则a与c不平行，即选项A错误；
选项B，向量a在向量b上的投影为|b|csθ=csθ，所以投影向量为bcsθ，即选项B正确；
选项C，若a⋅c=b⋅c，则|a|cs=|b|cs，不能推出a=b，即选项C错误；
选项D，因为a⋅b=|a||b|cs=|a|⋅|b|，
所以cs=1，所以=0°，所以a/​/b，即选项D正确．
故选：BD．
A，由零向量与任意向量平行，可判断；
B，根据平面向量数量积的几何意义可得解；
C，由平面向量数量积的定义可得解；
D，由平面向量数量积的运算法则知cs=1，从而得到a/​/b．
本题考查平面向量数量积与几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵csBcsC=b2a−c=sinB2sinA−sinC，整理可得：sinBcsC=2sinAcsB−sinCcsB，
可得sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinAcsB，
∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，可得csB=12，故A正确，B错误；
∵B∈(0,π)，∴B=π3，
∵S△ABC=3 34，且b= 3，
∴3 34=12ac⋅sinB= 34ac，解得ac=3．
由余弦定理可得：3=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(a+c)2−9，
解得a+c=2 3，故C错误，D正确．
故选：AD．
由已知等式化边为角求得角B，即可判断A与B；再由三角形面积求得ac，结合余弦定理求得a+c，即可判断C与D．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，AD=AB+BD，AE=AC+CE=AC−EC，
因为D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，所以AE=AC−BD，且|BD|≤|BC|，
则AD⋅AE=(AB+BD)⋅(AC−BD)=AB⋅AC+BD⋅(AC−AB)−BD2
=AB⋅AC+BD⋅BC−BD2=AB⋅AC+|BD|⋅|BC|−|BD|2≥AB⋅AC，故A错误；
对于B，当点D，C重合，点E，B重合时，满足BD=EC=BC，
此时AD=AC，AE=AB，则等式AB2+AD2=AE2+AC2，
即为AB2+AC2=AB2+AC2，此为恒等式，不一定有|AB|=|AC|，故B错误；
对于C，当|BD|=|DE|=12|AD|时，点D，E分别是线段BC的三等分点，
设|BD|=|DE|=t，则AD=DC=2t，BC=3t，
设∠ACB=θ(0<θ<π2)，则∠ADC=π−2θ，∠ABC=2π3−θ，
在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
即2tsinθ=ACsin(π−2θ)，
所以AC=2tsin(π−2θ)sinθ=2tsin2θsinθ=4tcsθ，
在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
即4tcsθsin(2π3−θ)=3tsinπ3，化简得tanθ= 33，
因为0<θ<π2，所以θ=π6，即∠ACB=π6，故C正确；
对于D，由|BD|=|DE|=1，BD=EC，可得点D，E分别是线段BC的三等分点，
则BD=DE=EC=1，设AB=c，AC=b，
依题意有∠ADB=π−(B+π6)，∠AEC=π−(C+π6)，
∠ADE=π−∠ADB，∠AED=π−∠AEC，
所以sin∠ADE=sin∠ADB=sin(B+π6)，sin∠AED=sin∠AEC=sin(C+π6)，
在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD=ADsinB，
即csin(B+π6)=1sinπ6=2=ADsinB，所以c=2sin(B+π6)，AD=2sinB，
同理在△ACE中，由正弦定理可得b=2sin(C+π6)，AE=2sinC，
在△ABE中，由正弦定理得ABsin∠AEB=AEsinB，
即2sin(B+π6)sin(C+π6)=2sinCsinB，
整理得sinBsin(B+π6)=sinCsin(C+π6)，
即sin(2B−π3)=sin(2C−π3)，因为B，C∈(0,π)，
所以2B−π3=2C−π3或2B−π3+2C−π3=π，即B=C或B+C=5π6，
当B+C=5π6时，∠BAC=π6，不合题意舍去，
故可得B=C，此时b=c=2sin(B+π6)，AD=AE=2sinB，∠DAE=2π3−2B，
sin∠DAE=sin(2π3−2B)=sin(2B+π3)，
在△ADE中，由正弦定理得DEsin∠DAE=ADsin∠AED，
即1sin(2B+π3)=2sinBsin(B+π6)，而sin(2B+π3)=2sin(B+π6)cs(B+π6)，
所以可得4sinBcs(B+π6)=1，整理可得sin(2B+π6)=1，
因为B∈(0,π2)，所以2B+π6=π2，解得B=π6，
则此时b=c=2sin(B+π6)= 3，∠BAC=π−2B=2π3，
所以△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=12× 3× 3× 32=3 34，故D正确．
故选：CD．
由AD⋅AE=AB⋅AC+|BD|⋅|BC|−|BD|2即可判断A；
取特殊情况可判断B；
分别在△ADC和△ABC中用正弦定理可判断C；
D选项先证明得B=C，再在△ADE中用正弦定理建立方程可得角B，进而可求△ABC的面积．
本题考查平面向量的应用与解三角形的综合，属于难题．
12.【答案】 5
【解析】解：∵a/​/b，
∴−1×4−2x=0，解得x=−2．
则|a|= (−1)2+(−2)2= 5，
故答案为： 5．
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】−4
【解析】解：由已知AM=BM−BA，BN=12(BA+BM)，
则AM⋅BN=(BM−BA)⋅12(BA+BM)=12(BM2−BA2)=12(14BC2−BA)2=12×(14×22−32)=−4．
故答案为：−4．
由向量的线性运算得AM=BM−BA，BN=12(BA+BM)，然后计算数量积可得．
本题考查平面向量的数量积及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：法1：2ccsB=2a−b
⇒2sinCcsB=2sinA−sinB
⇒2sinCcsB=2sinBcsC+2csBsinC−sinB
⇒csC=12，
所以C=60°．
如图补成平行四边形ACBD，
则∠CAD=120°，CD=2 3，
在△ADC中，由余弦定理得：(2 3)2=a2+4−4acs1200⇒a=2，
所以：S△ABC=12×2×2sin600= 3，
法2：同上C=60°，2CM=CA+CB⇒4CM2=CA2+CB2+2CA⋅CB，
所以：12=4+a2+2a，可得：a=2，
所以：S△ABC=12×2×2sin600= 3．
故答案为： 3．
法1：由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求csC=12，可得C=60°，在平行四边形ACBD，可求∠CAD=120°，CD=2 3，由余弦定理可得a，利用三角形面积公式即可得解；法2：解得C=60°，利用平面向量数量积的运算可求a，进而根据三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意，a=(2,1)，b=(3,−1)，
则a⋅b=2×3+1×(−1)=5，
|a|= 22+1= 5，|b|= 32+(−1)2= 10，
设向量a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a||b|=5 5× 10= 22，
又由θ∈[0,π]，则θ=π4，
即向量a与b的夹角为π4
(2)根据题意，a=(2,1)，b=(3,−1)，则a−2b=(−4,3)，
若(a−2b)⊥c，则(a−2b)⋅c=0，
又由c=(3,m)，则(−4)×3+3m=0，
解可得m=4．
【解析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角、向量垂直的判断方法，属于基础题．
(1)根据题意，由a、b的坐标求出a⋅b和|a|、|b|的值，由向量夹角公式计算可得答案；
(2)根据题意，求出a−2b的坐标，由向量垂直的判断方法可得(a−2b)⋅c=0，代入向量的坐标可得(−4)×3+3m=0，计算可得答案．
16.【答案】解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O，
可得AO=12AC=12(AB+AD)=12(a+b)，
因为M为BO中点，
∴AM=12(AO+AB)=12[12(a+b)+a]=34a+14b；
(2)由(1)知，AM=34a+14b，
又AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
所以|a|=1，|b|=2，=60°，
故|AM|= 916a2+38a⋅b+116b2= 916+38+14= 194．
【解析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则进行代换即可；
(2)由(1)的结论结合向量数量积的性质及运算即可求解．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
17.【答案】解：(1)a⋅b= 3sinxcsx+cs2x= 32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
∴f(x)=sin(2x+π6)，
解−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
(2)f(α2)=sin(α+π6)=−35，
∵α∈(−π2,0)，∴α+π6∈(−π3,0)，
∴cs(α+π6)=45，
∴sinα=sin[(α+π6)−π6]= 32sin(α+π6)−12cs(α+π6)= 32×(−35)−12×45=−3 310−25．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可求出a⋅b，进而得出f(x)=sin(2x+π6)，然后解−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，即可得出f(x)的单调递增区间；
(2)根据条件得出sin(α+π6)=−35，进而得出cs(α+π6)=45，然后根据sinα=sin[(α+π6)−π6]即可求出答案．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，复合函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】证明：(1)在△ABC中，BCsin∠BAC=ACsinB①，
∵ADsin∠BAC=ABsinB②，
∴由①②可得，AD⋅BC=AB⋅AC，
∵AD=BC，
∴AD2=AB⋅AC，
∴AB，AD，AC成等比数列；
(2)解：在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AD=BC=a，
由(1)可得，a2=bc③，
在△ABD中，设∠ADB=α，
∵BD=2DC，
∴BD=2a3，CD=13a，
由余弦定理可得，c2=a2+49a2−23a2csα④，
在△ACD中，∠ADC=π−α，
由余弦定理可得，b2=a2+19a2+23a2csα⑤，
联立④⑤推得，c2+2b2=113a2⑥，
联立③⑥推得，6b2−11bc+3c2=0，解得b=3c2或b=13c，
当b=13c时，a= 33c，所以a+b当b=3c2时，a= 6c2，符合题意，
故csB=a2+c2−b22ac=32c2+c2−94c22⋅ 62c2= 624．
【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
(2)在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，由(1)可得a2=bc，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据正弦定理有sinCcsA+ 3sinCsinA=sinA+sinB，
即sinCcsA+ 3sinCsinA=sinA+sin(A+C)，
展开化简得 3sinCsinA=sinA+sinAcsC，
∵A∈(0,π2)，sinA≠0，
∴ 3sinC=1+csC，
∴2sin(C−π6)=1，
∴sin(C−π6)=12，
∵C∈(0,π2)，
∴C−π6∈(−π6,π3)，
∴C−π6=π6，
∴C=π3．
(2)由题意可知∠ADB=2π3，设∠DAB=α，∠ABD=π3−α，
∵0<2α<π2，
∵B=π−π3−2α∈(0,π2)，
∴α∈(π12,π4)，
在△ABD中，由正弦定理可得：ABsin∠ADB=ADsin∠ABD．
即：2 3sin2π3=ADsin(π3−α)，
∴AD=4sin(π3−α)，
∴S△ABD=12AB⋅AD⋅sinα=12×2 3×4sin(π3−α)sinα=6sinαcsα−2 3sin2α=3sin2α− 3(1−cs2α)=2 3sin(2α+π6)− 3，
∵α∈(π12,π4)，
∴2α+π6∈(π3,2π3)，
∴sin(2α+π6)∈( 32,1],
∴2 3sin(2α+π6)− 3∈(3− 3, 3]
所以三角形面积的取值范围为(3− 3, 3]．
【解析】(1)根据正弦定理及三角恒等变换可得2sin(C−π6)=1，再根据C的范围进而即得C的大小；
(2)设∠DAB=α，利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得S△ABD=2 3sin(2α+π6)− 3，然后利用三角函数的性质即得．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面积公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．