17.2勾股定理的逆定理

17.2勾股定理的逆定理一．选择题（共8小题）1．下列各命题的逆命题不成立的是（　　）A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，那么a＝b2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（　　）A．若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形 B．若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90° D．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）A．5、6、7 B．8、15、17 C．20、15、12 D．、、4．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（　　）A．3a，4b，5c B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c D．a+3，b+3，c+35．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（　　）A．13 B． C．13或 D．不确定6．如图，钓鱼竿AB的长为5.4米，露在水面上的鱼线BC长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB'的位置时，露在水面上的鱼线B'C'长为4.2米，则CC'的长为（　　）A．米 B．米 C．米 D．米7．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为（　　）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米8．如图，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为（　　）A． B．2 C． D．二．填空题（共8小题）9．已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　 　．10．今年10月6日，强台风“小犬”掠过汕尾外海时，市区某地路边一棵大树于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 　 　．11．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为　 　．12．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 　 　米．13．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为　 　．14．如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上，则△ABC中AB边上的高为　 　．15．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　 　．16．已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于F，AD＝8，AB＝4，则DF的长为　 　．三．解答题（共6小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝5，AD＝．（1）求∠BAD的度数；（2）AE⊥CD于E，求AE之长．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，求四边形ABCD的面积．19．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．21．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝135°，AB＝2，求AC和BC的长．22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AD⊥CD，AB＝2，BC＝6，AD＝2，求CD的长．17.2勾股定理的逆定理参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列各命题的逆命题不成立的是（　　）A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，那么a＝b【分析】先写出各个命题的逆命题，根据对顶角相等、绝对值的性质、平行线的判定定理、有理数的乘方判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立，不符合题意；B、若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立，不符合题意；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，符合题意；D、如果a2＝b2，那么a＝b的逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（　　）A．若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形 B．若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C．若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90° D．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形【分析】根据直角三角形的判定、三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、若a2+b2≠c2，a2+c2＝b2，则△ABC是直角三角形，原命题是假命题；B、若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题；C、若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90°，是真命题；D、若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）A．5、6、7 B．8、15、17 C．20、15、12 D．、、【分析】先求出两小边的平方，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A．∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵82+152＝172，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵122+152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+（）2≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．4．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（　　）A．3a，4b，5c B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c D．a+3，b+3，c+3【分析】根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案．【解答】解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：a2+b2＝c2，A．（3a）2＝9a2，（4b）2＝16b2，（5c）2＝25c2，∵9a2+16b2≠25c2，∴3a，4b，5c不一定是勾股数，故A错误；B．（a2）＝a4，（b2）＝b4，（c2）＝c4，∵a4+b4≠c4，∴a2，b2，c2不一定是勾股数，故B错误；C．（3a）2＝9a2，（3b）2＝9b2，（3c）2＝9c2，∵9a2+9b2＝9c2，∴3a，3b，3c一定是勾股数，故C正确；D．（a+3）2＝a2+6a+9，（b+3）2＝b2+6b+9，（c+3）2＝c2+6c+9，∵（a+3）2+（b+3）2≠（c+3）2，∴a+3，b+3，c+3不一定是一组勾股数，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股数的概念，注意：一组数若为勾股数，扩大或缩小相同的倍数后仍然是勾股数．根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案．5．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（　　）A．13 B． C．13或 D．不确定【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理：①x2+52＝122，②52+122＝x2．再解x即可．【解答】解：设第三个数为x，∵是一组勾股数，∴①x2+52＝122，解得：x＝（不合题意，舍去），②52+122＝x2，解得：x＝13，则第三个勾股数是13．故选：A．【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…6．如图，钓鱼竿AB的长为5.4米，露在水面上的鱼线BC长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB'的位置时，露在水面上的鱼线B'C'长为4.2米，则CC'的长为（　　）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】直接利用勾股定理求出AC、AC′的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可知，AB′＝AB＝5.4米，BC＝1.8米，B'C'＝4.2米，在Rt△ABC和Rt△AB'C'中，由勾股定理得：AC＝＝＝（米），AC'＝＝＝（米），∴CC'＝AC﹣AC'＝﹣＝（米），故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC和AC'的长是解题的关键．7．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为（　　）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出DC，进而利用含30°角的直角三角形的性质BC，进而解答即可．【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，∴CD＝AC＝5（米），∵∠CDB＝60°，∴BC＝DC＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），故选：D．【点评】此题考查含30°角的直角三角形的性质，关键是根据含30°角的直角三角形的性质得出DC解答．8．如图，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为（　　）A． B．2 C． D．【分析】根据∠C＝45°，想到构造直角三角形，所以过点A作AD⊥BC，垂足为D，可得AC＝AD，因为AB＝AC，所以得出AB＝2AC，从而求出∠B＝30°，可得BD＝AD，再根据BC＝，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC，AC＝AD，∵AB＝AC，∴AB＝2AD，在Rt△ABD中，AB＝2AD，∴∠B＝30°，∴BD＝AD，∵BC＝，∴BD+CD＝+，∴AD+AD＝+，∴AD＝，∴AC＝AD＝2，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是　5或　．【分析】注意有两种情况一是所求边为斜边，二所求边位短边．【解答】解：分两种情况，当c为斜边时，x＝＝5，当长4的边为斜边时，c＝＝（根据勾股定理列出算式）．故填5和．【点评】本题利用了勾股定理求解，注意要讨论c为斜边或是直角边的情况．10．今年10月6日，强台风“小犬”掠过汕尾外海时，市区某地路边一棵大树于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 　12米　．【分析】由于倒下部分与地面成30°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝4米，∴AB＝2CB＝8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝12米．故答案为：12米．【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半是解题的关键．11．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为　24　．【分析】由于△ABC是直角三角形，利用勾股定理可求AC，而52+122＝169＝132，可证△ADC是直角三角形，再利用S木板＝S△ADC﹣S△ABC即可求木板的面积．【解答】解：如图所示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵DC＝12，AD＝13，∴52+122＝169＝132，∴△ADC是直角三角形，∴S木板＝S△ADC﹣S△ABC＝×DC×AC﹣AB×BC＝30﹣6＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理、三角形的面积．解题的关键是证明△ADC是直角三角形．12．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 　8　米．【分析】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的长．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝24（米），∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），∵DE＝AB＝25米，∴CD＝＝15（米），∴BD＝CD﹣BC＝8（米），∴梯子底端B向右滑动了8米．故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AC、CD的长．13．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为　6　．【分析】利用配方法得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，根据非负数的性质解得a＝3，b＝4，c＝5，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，c为斜边，然后计算△ABC的面积．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，即a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，c为斜边，∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了因式分解：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题．利用因式分解简化计算问题．也考查了勾股定理的逆定理．14．如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上，则△ABC中AB边上的高为　　．【分析】由已知可得到三角形各边的长，从而根据勾股定理可求得BC边上的高，再根据面积公式即可求得AB边上的高的长．【解答】解：由图知，△ABC是等腰三角形，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB＝AC＝＝，BC＝，∴BC边上的高为＝＝，设CD＝h，∴S△ABC＝××＝×h，∴h＝．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用．15．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　7　．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝CE，进而求出△ABE的周长．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE＝CE，∴AE+BE＝BC＝4，∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7．故答案为：7．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于F，AD＝8，AB＝4，则DF的长为　5　．【分析】根据翻折的性质可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，然后求出∠2＝∠3，再根据等角对等边可得BF＝DF，再表示出AF，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠1＝∠2，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BF＝DF，∵AD＝8，∴AF＝8﹣DF，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴42+（8﹣DF）2＝DF2，解得DF＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．三．解答题（共6小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝5，AD＝．（1）求∠BAD的度数；（2）AE⊥CD于E，求AE之长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC＝2，∠BCA＝∠BAC＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠CAD＝90°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答；（2）利用面积法进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝AB＝2，∠BCA＝∠BAC＝45°，∵CD＝5，AD＝，∴AC2+AD2＝（2）2+（）2＝25，CD2＝52＝25，∴AC2+AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，∴∠BAD的度数为135°；（2）∵AE⊥CD，∴△ACD的面积＝AE•CD＝AC•AD，∴AE•CD＝AC•AD，∴5AE＝2×∴AE＝，∴AE的长为．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，求四边形ABCD的面积．【分析】连结AC，根据勾股定理计算出AC的长，再由勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，进而利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD求得四边形ABCD的面积．【解答】解：连结AC，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2＝22+22＝8，∵CD＝3，DA＝1，∴CD2﹣DA2＝32﹣12＝8＝AC2，∴DA⊥AC，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．答：四边形ABCD的面积为．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的方法．19．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．【分析】连接AC．根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，根据等边对等角得出∠ACB＝∠B＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AE＝2．在△ACD中，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，那么∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．【解答】解：如图，连接AC．∵AE⊥BC，点E是BC的中点．∴AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°，∴AC＝2AE＝2．∴在△ACD中，AD2＝8，AC2+CD2＝4+4＝8，∴AD2＝AC2+CD2，∴∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作出辅助线求出AC＝2是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．【分析】（1）连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积；（2）作DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线BD的长．【解答】解：（1）连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵CD＝10，AD＝10，∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积是：＝＝24+50＝74，即四边形ABCD的面积是74；（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE，BC＝ED，∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，∴BD＝＝＝2．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝135°，AB＝2，求AC和BC的长．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理即可求得AC和BC的长．【解答】解：作AD⊥CB交CB的延长线于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，∵AB＝2，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝2，∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，AD＝2，∴AC＝4，∵AC＝4，AD＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝2，∴BC＝CD﹣DB＝2﹣2，即AC＝4，BC＝2﹣2．【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AD⊥CD，AB＝2，BC＝6，AD＝2，求CD的长．【分析】作AH⊥BC于H，连接AC，利用含30°角的直角三角形的性质可得BH＝1，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：作AH⊥BC于H，连接AC，∵∠B＝60°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝1，由勾股定理得AH＝，在Rt△ACH中，AC＝＝，在Rt△ACD中，CD＝＝4，∴CD的长为4．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 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