数学8.2 立体图形的直观图习题

这是一份数学8.2 立体图形的直观图习题，文件包含专题82立体图形的直观图五大题型人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题82立体图形的直观图五大题型人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc15119" 【题型1 斜二测画法的辨析】 PAGEREF _Tc15119 \h 2
\l "_Tc32194" 【题型2 画平面图形的直观图】 PAGEREF _Tc32194 \h 4
\l "_Tc19329" 【题型3 画空间几何体的直观图】 PAGEREF _Tc19329 \h 8
\l "_Tc174" 【题型4 由直观图还原几何图形】 PAGEREF _Tc174 \h 11
\l "_Tc9752" 【题型5 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 PAGEREF _Tc9752 \h 13
【知识点1 立体图形的直观图】
1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原.
【题型1 斜二测画法的辨析】
【例1】（2023下·高一课时练习）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图可能仍是正方形；
④菱形的直观图是一定是菱形．
以上结论，正确的是（ ）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
【解题思路】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x′轴，保持长度不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y′轴，长度变为原来的一半.
对于①：三角形的直观图是三角形，①正确；
对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；
对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误；
对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误；
故选：A.
【变式1-1】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．相等的角在直观图中不一定相等
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直
【解题思路】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项.
【解答过程】如图：四边形OABC为正方形，
由斜二测画法可得其直观图如下：
对于A，因为OA=OC，而O′A′≠O′C′，
故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误；
对于B，因为∠OAB=∠ABC，而∠O′A′B′≠∠A′B′C′
故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确；
对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确；
对于D，因为OA⊥AB，而O′A′,A′B′不垂直，
所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确.
故选：A.
【变式1-2】（2023下·重庆江北·高一校考期中）如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′=A′B′，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【解题思路】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.
【解答过程】根据题意，AB⊥AC,AC=2AB，所以△ABC是直角三角形.
故选：B.
【变式1-3】（2023下·湖南·高一校联考期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形
B．若某一平面图形的直观图面积为a，则原图形面积为22a
C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等
D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6
【解题思路】根据斜二测画法相关知识可解.
【解答过程】等腰三角形的直观图仍是一个三角形，但不一定有两边相等，故A，C说法错误；原图形中，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，故D说法错误；直观图的面积是原面积的24倍，故B正确．
故选：B.
【题型2 画平面图形的直观图】
【例2】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
【解题思路】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成45°，沿x′轴方向长度不变，y′轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图．
【解答过程】分以下三步进行作图：
（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′=OB，O′E′=OE；
在y′轴上取一点D′，使得O′D′=12OD；
过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′=12EC，连接B′C′，C′D′，如图②所示．
（3）擦去x′轴与y′轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
【解题思路】根据斜二测画法的规则作图．
【解答过程】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示：
画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′=45°，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
在x′轴上取A′B′=AB，A′F′=AF,A′E′=AE，
过点E′作E′C′//y′轴，使E′C′=12EC，过点F′作F′D′//y′轴，使D′F′=12DF，
连结A′D′,D′C′,C′B′，则四边形A′B′C′D′就是等腰梯形的直观图.
（2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示：
连接AD交OE于F，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上取O′C′=OC，O′B′=OB，在y′轴上取O′E′=12OE，O′F′=12OF，
过点F′作F′D′//x′轴，且F′D′=AF，过点F′作F′A′//x′轴，且F′A′=AF，
连结A′B′,A′E′,E′D′,D′C′，则五边形A′B′C′D′E′就是所求的直观图.
【变式2-2】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD//AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【解题思路】由斜二测画法规则作直观图，在直观图中求得梯形的高可得面积．
【解答过程】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝12×22=24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝12×(1＋2)×24＝328.
【变式2-3】（2023·高一课前预习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为3cm的正三角形；
(2)边长为4cm的正方形；
(3)边长为2cm的正八边形．
【解题思路】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.
【解答过程】（1）解：如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45∘，
在x′轴上截取O′B′=O′C′=OB=OC=1.5cm，在y′轴上截取O′A′=12OA，
连接A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′即为等边△ABC的直观图，如图③所示.
（2）解：如图④所示，以AB、AD边所在的直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′=45∘，
在x′轴上截取A′B′=AB=4cm，在y′轴上截取A′D′=12AD=2cm，
作D′C′//x′轴，且D′C′=4cm，连接B′C′，
则平行四边形A′B′C′D′即为正方形ABCD的直观图，如图⑥所示.
（3）解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG，以点O为坐标原点，OA、OE所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，
设点B、G在x轴上的射影点分别为M、N，
画对应的x′轴、y′轴，使∠x'O'y'=45∘，
在x′轴上截取O′A′=OA=2cm，A'M'=AM，O′N′=ON，
在y′轴上截取O′E′=12OE，作E′D′//x′轴且E′D′=2cm，
作M′B′//y′轴，且M′B′=12MB，作N′G′//y′轴，且N′G′=12NG，
作B′C′//y′轴，且B′C′=1cm，作G′F′//y′轴，且G′F′=1cm，
连接O′A′、A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′G′、G′O′，
则八边形O′A′B′C′D′E′F′G′为正八边形OABCDEFG的直观图，如图⑨所示.
【题型3 画空间几何体的直观图】
【例3】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．
【解题思路】先根据斜二测画法的规则，画出棱台的上下底面，再在z轴上取一点O′，使OO′=2，进而的正四棱台的直观图.
【解答过程】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，∠xOy=45°，∠xOz=90°．
（2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=3；在y轴上取线段PQ，使PQ=1.5．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面．
（3）画上底面．在z轴上取一点O′，使OO′=2，过点O′分别作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，在平面x′O′y′内以O′为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A′B′C′D′．
（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，侧棱AA1=5．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）

【解题思路】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.
【解答过程】如图所示．

【变式3-2】（2023·高一课前预习）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；
(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
【解题思路】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图
【解答过程】（1）如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，
第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作AA1,BB1,CC1,DD1等于4cm，顺次连接A1B1C1D1，
第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.
（2）如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的圆的直观图⊙O′，使A′B′=4cm，D′C′=2cm.
第二步：过O′作z′轴，使∠x′O′z′=90°，在z′上取点V′，使O′ V′=4cm，连接A′V′，B′V′.
第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【解题思路】利用斜二测画法求解.
【解答过程】如图所示：
【题型4 由直观图还原几何图形】
【例4】（2023上·浙江·高二校联考期中）图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′1,0,C′−1,0，则原四边形ABCD的周长等于（ ）

A．2B．22+23C．4D．42+43
【解题思路】结合直观图还原出原图，结合数据可得答案.
【解答过程】因为A′1,0,C′−1,0，所以直观图中正方形的边长为2，
结合直观图的特征，可得原图如下，

因为直观图中B′C′=2，且B′C′与y轴平行，所以原图中BC=22且BC与y轴平行，
因为AC=2，所以AB=22+222=23；
由直观图的性质可知，原图中四边形ABCD为平行四边形，
所以ABCD的周长等于42+43.
故选：D.
【变式4-1】（2023下·甘肃白银·高一校考期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4,A′B′=2，则该平面图形的高为（ ）

A．22B．2C．42D．2
【解题思路】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答.
【解答过程】在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4,A′B′=2，
显然∠A′O′C′=45∘，于是O′C′=O′A′−B′C′cs∠A′O′C′=2cs45∘=22，
直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，

BC//OA,OC⊥OA,OA=2BC=4，OC=2O′C′=42，
所以该平面图形的高为42.
故选：C.
【变式4-2】（2023上·高二课时练习）△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′，如图所示，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=32，那么△ABC的形状是（ ）

A．等边三角形B．直角三角形
C．腰和底边不相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【解题思路】根据直观图得原图，计算可得答案.
【解答过程】原△ABC如图所示：

由斜二测画法的规则可知，BO=CO=1，AO=3，AO⊥BC，
所以AB=BC=AC=2，故△ABC为等边三角形，
故选：A．
【变式4-3】（2023下·山东德州·高一统考期末）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）

A．2B．3C．5D．5
【解题思路】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【解答过程】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，

由斜二测法则知AB=2A′B′=2，BC=B′C′=1，
所以AC=AB2+BC2=AB2+BC2=4+1=5．
故选：C．
【题型5 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【例5】（2023上·四川内江·高二校考期中）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为（ ）

A．6B．62C．12D．24
【解题思路】根据斜二测画法画出原图，从而计算出原图的面积.
【解答过程】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，

则原△AOB的面积为12×4×6=12.
故选：C.
【变式5-1】（2023下·陕西商洛·高一校考期中）如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形OABC的面积是（ ）cm2.

A．12B．122
C．6D．242
【解题思路】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【解答过程】因为C′D′=2cm，由斜二测画法可知∠D′O′A′=45∘，
则∠C′O′D′=45∘，故△O′C′D′为等腰直角三角形，故O′C′=2cm，
故矩形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′×O′C′=6×2=12(cm2)，
所以原图形OABC的面积是S=S′24=22×12=242(cm2)，
故选：D.
【变式5-2】（2023下·湖北武汉·高一校联考期中）如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（ ）

A．AB=2
B．A′D′=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23
D．四边形ABCD的面积为62
【解题思路】先画出原图，然后根据斜二测画法的知识确定正确答案.
【解答过程】如图过D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，
即A′D′=2A′E=12×4−2×2=2,即B错误；
还原平面图为下图，

即AB=4=2CD,AD=22，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23，
故四边形ABCD的周长为：4+2+22+23=6+22+23，即C错误；
四边形ABCD的面积为：12×4+2×22=62，即D正确.
故选：D.
【变式5-3】（2023下·浙江温州·高一校联考期中）如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的A直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2,B′C′＝2，那么（ ）

A．AD>ACB．S△ABC=4
C．S△A′B′C′=2D．∠ABC=π4
【解题思路】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，然后逐项判断即可.
【解答过程】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示：

其中AD⊥BC，AD=2A′D′=4，BC=B′C′=2，
因为△ADC是直角三角形，AD＜AC，选项A错误；
原平面图形的面积为S△ABC=12BC·AD=12×2×4=4，选项B正确；
S△A′B′C′=122S△ABC=122×4=2，选项C错误；
Rt△ABD中，AD＝4BD，且AD⊥BD，tan∠ABC=4>1，所以∠ABC>π4，选项D错误．
故选：B．