人教A版高中数学必修第二册第7章探究课2代数基本定理学案

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　代数基本定理 1．代数基本定理 任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根． 它说的是：任何一元n次复系数多项式f (x)在复数集中有n个复数根(重根按重数计)． 2．一元多项式方程的根与系数之间的关系 (1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则x1+x2=-a1a2，x1x2=a0a2． 3．设实数系一元三次方程 a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)　① 在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为 a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0， 展开得 a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0．　② 比较①②可以得到x1+x2+x3=-a2a3，x1x2+x1x3+x2x3=a1a3，x1x2x3=-a0a3． 【典例】　(1)(多选)(2022·浙江金华一中期中)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝(　　) A．0 B．1　　　 C．2 D．3 (2)(2022·江苏盐城期末)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________． (1)AD　(2)－an-1an　(－1)na0an　[(1)因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝-1±3i2．即ω＝1或ω＝-1±3i2． 当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3； 当ω＝-1±3i2时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD． (2)由题意知： f(x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)， ∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0， ∴an-1=-anx1+x2+…+xna0=-1nanx1x2…xn， ∴x1+x2+…+xn=-an-1an，x1x2…xn=-1na0an．] 1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为(　　) A．－2　　　 B．0 C．2　　　 D．4 A　[∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3， 由对应系数相等得： x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3， ∴x12+x22+x32＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2． 故选A．] 2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＋x3＋x4＝－ba B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－ca C．x1x2x3x4＝ea D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝da AC　[由题设知： ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝－ba， x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4＝ca， x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－da，x1x2x3x4＝ea． 故选AC．]