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人教A版高中数学必修第二册第七章复数学案含答案
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这是一份人教A版高中数学必修第二册第七章复数学案含答案，共48页。
第七章 | 复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
明确目标
发展素养
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数．
2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用.
1.通过对复数的概念的理解，提高数学抽象素养．
2.通过对复数的认识，提升逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 复数的概念
(一)教材梳理填空
1．复数的定义及表示方法：
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi.
2．复数集：
(1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示．
3．复数相等：
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
[微思考] 若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？
提示：由复数相等的性质知a＝b＝0.
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 ( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2
C．3 D．0
答案：A
2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 ( )
A．3－i B．3＋i
C．－1＋4i D．1＋3i
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
答案：5
知识点二 复数的分类
(一)教材梳理填空
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2) 集合表示：
[微思考] 虚数为什么不能比较大小？
提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：
若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾；
若i<0，则－2<－1，得－2i>－i，所以－2i·i<－i·i，即2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的，故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)复数z＝bi是纯虚数． (×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (√)
(3)实数集和虚数集的交集不是空集． (×)
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案：A
3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
答案：－1
题型一 复数的有关概念
【学透用活】
[典例1] (多选)下列说法中错误的是 ( )
A．复数2＋3i的虚部是3
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
[解析] 复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C.
[答案] BC
[方法技巧]
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
【对点练清】
下列说法中正确的是 ( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
解析：选C 选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．
题型二 复数的分类
【学透用活】
[典例2] 当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解] (1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
[方法技巧]
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解：由解得m＝5.
即m＝5时，z是实数．
2．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z>0?
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
题型三 复数相等及应用
【学透用活】
(1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．
(2)运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错．
[典例3] (1)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝ ( )
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
(2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
[解析] (1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.
(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
所以
即解得x＝－2.
[答案] (1)A (2)－2
[方法技巧]
利用复数相等求参数值的思路
(1)将等式两边都整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
【对点练清】
1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴
解得或
答案：或
2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
∴解得
∴a＝－1，故实数a的值为－1.
答案：－1
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b的值．
解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①解得a＝－3，b＝±2，
由②解得a＝±3，b＝－2.
③中a，b无整数解，不符合题意．
综上所述，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．设M是一个非空集合，f是一种运算．如果对于集合M中的任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”．已知集合M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Q}，试验证M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．
解：任取p，q∈M，设p＝a1＋b1，q＝a2＋b2，(a1，b1，a2，b2∈Q)，
则p＋q＝a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2).
∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1＋a2∈Q，b1＋b2∈Q，
∴(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈M，即p＋q∈M.
同理，p－q∈M.p·q＝(a1＋b1)(a2＋b2)
＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1).
∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1a2＋2b1b2∈Q，a1b2＋a2b1∈Q，
∴(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈M，即p·q∈M.
同理，∈M.
∴M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 ( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅ D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
解析：选D 集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝
C正确．故选D.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 ( )
A. B．或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 ( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.
解析：由复数相等可知，解得
答案： 1
7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
层级(二) 能力提升练
1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．
2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 ( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：选B 由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.
3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________．
解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0，
∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，，
∴α的取值集合为.
答案：
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为.
5．已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m的值．
解：由于m是纯虚数，设m＝bi(b∈R，且b≠0)．设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0.因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，
得解得b＝，所以纯虚数m＝i.
层级(三) 素养培优练
1．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
即解得x＝－1，y＝2.
2．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？
解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集．
7．1.2 复数的几何意义
明确目标
发展素养
1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．
2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数．
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题.
1.通过学习复平面及复数的几何意义，提升直观想象、逻辑推理素养．
2.通过研究复数模与向量模的关系，增强直观想象素养.
知识点一 复平面与复数的几何意义
(一)教材梳理填空
1．复平面：
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
[微思考] 有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话正确吗？
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2. 复数的几何意义：
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
答案：A
2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为 ( )
A．0 B．－5
C．－5i D．5
答案：C
知识点二 复数的模与共轭复数
(一)教材梳理填空
1．复数的模：
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值．
(2)记法：记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)．
2．共轭复数：
(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.
(二)基本知能小试
1．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝ ( )
A．2 B．5
C. D．4
答案：C
2．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z＝________.
答案：－＋2i
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.
答案：－1 1
题型一 复数与复平面内点的关系
[探究发现]
(1)在复平面内，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？
提示：看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．
(2)在复平面内，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？
提示：a>0，且b>0. 在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
【学透用活】
[典例1] 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)由点Z在复平面的第二象限内，
可得解得a＜－3.
(2)由点Z在复平面内的x轴上方，
可得
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
[方法技巧]
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
解：因为点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
解得a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，
解得a＝－2或a＝±.所以a＝－2或a＝±时，
点Z在直线x＋y＋7＝0上．
题型二 复数与复平面内向量的关系
【学透用活】
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[典例2] (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是 ( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 ( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
[解析] (1)由复数的几何意义，得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．
(2)复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得．
(3)一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
【对点练清】
1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．
解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得解得∴x＋y＝5.
答案：5
2．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量 ＋， 对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
解：(1)由复数的几何意义，得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＋＝(1,4)＋(0，－3)＝(1,1)，＝－＝(2,0)－(1,4)＝(1，－4)，所以＋对应的复数是1＋i，对应的复数是1－4i.
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，2，由平行四边形的性质知BD的中点也是，2，若设D(x0，y0)，则有解
得故D(3,7)．
法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，而＝(0，－3)，于是D(3,7)．
题型三 共轭复数
【学透用活】
[典例3] 已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值．
[解] 由题意得，4－20i的共轭复数为4＋20i，则解得x＝－3，故x的值为－3.
关于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解． [方法技巧]
【对点练清】
1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 由已知可得，＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)，位于第三象限．
2．已知x2＋x＋(y－1)i与2＋3i互为共轭复数，求实数x，y的值．
解：由题意，可得
解得x＝1或－2，y＝－2，
所以x的值为1或－2，y的值为－2.
题型四 与复数模有关的问题
【学透用活】
[典例4] 已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，
所以Z到原点的距离为2.
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
[方法技巧]
(1)复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝ .
(2)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
(3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，这是一种复数问题实数化思想．
【对点练清】
1．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝ ( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
解析：选D 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝得 ＝，解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
2．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是 ( )
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
解析：选D 因为|z|＜2，所以 ＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)．由题意可知，点A的坐标为(2,1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)．由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
二、应用性——强调学以致用
2．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.试判断△ABC的形状．
解：由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC边为斜边的直角三角形．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，则复数z在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？
解：∵z∈C，∴|z|∈R，∴1－|z|∈R.
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，∴A＝{z||z|≤1}．
∵B＝{z||z|<1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
∵A∩(∁UB)等价于z∈A，且z∈∁UB，
∴|z|≤1且|z|≥1，即|z|＝1，
由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点组成的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是 ( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选ABD 2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 ( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为 ( )
A．8－3i B．－8－3i
C．3＋8i D．－8＋3i
解析：选A 关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为 ( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
解析：选D 由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为 ( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.
6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________.
解析：∵＝，且a＞0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1 1＋i
7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，
∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.
答案：1
8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)位于上半平面(含实轴)．
解：(1)若点位于第四象限，则
∴∴－7
∴∴m＝4.
(3)若点位于上半平面(含实轴)，
则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.
层级(二) 能力提升练
1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝ ( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：选D 设复数z对应的点为(x，y)，
则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1，
y＝|z|·sin 120°＝2×＝，
所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.
2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．
解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限．
解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限．
答案：5＋4i或＋i 一
4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离．
解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，
所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量＋对应的复数是2.
又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，
所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离
||＝＝2.
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，
Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，
则向量
，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：
|z1|＝＝；
|z2|＝ ＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
层级(三) 素养培优练
设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，
则有log2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.
因为所以m＝4，
此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈
.
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
明确目标
发展素养
1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．
2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
1.通过学习复数代数形式的加、减运算，提升逻辑推理、数学运算素养．
2.通过对复数加、减法运算几何意义的理解，强化直观想象素养.
知识点一 复数的加法、减法
(一)教材梳理填空
1．复数的加法、减法的运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数的加法运算律：
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个虚数的和或差可能是实数． (√)
(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部． (√)
(3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． (×)
2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为 ( )
A．1 B．－i C．5＋2i D．1－i
答案：A
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝ ( )
A．0 B．6i C．6 D．6－6i
答案：D
知识点二 复数加、减法运算的几何意义
(一)教材梳理填空
复数加
法的几
何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数
复数减
法的几
何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量Z2Z1―→所对应的复数
(二)基本知能小试
1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
答案：1－i
2．在复平面内，若，对应的复数分别为7＋i,3－2i，则||＝________.
答案：5
题型一 复数的加、减运算
【学透用活】
对复数加、减法运算的五点说明
(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数．
(4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．
(5)虚数单位i：在进行复数加、减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号、合并同类项即可．
[典例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
答案：－2－i
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
[方法技巧]
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【对点练清】
1．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( )
A．(0,3) B．(－∞，－2)
C．(－2,0) D．(3,4)
解析：选D 由题意得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i.
∵对应的点在第二象限，
∴∴3
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i.
又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3.
答案：3
3．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得∴z＝－4＋3i.
答案：－4＋3i
题型二 复数加、减运算的几何意义
【学透用活】
[典例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i.
因为 对应的复数为zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以||＝|7＋2i|＝ ＝.
因为对应的复数为zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝ ＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
[方法技巧]
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
【对点练清】
1．设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－.
解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i
＝1＋2i，在复平面内作出－如图中Z2Z1―→所示．
2．设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2， 并在复平面内作出＋.
解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i，在复平面内作出
＋2如图中所示．
题型三 复数加、减运算几何意义的应用
[探究发现]
(1)满足|z|＝1的所有复数z对应的点构成什么图形？
提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
(2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【学透用活】
[典例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[解] 法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝.
法二：作出z1，z2对应的向量，，使＋＝.
∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又|z1＋z2|＝，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝.
[方法技巧]
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【对点练清】
1．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为 ( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝＝
＝.
法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝＝.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．证明等式|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2对任意复数z1，z2都成立，并给出这个等式的一个几何意义．
证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
则z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，
∴|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝a＋a＋b＋b＋2a1a2＋2b1b2，|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2＝a＋a＋b＋b－2a1a2－2b1b2，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2a＋2a＋2b＋2b.
又|z1|2＝a＋b，|z2|2＝a＋b，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2对任意复数z1，z2都成立．
该等式的一个几何意义可以是：平行四边形对角线的平方和等于相邻两边平方和的2倍．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．已知复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，求|z1－z2|的最大值．
解：|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝＝
＝ .
∵|cosθ＋|max＝1，∴|z1－z2|max＝＝＋1.
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象
限．
2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.
3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为 ( )
A．2＋8i B．4－4i C．6－6i D．－4＋2i
解析：选B ＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于 ( )
A．1 B． C．2 D．2
解析：选D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D.
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A 因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
答案：5
7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析：由已知得，x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，
∴解得
答案：6 11
8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
层级(二) 能力提升练
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，
∴a＝－1.故选D.
2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________.
解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i.
答案：3－6i
3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4.
答案：－4
4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解：∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．
又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
层级(三) 素养培优练
1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形．
2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，得－2sin2θ＝－，
即sin2θ＝，∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或.
7．2.2 复数的乘、除运算
明确目标
发展素养
1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够进行复数的乘、除运算．
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．
2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推理素养.
知识点一 复数的乘法及运算律
(一)教材梳理填空
1．复数的乘法法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
[微思考] 已知z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝z2正确吗？
提示：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
(二)基本知能小试
1．(1＋i)(2＋i)＝ ( )
A．1－i B．1＋3i C．3＋i D．3＋3i
答案：B
2．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·＝ ( )
A. B． C．3 D．5
答案：D
知识点二 复数的除法及运算律
(一)教材梳理填空
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
[微思考] 复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的数？
提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘分母的“实数化因式”(共轭复数)．
(二)基本知能小试
1．复数－i＋等于 ( )
A．－2i B.i C．0 D．2i
答案：A
2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
3．已知复数z满足(1＋3i)z＝10，则z＝________.
答案：1－3i
题型一 复数的乘法运算
【学透用活】
对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论：
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
[典例1] (1)(2019·全国卷 Ⅱ )设z＝i(2＋i)，则＝ ( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.
(2)(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
【对点练清】
1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝ ( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
解析：选D (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
题型二 复数的除法运算
【学透用活】
对复数除法的三点说明
(1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
(3)常用结论：
①＝－i；②＝i；③＝－i.
[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝ ( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝ ( )
A．2 B．
C. D．1
[解析] (1)由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝＝＝，
∴|z|＝ ＝.
法二：|z|＝＝＝.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧]
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
【对点练清】
1．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数
对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
3．计算：＋－.
解：原式＝＋－
＝＋－
＝8＋8－16i－16＝－16i.
题型三 复数范围内方程根的问题
【学透用活】
[典例3] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
[解] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴解得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
[方法技巧]
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【对点练清】
在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5.
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i.
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2.
因为(i)2＝(－i)2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±，所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z|＝，所以x2＋y2＝2，
因为z2＝x2－y2＋2xyi的虚部为2，所以2xy＝2，
所以xy＝1.
因此x2＋＝2，所以x2＝1，所以或
所以z＝1＋i或－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，即A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，因此三角形面积为×1×2＝1，
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，即A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，因此三角形面积为×1×(－1＋3)＝1，因此△ABC的面积为1.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.
∵z＋是实数，∴b－＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
联立①②得解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
解析：选C ＝＝＝－＋i，故选C.
2.＝ ( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D ＝＝＝2－i.故选D.
3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选B ∵＝＝＝1＋i，
∴其共轭复数为1－i.
4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.
6．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.
答案：2
7．(2019·浙江高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝－i，
∴|z|＝ ＝.
答案：
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝，
根据已知条件可知3a－8＝0，解得a＝.
答案：
9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有
解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级(二) 能力提升练
1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 ( )
A．复数z＝的虚部为
B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i
C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数z满足∈R，则z∈R
解析：选ABD 对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．
2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.
答案：4i
3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______.
解析：∵实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知
∴b＝－2，c＝3.
答案：－2 3
4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．
解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得解得∴p＋q＝38.
5．已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z＝1＋i，
所以＝＝1－i，
即＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以解得
层级(三) 素养培优练
1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝ ( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选A 由欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ有：eiπ＝cos π＋isin π＝－1.由(eiπ－z)·i＝1＋i，即(－1－z)·i＝1＋i.所以－1－z＝＝1－i，即z＝－2＋i，所以|z|＝＝.
2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是 ( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
解析：选BC 由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当2＝z3时，则z2＝3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z3·13＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11⇒z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确．
3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z－|＝|z|，
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.
阶段验收评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．复数(2＋i)2等于 ( )
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
解析：选A (2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
2．已知＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标为 ( )
A．(5,5) B．(－5，－5)
C．(1,3) D．(－5,5)
解析：选C 因为＝(3,4)＝(xB＋2，yB＋1)，
所以xB＋2＝3，yB＋1＝4，
故xB＝1，yB＝3，即B(1,3)．
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于 ( )
A．2 B．
C．2或 D．以上都不对
解析：选C ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴5＝15＋c2－2×c×，化简得c2－3c＋10＝0，
即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.
4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝ ( )
A．3 B．9
C．12 D．15
解析：选D ∵a·b＝3×2×cos＝－3，
∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝9－2×(－3)＝15.故选D.
5．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于 ( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选B ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.
6．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于( )
A. B．
C. D.
解析：选C 由题意得，＝ti，t≠0，t∈R，
所以2－i＝－t＋tai，
所以解得
所以z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝.
7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为CD边的中点，
＝，若·＝－4，则cos∠BAD＝ ( )
A. B．
C. D.
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是CD边的中点，＝，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
∴·＝＋ ·－
＝2－2－·
＝×32－×42－×3×4×cos∠BAD
＝6－8－8cos∠BAD＝－4，
∴cos∠BAD＝.
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴 的夹角分别为和，向量满足＋＋＝0，则与x轴正半轴夹角的取值范围是 ( )
A. B．
C. D.
解析：选B 由题意＝－－，由向量加法的几何意义得是以－与－为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量，所以与x轴正半轴夹角的取值介于－与－与x轴正半轴夹角之间．由题意得－，－与x轴正半轴夹角分别为与.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为 ( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
解析：选BD ∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选B、D.
10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是 ( )
A．＝＋
B．＝－
C． ＝＋
D．＝＋
解析：选BD 易证△DEN∽△BAN，
又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB，
∴＝＋＝＋，∴D说法错误；
∵＝＝＋，∴C说法正确；
∵＝＋
＝(＋)＋(－)＝＋，
∴A说法正确，B说法错误．故选B、D.
11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是 ( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：选ACD 若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．
由于a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．
对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)·(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有 ( )
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
解析：选ACD 对于A：sin2A＝sin2B，
∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，A正确；
对于B：由sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；
对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝.
答案：
14.
如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，
则z2＝________.
解析：由题图可知，z1＝－1＋2i，∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)I
＝－2－i.
答案：－2－i
15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.
∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
则3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：
16.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和 90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为______m，旗杆BA的高为______m．(用含有l和α的式子表示)
解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α，
在Rt△P2BC中，∠P2＝.
∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2，
∴∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l，
∴BC＝lsin α.
在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)，
∴AC＝，则BA＝AC－BC＝－lsin α＝＝.
答案：lsin α
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z ，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，得－1－3i＋a＋bi＝0，
则所以
所以z＝－4＋3i.
则＝＝＝3＋4i.
18.(12分)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M
分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
(1)以{a，b}为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.连接AF(图略)，
∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°
＝3×4×＝－6，
从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42
＝－.
19．(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知，b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，
可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
20．(12分)如图，向量与的夹角为，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的弧上的动点．若OP―→＝λ＋μ，求λμ的最大值．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，
则OP―→＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，
＝.
∵OP―→＝λ＋μ，
∴cos θ＝2λ－μ，sin θ＝μ，
∴
∴λμ＝sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin＋≤.
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号，
∴λμ的最大值为.
21．(12分)①B＝，②a＝2，③bcos A＋acos B＝＋1，从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小．
解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos A＝，
S＝bcsin A，所以2bcsin A＝2bccos A.
显然cos A≠0，所以tan A＝1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
若选择①B＝，由＝，
得a＝＝＝2.
又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
所以S＝absin C＝.
若选择②a＝2，由＝，得sin B＝＝.
又B∈，所以cos B＝.
sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S＝absin C＝.
若选择③bcos A＋acos B＝＋1，
所以acos B＝1，即a·＝1，
所以a2＝6＋2c－c2.
又a2＝6＋c2－2c·＝6＋c2－2c，
所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1，
所以S＝bcsin A＝.
22.(12分)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B需要8分钟，AC长为1 260米，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，求乙步行的速度v(米/分)的取值范围．
解：在△ABC中，∵cos A＝，sin B＝，
∴sin A＝＝ ＝.
由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(米)，
乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550 米，还需走710 米才能到达C.
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度v(米/分)应控制在，范围内．
第七章 | 复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
明确目标
发展素养
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数．
2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用.
1.通过对复数的概念的理解，提高数学抽象素养．
2.通过对复数的认识，提升逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 复数的概念
(一)教材梳理填空
1．复数的定义及表示方法：
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi.
2．复数集：
(1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示．
3．复数相等：
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
[微思考] 若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？
提示：由复数相等的性质知a＝b＝0.
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 ( )
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2
C．3 D．0
答案：A
2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 ( )
A．3－i B．3＋i
C．－1＋4i D．1＋3i
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
答案：5
知识点二 复数的分类
(一)教材梳理填空
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2) 集合表示：
[微思考] 虚数为什么不能比较大小？
提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：
若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾；
若i<0，则－2<－1，得－2i>－i，所以－2i·i<－i·i，即2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的，故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)复数z＝bi是纯虚数． (×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (√)
(3)实数集和虚数集的交集不是空集． (×)
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案：A
3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
答案：－1
题型一 复数的有关概念
【学透用活】
[典例1] (多选)下列说法中错误的是 ( )
A．复数2＋3i的虚部是3
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
[解析] 复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C.
[答案] BC
[方法技巧]
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
【对点练清】
下列说法中正确的是 ( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
解析：选C 选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．
题型二 复数的分类
【学透用活】
[典例2] 当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解] (1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
[方法技巧]
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解：由解得m＝5.
即m＝5时，z是实数．
2．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z>0?
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
题型三 复数相等及应用
【学透用活】
(1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．
(2)运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错．
[典例3] (1)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝ ( )
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
(2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
[解析] (1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.
(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
所以
即解得x＝－2.
[答案] (1)A (2)－2
[方法技巧]
利用复数相等求参数值的思路
(1)将等式两边都整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
【对点练清】
1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴
解得或
答案：或
2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
∴解得
∴a＝－1，故实数a的值为－1.
答案：－1
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b的值．
解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①解得a＝－3，b＝±2，
由②解得a＝±3，b＝－2.
③中a，b无整数解，不符合题意．
综上所述，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．设M是一个非空集合，f是一种运算．如果对于集合M中的任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”．已知集合M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Q}，试验证M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．
解：任取p，q∈M，设p＝a1＋b1，q＝a2＋b2，(a1，b1，a2，b2∈Q)，
则p＋q＝a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2).
∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1＋a2∈Q，b1＋b2∈Q，
∴(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈M，即p＋q∈M.
同理，p－q∈M.p·q＝(a1＋b1)(a2＋b2)
＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1).
∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1a2＋2b1b2∈Q，a1b2＋a2b1∈Q，
∴(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈M，即p·q∈M.
同理，∈M.
∴M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 ( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅ D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
解析：选D 集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝
C正确．故选D.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 ( )
A. B．或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 ( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.
解析：由复数相等可知，解得
答案： 1
7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
层级(二) 能力提升练
1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．
2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 ( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：选B 由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.
3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________．
解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0，
∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，，
∴α的取值集合为.
答案：
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为.
5．已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m的值．
解：由于m是纯虚数，设m＝bi(b∈R，且b≠0)．设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0.因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，
得解得b＝，所以纯虚数m＝i.
层级(三) 素养培优练
1．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
即解得x＝－1，y＝2.
2．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？
解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集．
7．1.2 复数的几何意义
明确目标
发展素养
1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．
2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数．
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题.
1.通过学习复平面及复数的几何意义，提升直观想象、逻辑推理素养．
2.通过研究复数模与向量模的关系，增强直观想象素养.
知识点一 复平面与复数的几何意义
(一)教材梳理填空
1．复平面：
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
[微思考] 有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话正确吗？
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2. 复数的几何意义：
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
答案：A
2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为 ( )
A．0 B．－5
C．－5i D．5
答案：C
知识点二 复数的模与共轭复数
(一)教材梳理填空
1．复数的模：
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值．
(2)记法：记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)．
2．共轭复数：
(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.
(二)基本知能小试
1．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝ ( )
A．2 B．5
C. D．4
答案：C
2．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z＝________.
答案：－＋2i
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.
答案：－1 1
题型一 复数与复平面内点的关系
[探究发现]
(1)在复平面内，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？
提示：看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．
(2)在复平面内，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？
提示：a>0，且b>0. 在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
【学透用活】
[典例1] 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)由点Z在复平面的第二象限内，
可得解得a＜－3.
(2)由点Z在复平面内的x轴上方，
可得
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
[方法技巧]
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
解：因为点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
解得a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，
解得a＝－2或a＝±.所以a＝－2或a＝±时，
点Z在直线x＋y＋7＝0上．
题型二 复数与复平面内向量的关系
【学透用活】
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[典例2] (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是 ( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 ( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
[解析] (1)由复数的几何意义，得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．
(2)复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得．
(3)一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
【对点练清】
1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．
解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得解得∴x＋y＝5.
答案：5
2．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量 ＋， 对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
解：(1)由复数的几何意义，得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＋＝(1,4)＋(0，－3)＝(1,1)，＝－＝(2,0)－(1,4)＝(1，－4)，所以＋对应的复数是1＋i，对应的复数是1－4i.
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，2，由平行四边形的性质知BD的中点也是，2，若设D(x0，y0)，则有解
得故D(3,7)．
法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，而＝(0，－3)，于是D(3,7)．
题型三 共轭复数
【学透用活】
[典例3] 已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值．
[解] 由题意得，4－20i的共轭复数为4＋20i，则解得x＝－3，故x的值为－3.
关于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解． [方法技巧]
【对点练清】
1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 由已知可得，＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)，位于第三象限．
2．已知x2＋x＋(y－1)i与2＋3i互为共轭复数，求实数x，y的值．
解：由题意，可得
解得x＝1或－2，y＝－2，
所以x的值为1或－2，y的值为－2.
题型四 与复数模有关的问题
【学透用活】
[典例4] 已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，
所以Z到原点的距离为2.
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
[方法技巧]
(1)复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝ .
(2)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
(3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，这是一种复数问题实数化思想．
【对点练清】
1．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝ ( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
解析：选D 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝得 ＝，解得a＝±1，
故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
2．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是 ( )
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
解析：选D 因为|z|＜2，所以 ＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)．由题意可知，点A的坐标为(2,1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)．由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
二、应用性——强调学以致用
2．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.试判断△ABC的形状．
解：由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC边为斜边的直角三角形．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，则复数z在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？
解：∵z∈C，∴|z|∈R，∴1－|z|∈R.
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，∴A＝{z||z|≤1}．
∵B＝{z||z|<1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
∵A∩(∁UB)等价于z∈A，且z∈∁UB，
∴|z|≤1且|z|≥1，即|z|＝1，
由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点组成的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是 ( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选ABD 2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 ( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为 ( )
A．8－3i B．－8－3i
C．3＋8i D．－8＋3i
解析：选A 关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为 ( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
解析：选D 由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为 ( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.
6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________.
解析：∵＝，且a＞0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1 1＋i
7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，
∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.
答案：1
8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)位于上半平面(含实轴)．
解：(1)若点位于第四象限，则
∴∴－7
∴∴m＝4.
(3)若点位于上半平面(含实轴)，
则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.
层级(二) 能力提升练
1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝ ( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：选D 设复数z对应的点为(x，y)，
则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1，
y＝|z|·sin 120°＝2×＝，
所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.
2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．
解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限．
解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限．
答案：5＋4i或＋i 一
4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离．
解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，
所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量＋对应的复数是2.
又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，
所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离
||＝＝2.
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，
Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，
则向量
，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：
|z1|＝＝；
|z2|＝ ＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
层级(三) 素养培优练
设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，
则有log2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.
因为所以m＝4，
此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈
.
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
明确目标
发展素养
1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．
2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
1.通过学习复数代数形式的加、减运算，提升逻辑推理、数学运算素养．
2.通过对复数加、减法运算几何意义的理解，强化直观想象素养.
知识点一 复数的加法、减法
(一)教材梳理填空
1．复数的加法、减法的运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数的加法运算律：
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个虚数的和或差可能是实数． (√)
(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部． (√)
(3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． (×)
2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为 ( )
A．1 B．－i C．5＋2i D．1－i
答案：A
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝ ( )
A．0 B．6i C．6 D．6－6i
答案：D
知识点二 复数加、减法运算的几何意义
(一)教材梳理填空
复数加
法的几
何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数
复数减
法的几
何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量Z2Z1―→所对应的复数
(二)基本知能小试
1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
答案：1－i
2．在复平面内，若，对应的复数分别为7＋i,3－2i，则||＝________.
答案：5
题型一 复数的加、减运算
【学透用活】
对复数加、减法运算的五点说明
(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数．
(4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．
(5)虚数单位i：在进行复数加、减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号、合并同类项即可．
[典例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
答案：－2－i
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
[方法技巧]
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【对点练清】
1．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( )
A．(0,3) B．(－∞，－2)
C．(－2,0) D．(3,4)
解析：选D 由题意得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i.
∵对应的点在第二象限，
∴∴3
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i.
又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3.
答案：3
3．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得∴z＝－4＋3i.
答案：－4＋3i
题型二 复数加、减运算的几何意义
【学透用活】
[典例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i.
因为 对应的复数为zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以||＝|7＋2i|＝ ＝.
因为对应的复数为zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝ ＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
[方法技巧]
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
【对点练清】
1．设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－.
解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i
＝1＋2i，在复平面内作出－如图中Z2Z1―→所示．
2．设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2， 并在复平面内作出＋.
解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i，在复平面内作出
＋2如图中所示．
题型三 复数加、减运算几何意义的应用
[探究发现]
(1)满足|z|＝1的所有复数z对应的点构成什么图形？
提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
(2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【学透用活】
[典例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[解] 法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝.
法二：作出z1，z2对应的向量，，使＋＝.
∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又|z1＋z2|＝，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝.
[方法技巧]
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【对点练清】
1．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为 ( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝＝
＝.
法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝＝.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．证明等式|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2对任意复数z1，z2都成立，并给出这个等式的一个几何意义．
证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
则z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，
∴|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝a＋a＋b＋b＋2a1a2＋2b1b2，|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2＝a＋a＋b＋b－2a1a2－2b1b2，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2a＋2a＋2b＋2b.
又|z1|2＝a＋b，|z2|2＝a＋b，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2对任意复数z1，z2都成立．
该等式的一个几何意义可以是：平行四边形对角线的平方和等于相邻两边平方和的2倍．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．已知复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，求|z1－z2|的最大值．
解：|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝＝
＝ .
∵|cosθ＋|max＝1，∴|z1－z2|max＝＝＋1.
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象
限．
2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.
3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为 ( )
A．2＋8i B．4－4i C．6－6i D．－4＋2i
解析：选B ＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于 ( )
A．1 B． C．2 D．2
解析：选D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D.
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A 因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
答案：5
7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析：由已知得，x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，
∴解得
答案：6 11
8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
层级(二) 能力提升练
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，
∴a＝－1.故选D.
2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________.
解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i.
答案：3－6i
3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4.
答案：－4
4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解：∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．
又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
层级(三) 素养培优练
1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形．
2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，得－2sin2θ＝－，
即sin2θ＝，∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或.
7．2.2 复数的乘、除运算
明确目标
发展素养
1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够进行复数的乘、除运算．
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．
2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推理素养.
知识点一 复数的乘法及运算律
(一)教材梳理填空
1．复数的乘法法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
[微思考] 已知z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝z2正确吗？
提示：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
(二)基本知能小试
1．(1＋i)(2＋i)＝ ( )
A．1－i B．1＋3i C．3＋i D．3＋3i
答案：B
2．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·＝ ( )
A. B． C．3 D．5
答案：D
知识点二 复数的除法及运算律
(一)教材梳理填空
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
[微思考] 复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的数？
提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘分母的“实数化因式”(共轭复数)．
(二)基本知能小试
1．复数－i＋等于 ( )
A．－2i B.i C．0 D．2i
答案：A
2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
3．已知复数z满足(1＋3i)z＝10，则z＝________.
答案：1－3i
题型一 复数的乘法运算
【学透用活】
对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论：
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
[典例1] (1)(2019·全国卷 Ⅱ )设z＝i(2＋i)，则＝ ( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.
(2)(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
【对点练清】
1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝ ( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
解析：选D (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
题型二 复数的除法运算
【学透用活】
对复数除法的三点说明
(1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
(3)常用结论：
①＝－i；②＝i；③＝－i.
[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝ ( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝ ( )
A．2 B．
C. D．1
[解析] (1)由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝＝＝，
∴|z|＝ ＝.
法二：|z|＝＝＝.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧]
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
【对点练清】
1．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数
对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
3．计算：＋－.
解：原式＝＋－
＝＋－
＝8＋8－16i－16＝－16i.
题型三 复数范围内方程根的问题
【学透用活】
[典例3] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
[解] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴解得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
[方法技巧]
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此式代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【对点练清】
在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5.
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i.
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2.
因为(i)2＝(－i)2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±，所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z|＝，所以x2＋y2＝2，
因为z2＝x2－y2＋2xyi的虚部为2，所以2xy＝2，
所以xy＝1.
因此x2＋＝2，所以x2＝1，所以或
所以z＝1＋i或－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，即A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，因此三角形面积为×1×2＝1，
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，即A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，因此三角形面积为×1×(－1＋3)＝1，因此△ABC的面积为1.
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.
∵z＋是实数，∴b－＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
联立①②得解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
解析：选C ＝＝＝－＋i，故选C.
2.＝ ( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D ＝＝＝2－i.故选D.
3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选B ∵＝＝＝1＋i，
∴其共轭复数为1－i.
4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.
6．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.
答案：2
7．(2019·浙江高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝－i，
∴|z|＝ ＝.
答案：
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝，
根据已知条件可知3a－8＝0，解得a＝.
答案：
9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有
解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级(二) 能力提升练
1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 ( )
A．复数z＝的虚部为
B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i
C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数z满足∈R，则z∈R
解析：选ABD 对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．
2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.
答案：4i
3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______.
解析：∵实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知
∴b＝－2，c＝3.
答案：－2 3
4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．
解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得解得∴p＋q＝38.
5．已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z＝1＋i，
所以＝＝1－i，
即＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以解得
层级(三) 素养培优练
1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝ ( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选A 由欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ有：eiπ＝cos π＋isin π＝－1.由(eiπ－z)·i＝1＋i，即(－1－z)·i＝1＋i.所以－1－z＝＝1－i，即z＝－2＋i，所以|z|＝＝.
2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是 ( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
解析：选BC 由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当2＝z3时，则z2＝3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z3·13＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11⇒z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确．
3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z－|＝|z|，
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.
阶段验收评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．复数(2＋i)2等于 ( )
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
解析：选A (2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.
2．已知＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标为 ( )
A．(5,5) B．(－5，－5)
C．(1,3) D．(－5,5)
解析：选C 因为＝(3,4)＝(xB＋2，yB＋1)，
所以xB＋2＝3，yB＋1＝4，
故xB＝1，yB＝3，即B(1,3)．
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于 ( )
A．2 B．
C．2或 D．以上都不对
解析：选C ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴5＝15＋c2－2×c×，化简得c2－3c＋10＝0，
即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.
4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，则a·(a－2b)＝ ( )
A．3 B．9
C．12 D．15
解析：选D ∵a·b＝3×2×cos＝－3，
∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝9－2×(－3)＝15.故选D.
5．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于 ( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选B ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.
由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.
6．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于( )
A. B．
C. D.
解析：选C 由题意得，＝ti，t≠0，t∈R，
所以2－i＝－t＋tai，
所以解得
所以z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝.
7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为CD边的中点，
＝，若·＝－4，则cos∠BAD＝ ( )
A. B．
C. D.
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是CD边的中点，＝，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
∴·＝＋ ·－
＝2－2－·
＝×32－×42－×3×4×cos∠BAD
＝6－8－8cos∠BAD＝－4，
∴cos∠BAD＝.
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴 的夹角分别为和，向量满足＋＋＝0，则与x轴正半轴夹角的取值范围是 ( )
A. B．
C. D.
解析：选B 由题意＝－－，由向量加法的几何意义得是以－与－为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量，所以与x轴正半轴夹角的取值介于－与－与x轴正半轴夹角之间．由题意得－，－与x轴正半轴夹角分别为与.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为 ( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
解析：选BD ∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选B、D.
10．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是 ( )
A．＝＋
B．＝－
C． ＝＋
D．＝＋
解析：选BD 易证△DEN∽△BAN，
又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB，
∴＝＋＝＋，∴D说法错误；
∵＝＝＋，∴C说法正确；
∵＝＋
＝(＋)＋(－)＝＋，
∴A说法正确，B说法错误．故选B、D.
11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是 ( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：选ACD 若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．
由于a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．
对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)·(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
12．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有 ( )
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
解析：选ACD 对于A：sin2A＝sin2B，
∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，A正确；
对于B：由sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形，B错误；
对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以θ＝.
答案：
14.
如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，
则z2＝________.
解析：由题图可知，z1＝－1＋2i，∴由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)I
＝－2－i.
答案：－2－i
15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a2－a·b－2b2＝0.
∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
则3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案：
16.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和 90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为______m，旗杆BA的高为______m．(用含有l和α的式子表示)
解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α，
在Rt△P2BC中，∠P2＝.
∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2，
∴∠P1BP2＝，即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l，
∴BC＝lsin α.
在Rt△ACP1中，＝＝tan(90°－α)，
∴AC＝，则BA＝AC－BC＝－lsin α＝＝.
答案：lsin α
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z ，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，得－1－3i＋a＋bi＝0，
则所以
所以z＝－4＋3i.
则＝＝＝3＋4i.
18.(12分)如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M
分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
(1)以{a，b}为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.连接AF(图略)，
∵＝＋＝a＋b，
∴＝＋＝－b＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°
＝3×4×＝－6，
从而·＝·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42
＝－.
19．(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解：(1)由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知，b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，
可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.
20．(12分)如图，向量与的夹角为，||＝2，||＝1，P是以O为圆心，||为半径的弧上的动点．若OP―→＝λ＋μ，求λμ的最大值．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，
则OP―→＝(cos θ，sin θ)，＝(2,0)，
＝.
∵OP―→＝λ＋μ，
∴cos θ＝2λ－μ，sin θ＝μ，
∴
∴λμ＝sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin＋≤.
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，取等号，
∴λμ的最大值为.
21．(12分)①B＝，②a＝2，③bcos A＋acos B＝＋1，从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小．
解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos A＝，
S＝bcsin A，所以2bcsin A＝2bccos A.
显然cos A≠0，所以tan A＝1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
若选择①B＝，由＝，
得a＝＝＝2.
又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
所以S＝absin C＝.
若选择②a＝2，由＝，得sin B＝＝.
又B∈，所以cos B＝.
sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S＝absin C＝.
若选择③bcos A＋acos B＝＋1，
所以acos B＝1，即a·＝1，
所以a2＝6＋2c－c2.
又a2＝6＋c2－2c·＝6＋c2－2c，
所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1，
所以S＝bcsin A＝.
22.(12分)如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B需要8分钟，AC长为1 260米，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，求乙步行的速度v(米/分)的取值范围．
解：在△ABC中，∵cos A＝，sin B＝，
∴sin A＝＝ ＝.
由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(米)，
乙从B出发时，甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550 米，还需走710 米才能到达C.
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度v(米/分)应控制在，范围内．
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