第7章复数7.1.2复数的几何意义学案含解析

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7.1.2　复数的几何意义 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 问题：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？ 知识点1　复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； (2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数； (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应： 复数z＝a＋bieq \a\vs4\al\co1()复平面内的点Z(a，b)； (2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应： 复数z＝a＋bieq \a\vs4\al\co1()平面向量eq \o(OZ,\s\up7(→))． 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ [提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(　　) A．(3，－5)　　　　　　 B．(3,5) C．(3，－5i) D．(3,5i) A　[复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．] 2．若eq \o(OZ,\s\up7(→))＝(0，－3)，则eq \o(OZ,\s\up7(→))对应的复数(　　) A．等于0 B．等于－3 C．在虚轴上 D．既不在实轴上，也不在虚轴上 C　[向量eq \o(OZ,\s\up7(→))对应的复数为－3i，在虚轴上．] 知识点2　复数的模 1．定义：向量eq \o(OZ,\s\up7(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|(a，b∈R)． 2．求法：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)，其中a，b∈R． 3．模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复数的模一定是正实数． (　　) (2)两个复数相等，它们的模一定相等，反之也成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________． eq \r(5)　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)．] 知识点3　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用 eq \o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi． 5．复数z＝－3－2i的共轭复数eq \o(z,\s\up6(－))＝________，|eq \o(z,\s\up6(－))|＝________． －3＋2i　eq \r(13)　[z＝－3－2i的共轭复数eq \o(z,\s\up6(－))＝－3＋2i，|eq \o(z,\s\up6(－))|＝eq \r(－32＋22)＝eq \r(13)．] 类型1　复数与复平面内的点的关系 【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝eq \f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． [解]　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)<0，,a2－2a－15>0，)) 解得a＜－3． (2)点Z在x轴上方， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2a－15>0，,a＋3≠0，)) 解得a＞5或a＜－3． 即当a＞5或a＜－3时，点Z在x轴上方． 1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值． [解]　点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5． 故a＝5时，点Z在x轴上． 2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． [解]　因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， 所以eq \f(a2－a－6,a＋3)＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±eq \r(15)． 所以a＝－2或a＝±eq \r(15)时，点Z在直线x＋y＋7＝0上． 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． eq \o([跟进训练]) 1．若关于实数x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第________象限． 二　[因为mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,－1×2＝\f(p,m)，))所以m＜0，p＞0，故复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第二象限．] 类型2　复数与复平面内向量的对应 【例2】　(对接教材P71例2)在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点． (1)求向量eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))和eq \o(AC,\s\up7(→))对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． [解]　(1)由已知得eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(OC,\s\up7(→))所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，则eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1,4)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(0，－3)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝(2,0)， 因此eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1，－4)， 故eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))对应的复数为1＋i， eq \o(AC,\s\up7(→))对应的复数为1－4i． (2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，由平行四边形的性质知BD的中点也是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))， 若设D(x0，y0)， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0＋x0,2)＝\f(3,2)，,\f(－3＋y0,2)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝7，))故D(3,7)． 即顶点D对应的复数为3＋7i． 法二：由已知得eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1,4)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(0，－3)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝(2,0)，所以eq \o(BA,\s\up7(→))＝(1,7)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(2,3)， 由平行四边形的性质得eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝(3,10)， 所以eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＝(3,7)，于是D(3,7)． 即顶点D对应的复数为3＋7i． 复数与向量的对应和转化 对应：复数z与向量eq \o(OZ,\s\up7(→))是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． 解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理． eq \o([跟进训练]) 2．(1)在复平面内，O为原点，向量eq \o(OA,\s\up7(→))表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量eq \o(OB,\s\up7(→))表示的复数为(　　) A．－2－i　　B．1＋2i　　C．－2＋i　　D．－1＋2i (2)在复平面内，把复数3－eq \r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转eq \f(π,3)，所得向量对应的复数是(　　) A．2eq \r(3) B．－2eq \r(3)i C．eq \r(3)－3i D．3＋eq \r(3)i (1)C　(2)B　[(1)由题意得A(－1,2)，则B(－2,1)，所以向量eq \o(OB,\s\up7(→))表示的复数为－2＋i． (2)复数3－eq \r(3)i对应的向量的坐标为(3，－eq \r(3))，按顺时针方向旋转eq \f(π,3)后得到新向量的坐标为(0，－2eq \r(3))，所得向量对应的复数为－2eq \r(3)i．] 类型3　复数的模及其应用 【例3】　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．2 (2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________． 1．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？ [提示]　|z|＝eq \r(x2＋y2)，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0,0)的距离． 2．复数z满足|z－i|＝1，其几何意义是什么？ [提示]　由|z－i|＝1可知点z到点(0,1)的距离为1． (1)B　(2)－15＋8i　[(1)因为x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故选B． (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z|＝eq \r(a2＋b2)， 代入方程得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.)) ∴z＝－15＋8i．] 1．复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝eq \r(a2＋b2)． 2．复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离． 3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． eq \o([跟进训练]) 3．若复数z＝eq \f(2a－1,a＋2)＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________． eq \r(29)　[∵z为实数，∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2或3．∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3， ∴z1＝2－5i，∴|z1|＝eq \r(29)．] 4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围． [解]　法一：∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝eq \r(32＋a2)， 由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq \r(7)，eq \r(7))． 法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)， 由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上， 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合． 由图可知：－eq \r(7)