第七章 复数 学案

第七章 | 复数

7．1　复数的概念

7．1.1　数系的扩充和复数的概念

知识点一　复数的概念

(一)教材梳理填空

1．复数的定义及表示方法：

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

(2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi.

2．复数集：

(1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．

(2)表示：通常用大写字母C表示．

3．复数相等：

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

[微思考]　若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？

提示：由复数相等的性质知a＝b＝0.

(二)基本知能小试

1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是         (　　)

①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．0

答案：A

2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是      (　　)

A．3－i  B．3＋i

C．－1＋4i  D．1＋3i

答案：C

3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.

答案：5

知识点二　复数的分类

(一)教材梳理填空

(1)复数a＋bi(a，b∈R)

(2) 集合表示：

[微思考]　虚数为什么不能比较大小？

提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：

若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾；

若i<0，则－2<－1，得－2i>－i，所以－2i·i<－i·i，即2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的，故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．

(二)基本知能小试

1．判断正误：

(1)复数z＝bi是纯虚数．          (×)

(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．          (√)

(3)实数集和虚数集的交集不是空集．          (×)

2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为         (　　)

A．－1  B．0

C．1  D．－1或1

答案：A

3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.

答案：－1

题型一　复数的有关概念

【学透用活】

[典例1]　(多选)下列说法中错误的是         (　　)

A．复数2＋3i的虚部是3

B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数

C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数

D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数

[解析]　复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C.

[答案]　BC　

[方法技巧]

判断与复数有关的命题是否正确的方法

(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答．

(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．

[提醒]　解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．　　

【对点练清】

下列说法中正确的是         (　　)

A．复数由实数、虚数、纯虚数构成

B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0

C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数

D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i

解析：选C　选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．

题型二　复数的分类

【学透用活】

[典例2]　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？

(1)是虚数；(2)是纯虚数．

[解]　(1)当

即m≠5且m≠－3时，z是虚数．

(2)当

即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．

[方法技巧]

利用复数的分类求参数的方法及注意事项

(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．

(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．

(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.　　

【对点练清】

1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？

解：由解得m＝5.

即m＝5时，z是实数．

2．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z>0?

解：因为z>0，所以z为实数，需满足

解得m＝5.

题型三　复数相等及应用

【学透用活】

(1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．

(2)运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错．

[典例3]　(1)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝                                                                                                                              (　　)

A．4或0　　　　　　　　　 B．－4或0

C．2或0  D．－2或0

(2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．

[解析]　(1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.

(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，

所以

即解得x＝－2.

[答案]　(1)A　(2)－2

[方法技巧]

利用复数相等求参数值的思路

(1)将等式两边都整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；

(2)由复数相等的充要条件可以得到满足条件的方程组；

(3)解方程组，求出相应的参数．　　

【对点练清】

1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．

解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴

解得或

答案：或

2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，

∴解得

∴a＝－1，故实数a的值为－1.

答案：－1

【课堂思维激活】

一、综合性——强调融会贯通

1．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b的值．

解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①

或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②

或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③

由①解得a＝－3，b＝±2，

由②解得a＝±3，b＝－2.

③中a，b无整数解，不符合题意．

综上所述，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.

二、创新性——强调创新意识和创新思维

2．设M是一个非空集合，f是一种运算．如果对于集合M中的任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”．已知集合M＝{x|x＝a＋b，a，b∈Q}，试验证M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．

解：任取p，q∈M，设p＝a1＋b1，q＝a2＋b2，(a1，b1，a2，b2∈Q)，

则p＋q＝a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2).

∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1＋a2∈Q，b1＋b2∈Q，

∴(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈M，即p＋q∈M.

同理，p－q∈M.p·q＝(a1＋b1)(a2＋b2)

＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1).

∵a1，b1，a2，b2∈Q，a1a2＋2b1b2∈Q，a1b2＋a2b1∈Q，

∴(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈M，即p·q∈M.

同理，∈M.

∴M对于加法、减法、乘法和除法(除数不为0)运算是封闭的．

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练

1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是       (　　)

A．3－3i　　　　　　　 B．3＋i

C．－＋i  D.＋i

解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.

2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为        (　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选D　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.

3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C  B．A＝B

C．A∩(∁SB)＝∅  D．(∁SA)∪(∁SB)＝C

解析：选D　集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝

C正确．故选D.

4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为     (　　)

A.  B．或π

C．2kπ＋(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)

解析：选D　由复数相等定义得

∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．

5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则      (　　)

A．a＝－1  B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1  D．a≠2

解析：选C　由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1.

6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.

解析：由复数相等可知，解得

答案：　1

7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．

解析：由题意得解得m＝2.

答案：2

8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数．

解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．

由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．

层级(二)　能力提升练

1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的       (　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选B　因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．

2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为                                                                                                                               (　　)

A．4  B．－1

C．－1或4  D．－1或6

解析：选B　由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.

3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________．

解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0，

∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，，

∴α的取值集合为.

答案：

4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．

解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为.

5．已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m的值．

解：由于m是纯虚数，设m＝bi(b∈R，且b≠0)．设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0.因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，

得解得b＝，所以纯虚数m＝i.

层级(三)　素养培优练

1．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．

解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.

因为x，y为实数，所以有

即解得x＝－1，y＝2.

2．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？

解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集．

7．1.2　复数的几何意义

知识点一　复平面与复数的几何意义

(一)教材梳理填空

1．复平面：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

[微思考]　有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话正确吗？

提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

2. 复数的几何意义：

(二)基本知能小试

1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为        (　　)

A．(0，－1)　　　　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,0)  D．(－1，－1)

答案：A

2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为      (　　)

A．0  B．－5

C．－5i  D．5

答案：C

知识点二　复数的模与共轭复数

(一)教材梳理填空

1．复数的模：

(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值．

(2)记法：记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)．

2．共轭复数：

(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.

(二)基本知能小试

1．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝          (　　)

A．2  B．5

C.  D．4

答案：C

2．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z＝________.

答案：－＋2i

3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.

答案：－1　1

题型一　复数与复平面内点的关系

[探究发现]

(1)在复平面内，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？

提示：看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．

(2)在复平面内，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？

提示：a>0，且b>0. 在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．

【学透用活】

[典例1]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内；

(2)在复平面内的x轴上方．

[解]　(1)由点Z在复平面的第二象限内，

可得解得a＜－3.

(2)由点Z在复平面内的x轴上方，

可得

即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.

[方法技巧]

利用复数与点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　　

【对点练清】

1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．

解：因为点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，

解得a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．

2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．

解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，

所以＋a2－2a－15＋7＝0，

即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，

解得a＝－2或a＝±.所以a＝－2或a＝±时，

点Z在直线x＋y＋7＝0上．

题型二　复数与复平面内向量的关系

【学透用活】

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

[典例2]　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是                                                                                                                   (　　)

A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i

C．0  D．10＋8i

(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是                                                                                                    (　　)

A．－5＋5i  B．－5－5i

C．5＋5i  D．5－5i

[解析]　(1)由复数的几何意义，得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0.

(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．

所以对应的复数是5－5i.

[答案]　(1)C　(2)D

[方法技巧]

(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．

(2)复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得．

(3)一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．　

【对点练清】

1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．

解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，

即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，

∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.

由复数相等可得解得∴x＋y＝5.

答案：5

2．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．

(1)求向量 ＋， 对应的复数；

(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．

解：(1)由复数的几何意义，得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＋＝(1,4)＋(0，－3)＝(1,1)，＝－＝(2,0)－(1,4)＝(1，－4)，所以＋对应的复数是1＋i，对应的复数是1－4i.

(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，2，由平行四边形的性质知BD的中点也是，2，若设D(x0，y0)，则有解

得故D(3,7)．

法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，而＝(0，－3)，于是D(3,7)．

题型三　共轭复数

【学透用活】

[典例3]　已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值．

[解]　由题意得，4－20i的共轭复数为4＋20i，则解得x＝－3，故x的值为－3.

关于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解．　　[方法技巧]

【对点练清】

1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于    (　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　由已知可得，＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)，位于第三象限．

2．已知x2＋x＋(y－1)i与2＋3i互为共轭复数，求实数x，y的值．

解：由题意，可得

解得x＝1或－2，y＝－2，

所以x的值为1或－2，y的值为－2.

题型四　与复数模有关的问题

【学透用活】

[典例4]　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.

(1)求|z1|及|z2|并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？

[解]　(1)|z1|＝|＋i|＝＝2，

|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．

由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.

所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，

所以Z到原点的距离为2.

所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

[方法技巧]

(1)复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝ .

(2)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．

(3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，这是一种复数问题实数化思想．　

【对点练清】

1．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝       (　　)

A．1＋2i　　　　　　　　 B．－1－2i

C．±1±2i  D．1＋2i或－1－2i

解析：选D　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，

由|z|＝得 ＝，解得a＝±1，

故z＝1＋2i或z＝－1－2i.

2．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是       (　　)

A．(－2，2)  B．(－2,2)

C．(－1,1)  D．(－，)

解析：选D　因为|z|＜2，所以 ＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜.

【课堂思维激活】

一、综合性——强调融会贯通

1．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.

(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．

解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)．由题意可知，点A的坐标为(2,1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，

故z1＝2－i.

(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，

则点C的坐标为(x2，y2)．由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.

二、应用性——强调学以致用

2．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.试判断△ABC的形状．

解：由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，

所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.

因为||＝，||＝2，||＝，

所以||2＋||2＝||2，

所以△ABC是以BC边为斜边的直角三角形．

三、创新性——强调创新意识和创新思维

3．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，则复数z在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？

解：∵z∈C，∴|z|∈R，∴1－|z|∈R.

由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，

即|z|≤1，∴A＝{z||z|≤1}．

∵B＝{z||z|<1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．

∵A∩(∁UB)等价于z∈A，且z∈∁UB，

∴|z|≤1且|z|≥1，即|z|＝1，

由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点组成的集合是以原点O为圆心，1为半径的圆．

课时跟踪检测

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是    (　　)

A．z在复平面内对应的点在第一象限

B．z一定不是纯虚数

C．z在复平面内对应的点在实轴上方

D．z一定是实数

解析：选ABD　2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．

2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是      (　　)

A．(1，)　　　　　　　 B．(1，)

C．(1,3)  D．(1,5)

解析：选B　|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.

3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为                                                                                                                 (　　)

A．8－3i  B．－8－3i

C．3＋8i  D．－8＋3i

解析：选A　关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．

4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为                                                                                        (　　)

A．－1＋i  B．1－i

C．－5－5i  D．5＋5i

解析：选D　由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.

5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为     (　　)

A．一个圆  B．线段

C．两点  D．两个圆

解析：选A　∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.

6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________.

解析：∵＝，且a＞0，

∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.

答案：1　1＋i

7．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.

解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，

∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.

答案：1　

8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：

(1)位于第四象限；

(2)位于x轴负半轴上；

(3)位于上半平面(含实轴)．

解：(1)若点位于第四象限，则

∴∴－7<m<3.

(2)若点位于x轴负半轴上，则

∴∴m＝4.

(3)若点位于上半平面(含实轴)，

则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.

层级(二)　能力提升练

1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝                                                                                                                  (　　)

A．1＋i  B．2

C．(－1，)  D．－1＋i

解析：选D　设复数z对应的点为(x，y)，

则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1，

y＝|z|·sin 120°＝2×＝，

所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.

2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．

解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2，解得m＝9.

答案：9

3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限．

解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限．

答案：5＋4i或＋i　一

4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离．

解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，

所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，

所以向量＋对应的复数是2.

又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，

所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离

||＝＝2.

5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.

解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，

Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，

则向量

，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．

各复数的模分别为：

|z1|＝＝；

|z2|＝ ＝1；

|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.

层级(三)　素养培优练

设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.

(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；

(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．

解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，

则有log2(m2－3m－3)＝0，

所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.

因为所以m＝4，

此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.

(2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈

.

7．2 复数的四则运算

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义