高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合教学设计，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《排列与组合》教学设计
课时3组合与组合数公式
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
排列与排列数公式
学习理解能力
观察记忆
概括理解
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
数学抽象
逻辑推理
【考查内容】
排列问题、组合问题及排列与组合的综合应用
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
排列的综合应用
数学建模
数学运算
组合与组合数公式
数学抽象
逻辑推理
组合的综合应用
数学建模
数学运算
一、本节内容分析
排列与组合是组合学最基本的概念,其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,而不考虑将它们排序.
本节是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷地求出计数结果的数学运算.
排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题;在下一节中,二项式系数就是组合数;在后续学习中还可看到它们与概率紧密不可分.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.排列与排列数公式
2.排列的综合应用
3.组合与组合数公式
4.组合的综合应用
数学抽象
数学建模
逻辑推理
数学运算
核心素养





二、学情整体分析
从学生的现有知识水平看,学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考.从能力的角度看,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,对数学中归纳、化归、由特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱.教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生主动探究的兴趣,借助小组讨论、合作交流,全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.排列与排列数公式
2.排列的综合应用
3.组合与组合数公式
4.组合的综合应用
【教学目标设计】
1.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到排列的定义,并能利用定义判断排列问题.
2.能将所求排列数的结果归纳为一般形式,从而得出排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数.
3.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到组合的定义,并能利用定义判断组合问题,知道组合问题与排列问题的区别与联系.
4.能由组合数与排列数的关系得到所求组合数,再将具体结果归纳为一般形式,从而得到组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数.
【教学策略设计】
1.将数学文化和数学知识、实际生活有机地融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥.
2.以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性.
3.让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,体验从生活中发现数学的奇妙.
4.通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动,在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程.
5.注重渗透“特殊与一般”“分类讨论”“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法,让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质,真正做到“授之以鱼不如授之以渔”.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.排列和排列数公式.
2.组合和组合数公式.
难点 1.推导组合数公式.
2.排列与组合的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与(教材P14问题1)有什么联系与区别?
【师生活动】可以根据学生的具体情况,选择下列合适的问题引导学生对问题1进行分析:(1)问题1要完成的“一件事情”是什么?比较(教材P14问题1)与本节问题1中要完成的“一件事情”,它们有什么异同?
(2)列出问题1的各种不同选法,与(教材P14问题1)的选法相比,它们有什么不同?是否与顺序有关?
问题2:如果把问题1的背景去掉,把被选出的同学叫做元素,那么还可怎样表述问题1?你能将它推广到一般情形吗?
【设情境 作铺垫】
既检测了分析解决排列问题的情况,又在排列问题的基础上引出组合问题,为抽象得到组合的概念作准备.
【师生活动】教师引导学生思考下列问题:
(1)在教材P14中,把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?”类似地,应该如何表述本节问题1呢?
(2)在教材P14中,把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?”类似地,应该如何将本节问题1推广到一般情形呢?
【要点知识】
组合的概念
一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
【自主学习】
类比排列概念的形成,从特殊到一般得出组合的概念.
问题3:你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗?
【师生活动】教师引导学生结合下列具体问题进行思考:
(1)列出教材P14问题1中相同元素的排列,这样的排列共有几组?
(2)对比本节问题1与教材P14问题1,它们所取的元素是否相同?它们与顺序是否有关?本节问题1的组合个数与教材P14节问题1的排列数有何关系?
(3)“从个不同元素中取出个元素的组合”与“从个不同元素中取出个元素的排列”的联系与区别分别是什么?
生:排列与组合的相同点为:从个不同元素中取出个元素;不同点为:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
追问:校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆.下面的问题是排列问题,还是组合问题?
(1)从中选3辆,有多少种不同的方法?
(2)从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法?
【师生活动】教师引导学生根据排列、组合的定义,抓住是否有“顺序”这个关键解决问题.
在教学中,还可以让学生举出不同的具体实例,并说明这些例子是否属于组合问题,通过这些实例增强学生对组合的认识.
【以学论教】
通过分析、比较组合与排列的实例,以及利用概念判断是排列问题还是组合问题,理清排列与组合的联系和区别,进一步明确组合的概念.
师:下面进行例题探究.
【典型例题】
组合的应用
例1 平面内有共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?
【师生活动】教师要引导学生判断是排列问题还是组合问题,关键是下面两个问题:
(1)要完成的“一件事情”是什么?
(2)完成的“一件事情”是否与“顺序”有关?
学生回答问题,教师展示答案.
【典型解析】
组合的应用
解:(1)一条有向线段的两个端点要分起点和终点,以平面内4个点中的2个点为端点的有向线段的条数,就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段条数为.
这12条有向线段分别为.
(2)由于不考虑两个端点的顺序,因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条:.
【分析计算能力】
教师引导,学生独立解题,体验利用排列分组的概念解决问题的乐趣,在解题过程中提升分析计算能力.
问题4:在本节中,我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数,但随着元素个数的增加,这样的方法就越来越繁琐了,是否能像排列一样,也能找到计算组合个数的公式,从而能便捷地求出组合个数?
【师生活动】(1)为了便于表达和计算组合个数,类比排列数,教师同样可以先引入组合数的概念和表示:把从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,并用符号表示.并说明组合数与组合有何区别.
(2)用组合数符号表示本节问题1的组合数,并说明组合数与组合有何区别.
【概括理解能力】
通过问题串的形式,教师提问,学生探究回答问题进行组合数公式的推导,提升学生的概括理解能力.
问题5:前面已经提到,组合与排列有关系,我们能否利用这种关系,用排列数来求组合数呢?
追问(1):我们知道,可以利用排列数公式求出教材P14问题1的排列数,那么能否在此基础上求出与之有关的本节问题1的组合数呢?
能否用与(1)同样的方法,求从4个不同元素中取出3个元素的组合数?
【师生活动】我们已经知道,教材P14问题1中相同元素的排列有3组,每组的排列数是2,即排列数.而本节问题1中的每一组都对应着教材问题1中相同元素的一组排列,且组合数这样,我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”,以“元素相同”为标准,建立了排列和组合之间的对应关系,并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数.
追问(2):依据求组合数和的方法,如何求组合数?
【师生活动】求“从个不同元素中取出个元素的排列数,可以看作由以下两个步骤得到:
第一步:从个不同元素中取出个元素,共有种不同的取法;
第二步:将取出的个元素作全排列,共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理,有.因此,.
这里.这个公式叫做组合数公式.
【推测解释能力】
类比排列数公式的两种形式,推测组合数公式的两种形式,并进行验证,提升学生的推测解释能力.
追问(3):由还可以得到组合数公式的什么形式?
【师生活动】因为排列数公式有两种形式,由可以得到组合数公式的另一种形式,另外规定.
师:组合数公式如下.
【要点知识】
组合数公式
组合数公式的两种形式:
(1)连乘形式:.
(2)阶乘形式:.
【意义学习】
通过辨析公式,把握公式的特点,以便更好地记忆公式,加深对组合数公式的理解.
问题6:上述组合数公式有什么特点?使用公式需要注意什么?
【师生活动】在解决问题6的过程中,教师可向学生提出以下问题:
(1)与排列数公式比较,两者有什么相似和不同?
(2)在求组合数时,应该如何选择两个公式?
师:下面我们计算一组组合数.
【典型例题】
组合数公式的应用
例2 计算:(1);(2);(3);(4).
【师生活动】在完成例2的过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题,你对公式和结论的选择有什么想法?
(2)分别观察例2中(1)与(2),(3)与(4)的结果,你有什么发现和猜想?
学生回答问题,教师展示答案并总结.
【深度学习】
通过解决例2题,师生共同总结出组合数公式两种形式的不同用途,使学生在解决问题时能够选择合理的公式.
【典例解析】
组合数公式的应用
解:根据组合数公式,可得
(1);
(2);
(3);
(4).
【分析计算能力】
通过应用,进一步巩固组合数公式,熟悉解决组合问题的一般方法,提高分析计算能力,发展数学运算和数学建模的核心素养.
师:(1)组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组合数会用到;组合数公式的阶乘形式.
主要作用有:(1)计算较大的组合数;(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.
(2),当时,式子也成立.
师:我们继续探究组合数的应用.
【典型例题】
组合数公式的应用
例3 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
【师生活动】在完成例3过程中,可以向学生提出下列问题:
(1)这是一个排列问题还是组合问题?
(2)应该根据什么计数原理解决问题?
(3)能否对同一问题给出不同的方法?
(4)能否归纳求组合问题的一般方法?
学生回答问题后,进行解答,教师点评.
生解:(1)所有的不同抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以抽法种数为.
(2)从2件次品中抽出1件的抽法有种,从98件合格品中抽出2件的抽法有种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为.
(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为.
解法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即.
师:当和取较小数值时,可通过手算得出和,当和取较大数值时可以使用信息技术工具.
【综合问题解决能力】
通过例3解决组合数公式的应用,学生理解组合数公式与排列数公式的联系,在解决问题的过程中巩固组合数的计算公式,提升综合问题解决能力.
师:请同学们回顾本节所学知识.
【师生活动】教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并让学生回答下列问题:
【课堂小结】
组合与组合数公式
1.提出一个组合问题,并结合问题说明组合与组合数的区别
2.组合数公式是如何推导的?
3.如何解决组合问题?应用组合数公式时需要注意什么?
【设计意图】
教师提出问题启发学生思考,从而巩固所学知识,培养学生对本节学习内容的整体认识和把握,锻炼相应学科能力,从而达到数学抽象、数学运算等核心素养要求.
教学评价
学完本节课,我们应该理解排列与组合的概念,能判断一个具体的计数问题是否是排列问题或者组合问题.掌握排列数公式与组合数公式,并能解决简单的计数问题.本节的数学思想方法主要包括分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
应用所学知识,完成下面各题.
1.从1~9的九个数字中取3个偶数,4个奇数,问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?
思路:组数问题是一类典型的排列组合问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被5整除的数等.需要注意以下几个问题:
(1)最高位数字不为0;
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;
(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.
解析:(1)分步完成:
第一步:在4个偶数中取3个,可有种情况;
第二步:在5个奇数中取4个,可有种情况;
第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况.
故符合题意的七位数共有(个).
(2)上述七位数中,将3个偶数排在一起有种情况;
故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有(个).
2.有4张分别标有数字的红色卡片和4张分别标有数字的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种?
思路:解答排列、组合综合问题的思路及注意点:
(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
解析:取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4;1,1,4,4;2,2,3,3三类,按照先选再排的方法求解.分三类:
第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有种;
第二类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种;
第三类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种.
故满足题意的所有不同的排法种数为(种).
【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会排列与组合知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生用相应的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
【简单问题解决能力】
通过教学评价,考查学生本节课对排列组合综合问题解决的掌握情况,在解题过程中提升了学生的简单问题解决能力.
教学反思
本节课内容较多,分为4课时,依次重点学习的内容是:排列与排列数公式、排列的综合应用、组合与组合数公式、组合的综合应用.在本节课的总体教学设计中,教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,采用多种方式:如和前边学过的排列的相关知识进行类比,从特殊到一般抽象出组合的概念;运用多媒体课件,利用生活中的具体实例帮助学生理解排列与组合的含义、排列数公式与组合数公式的推导;利用生活中的实例,突出排列与组合问题在统计中的重要位置,落实了数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力、猜想探究能力以及综合问题解决能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,学习组合时类比排列,培养了学生的自主学习能力.