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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀学案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀学案设计，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
6.2 排列与组合
6.2.1 排列 + 6.2.2 排列数
【学习目标】
课程标准
素养要求
通过实例,理解排列的概念,能利用计数原理推导排列数公式.
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.(数学抽象)
2.理解排列数公式的推导并应用.(逻辑推理)
3.掌握排列数公式并会运用.(数学运算)
【自主学习】
一、排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素_______，且元素的 也相同．
思考1：如何判断一个具体问题是否为排列问题?
二、排列数与排列数公式
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
全排列
n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,且=n×(n-1)×…×3×2×1
阶乘
正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示
排列数公式
乘积式
=
阶乘式
=
性质
= ,0!=
备注
n,m∈N*,m≤n
思考2：排列与排列数有何不同?
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1) 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
(2) 同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
(4)若=10×9×8×7×6,则n=10,m=6.( )
2.从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示 种不同的信号.
【经典例题】
题型一 简单的排列问题
点拨： 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
例1 判断下列问题是不是排列问题：
(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？
(3)有12个车站，共需准备多少种车票？
(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？
【跟踪训练】1 从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
若组成的三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
题型二 排列数的计算
点拨：排列数的计算方法
1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2.排列数在方程或不等式中出现时，尤其是上标为未知数时，用阶乘的形式解题比较好．
例2 ( )
A. B. C. D.
【跟踪训练】2 解方程：3A＝4A.
题型三 排列的综合应用问题
角度1 元素“相邻”与“间隔”问题
点拨：相邻与不相邻问题的解决方法
(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
例3 有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有( )
A．240种 B．144种 C．72种 D．24种
角度2 特殊元素、特殊位置问题
点拨：特殊元素、特殊位置问题的解决方法
1.原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
2.方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
例4 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
角度3 定序问题
点拨：定序问题的解决方法
这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
例5 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是________．(用数字作答)
【当堂达标】
1.(多选)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
2.已知，则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法种数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
4.安排甲、乙、丙3位党员干部在周一至周五的5天中参加精准扶贫活动，要求每人参加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外2位前面，则不同的安排方法共有( )
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
5.某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有( )
A.144种 B.48种 C.36种 D.72种
6. 3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．
7.将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．
8.7人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
一． 一定的顺序 完全相同 排列顺序
思考1：(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.
二．不同排列 n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) n! 1
思考2：排列与排列数是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列,是一种排法;“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数,是一个数,用表示.
【小试牛刀】
1. (1)×. (2)√. (3)×. (4)×.
2. 60 解析:一共可表示 =5×4×3=60(种)不同的信号.
【经典例题】
例1 解： (1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．
(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．
(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．
(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．
【跟踪训练】1 解：直接画出树状图：
由树状图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.
例2 A 解析：.故选A.
【跟踪训练】2 解：由3A＝4A，得＝，
所以＝.
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
因为0
B 解析：甲和乙相邻，捆绑在一起有A种，再与丙和丁外的两人排列有A种，再排丙和丁有A种，故共有AAA＝144(种).
例4 解:(1)(方法一 元素分析法) 先排甲有6种排法,其余有A88种排法,故共有6·A88=241 920(种)排法.
(方法二 位置分析法) 中间和两端有A83种排法,包括甲在内的其余6人有A66种排法,故共有A83·A66=336×720=241 920(种)排法.
(方法三 等机会法) 9个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是A99×69=241 920(种).
(方法四 间接法) 共有A99-3·A88=6A88=241 920(种)排法.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有A22·A77=10 080(种)排法.
(3)(插空法) 先排4名男生,有A44种方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有A44·A55=2 880(种)排法.
例5 20 解析：根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素，先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A种排法，这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，所以满足条件的排法种数是＝20.
【当堂达标】
1.AD 解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关； B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．故选AD.
2. B 解析：，化简得，所以.故选B.
3. C 解析：先将4名志愿者排成一排，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有种，故选C.
4. A 解析：分三类：甲在周一，有种安排方法；甲在周二，有种安排方法；甲在周三，有种安排方法.故共有种不同的安排方法.故选A.
5. C 解析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有种排法，则后六场开场诗词的排法有（种），故选C.
6. 2800 解析：第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有A种排法．
第二步，安排其余6名学生，有A种排法．
由分步乘法计数原理，共有AA＝2 880种不同排法．
7. 解： 树状图为：
由树状图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．
8. 解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余5人全排列,共有A66种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22种排法,故共有A66×A22=1 440(种)排法.
(2)(方法一 间接法)7人任意排列,有A77种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22×A66种,故甲、乙不相邻的排法有A77-A22×A66=3 600(种).
(方法二 插空法)将其余5人全排列,有A55种排法,5人之间及两端共有6个位置,任选2个排甲、乙两人,有A62种排法.故共有A55×A62=3 600(种)排法.
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列,有A55种排法,甲、乙、丙三人有A33种排法,共有A55×A33=720(种)排法.
(4)(插空法)将其余4人排好,有A44种排法.将甲、乙、丙插入5个空中,有A53种排法.
故共有A44×A53=1 440(种)排法
6.2 排列与组合
6.2.1 排列 + 6.2.2 排列数
【学习目标】
课程标准
素养要求
通过实例,理解排列的概念,能利用计数原理推导排列数公式.
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.(数学抽象)
2.理解排列数公式的推导并应用.(逻辑推理)
3.掌握排列数公式并会运用.(数学运算)
【自主学习】
一、排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素_______，且元素的 也相同．
思考1：如何判断一个具体问题是否为排列问题?
二、排列数与排列数公式
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
全排列
n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,且=n×(n-1)×…×3×2×1
阶乘
正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示
排列数公式
乘积式
=
阶乘式
=
性质
= ,0!=
备注
n,m∈N*,m≤n
思考2：排列与排列数有何不同?
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1) 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
(2) 同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
(4)若=10×9×8×7×6,则n=10,m=6.( )
2.从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示 种不同的信号.
【经典例题】
题型一 简单的排列问题
点拨： 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
例1 判断下列问题是不是排列问题：
(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？
(3)有12个车站，共需准备多少种车票？
(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？
【跟踪训练】1 从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
若组成的三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
题型二 排列数的计算
点拨：排列数的计算方法
1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2.排列数在方程或不等式中出现时，尤其是上标为未知数时，用阶乘的形式解题比较好．
例2 ( )
A. B. C. D.
【跟踪训练】2 解方程：3A＝4A.
题型三 排列的综合应用问题
角度1 元素“相邻”与“间隔”问题
点拨：相邻与不相邻问题的解决方法
(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
例3 有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有( )
A．240种 B．144种 C．72种 D．24种
角度2 特殊元素、特殊位置问题
点拨：特殊元素、特殊位置问题的解决方法
1.原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
2.方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
例4 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
角度3 定序问题
点拨：定序问题的解决方法
这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
例5 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是________．(用数字作答)
【当堂达标】
1.(多选)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
2.已知，则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法种数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
4.安排甲、乙、丙3位党员干部在周一至周五的5天中参加精准扶贫活动，要求每人参加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外2位前面，则不同的安排方法共有( )
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
5.某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有( )
A.144种 B.48种 C.36种 D.72种
6. 3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．
7.将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．
8.7人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
一． 一定的顺序 完全相同 排列顺序
思考1：(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.
二．不同排列 n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) n! 1
思考2：排列与排列数是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列,是一种排法;“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数,是一个数,用表示.
【小试牛刀】
1. (1)×. (2)√. (3)×. (4)×.
2. 60 解析:一共可表示 =5×4×3=60(种)不同的信号.
【经典例题】
例1 解： (1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．
(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．
(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．
(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．
【跟踪训练】1 解：直接画出树状图：
由树状图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.
例2 A 解析：.故选A.
【跟踪训练】2 解：由3A＝4A，得＝，
所以＝.
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
因为0
B 解析：甲和乙相邻，捆绑在一起有A种，再与丙和丁外的两人排列有A种，再排丙和丁有A种，故共有AAA＝144(种).
例4 解:(1)(方法一 元素分析法) 先排甲有6种排法,其余有A88种排法,故共有6·A88=241 920(种)排法.
(方法二 位置分析法) 中间和两端有A83种排法,包括甲在内的其余6人有A66种排法,故共有A83·A66=336×720=241 920(种)排法.
(方法三 等机会法) 9个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是A99×69=241 920(种).
(方法四 间接法) 共有A99-3·A88=6A88=241 920(种)排法.
(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有A22·A77=10 080(种)排法.
(3)(插空法) 先排4名男生,有A44种方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有A44·A55=2 880(种)排法.
例5 20 解析：根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素，先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A种排法，这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，所以满足条件的排法种数是＝20.
【当堂达标】
1.AD 解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关； B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．故选AD.
2. B 解析：，化简得，所以.故选B.
3. C 解析：先将4名志愿者排成一排，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有种，故选C.
4. A 解析：分三类：甲在周一，有种安排方法；甲在周二，有种安排方法；甲在周三，有种安排方法.故共有种不同的安排方法.故选A.
5. C 解析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有种排法，则后六场开场诗词的排法有（种），故选C.
6. 2800 解析：第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有A种排法．
第二步，安排其余6名学生，有A种排法．
由分步乘法计数原理，共有AA＝2 880种不同排法．
7. 解： 树状图为：
由树状图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．
8. 解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余5人全排列,共有A66种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22种排法,故共有A66×A22=1 440(种)排法.
(2)(方法一 间接法)7人任意排列,有A77种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22×A66种,故甲、乙不相邻的排法有A77-A22×A66=3 600(种).
(方法二 插空法)将其余5人全排列,有A55种排法,5人之间及两端共有6个位置,任选2个排甲、乙两人,有A62种排法.故共有A55×A62=3 600(种)排法.
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列,有A55种排法,甲、乙、丙三人有A33种排法,共有A55×A33=720(种)排法.
(4)(插空法)将其余4人排好,有A44种排法.将甲、乙、丙插入5个空中,有A53种排法.
故共有A44×A53=1 440(种)排法
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