人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布学案设计

7.5 正态分布 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：正态曲线

（1）连续型随机变量

除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.

（2）正态的曲线的定义

函数，其中,为参数.

显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

①函数的自变量为,定义域为

②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数

③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的.

④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致.

（3）正态曲线的几何意义

由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值.

（4）正态曲线的特点

①曲线位于轴上方，与轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线对称；

③曲线在时达到峰值；

④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.

⑤曲线与轴之间的面积为1；

⑥决定曲线的位置和对称性；

当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。

⑦确定曲线的形状；

当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

知识点2：正态分布

（1）正态分布

若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.

（2）标准正态分布

若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.

知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值

假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.

特别地，，

，

.

上述结果可用右图表示.

此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.

二、重点题型分类研究

题型1: 正态曲线及其性质

1．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．（2022·全国·高三专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2021·全国·高二专题练习）已知随机变量， ，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．

B．

C．的取值比的取值更集中于平均值左右

D．两支密度曲线与轴之间的面积均为

4．（2017·四川省成都市龙泉第二中学高三阶段练习（理））已知随机变量，若，则的值为

A． B． C． D．

题型2：正态分布的概率计算

1．（2022·重庆·一模）若某种水果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为__________.（附：若，则，）

2．（2022·河北·石家庄二中高二期末）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为______

3．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则＝________.

4．（2021·全国·高二课时练习）陕西省白水县是国内外专家公认的苹果最佳优生区之一，素有“中国苹果之乡”的美誉，其“白水”苹果也被确定为陕西省知名品牌．白水苹果以酸甜适中、香脆可口而驰名中外，多次被评为“中华名果”“黄土高原上的明珠”等．据统计，白水苹果的果实横径（单位：mm）服从正态分布（80，52），则果实横径在（75，90）的概率为__________．

（附：若，则；．）

5．（2021·江苏海安·高三期中）已知某校高三女生的身高(单位：cm)近似地服从正态分布．若随机选择一名该校的女生，则＝______．

注：若，则

6．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量服从正态分布，且，则______.

题型3：正态分布的应用

1．（2021·全国·高二课时练习）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布．

（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03

10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)．

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，

2．（2021·全国·高二专题练习）为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：

①计算这一天平均值与标准差；

②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？

参考数据： ， ，， ， ，， ， .

3．（2021·全国·高二单元测试）某大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样，统计结果如下：

（1）若去掉内的所有数据，则样本中每人制造的电子产品的件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造申子产品的件数在内的工人数x的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人2000人，且每位工人每天制造电子产品的件数，试估计每天制造电子产品件数小于等于48的工人数．

附：，则，．

4．（2021·全国·高二课时练习）零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸（，单位：）：

用样本的平均数作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值.

（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；

（2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：

方案1：每个零件均按70元定价销售；

方案2：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元，否则为级零件，每个零件定价60元.

哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.

附：，样本方差.

题型4：标准正态分布

1．（2021·山东济南·高三阶段练习）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国·高二课时练习）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ）

A．    B．    C．   D．

3．（2020·黑龙江实验中学二模（理））如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（    ）注：

A．0 B．1 C．2 D．3

4．（2011·甘肃·高三期中（理））如图是正态分布的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为

① ② ③ ④

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2021·全国·高二课时练习）设，求，.

6．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量，且，，求.