第6章平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理学案含解析

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第2课时　正弦定理 古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD． 问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？ 知识点　正弦定理 1．正弦定理 2．正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R． 如图，在Rt△ABC中，eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)各自等于什么？ [提示]　eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝c． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦定理不适用直角三角形． (　　) (2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立． (　　) (3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，下列式子与eq \f(sin A,a)的值相等的是(　　) A．eq \f(b,c)　　　B．eq \f(sin B,sin A)　　　C．eq \f(sin C,c)　　　D．eq \f(c,sin C) C　[由正弦定理得，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，所以eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)．] 3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　) A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C．eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6) B　[由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3)．] 4．在△ABC中，若a＝3，b＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，则C＝________． eq \f(π,2)　[由正弦定理得：eq \f(3,sin \f(π,3))＝eq \f(\r(3),sin B)，所以sin B＝eq \f(1,2)． 又a>b，所以A>B，所以B＝eq \f(π,6)， 所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝eq \f(π,2)．] 类型1　已知两角一边解三角形 【例1】　(对接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． [解]　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得eq \f(a,sin 45°)＝eq \f(4,sin 30°)＝eq \f(c,sin 105°)， 解得a＝eq \f(4sin 45°,sin 30°)＝4eq \r(2)，c＝eq \f(4sin 105°,sin 30°)＝2(eq \r(6)＋eq \r(2))． 已知两角及一边解三角形的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． eq \o([跟进训练]) 1．在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，则c＝________． eq \f(2\r(3)＋\r(2),3)　[因为tan B＝eq \r(2)，所以sin B＝eq \f(\r(6),3)，cos B＝eq \f(\r(3),3)．又A＝60°，所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(120°－B)＝sin 120°cos B－cos 120°sin B＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(6),6)．由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，即c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(6),6))),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(3)＋\r(2),3)．] 类型2　已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】　(对接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq \r(2)，A＝45°，解三角形． [解]　由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)sin 45°,2)＝eq \f(1,2)．因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°(B＝150°舍去)． 于是C＝180°－45°－30°＝105°．由正弦定理，得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝eq \r(3)＋1． 已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值． (2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角． (3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． eq \o([跟进训练]) 2．已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，求A，C，a． [解]　由正弦定理得：sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， ∵c>b,0°sin B，则有(　　) A．ab D．a，b的大小无法判定 C　[因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)． 因为在△ABC中，sin A>sin B>0，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)>1，所以a>b．] 2．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，则B的大小可能为(　　) A．30°　　　　B．150°　　　　C．60°　　　　D．120° CD　[由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝ eq \f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq \f(\r(3),2)．又b＞a,0°＜B＜180°，所以B＝60°或B＝120°，故选CD．] 3．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 B　[由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A， 故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，所以A＝B． 故△ABC为等腰三角形．] 学 习 任 务核 心 素 养1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养．条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等