第6章平面向量及其应用6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加减运算的坐标表示学案含解析

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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2． 问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ 知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示． (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，设eq \o(OA,\s\up7(→))＝xi＋yj，则向量eq \o(OA,\s\up7(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标． 点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？ [提示]　点的坐标与向量的坐标的区别与联系 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相等向量的坐标相同． (　　) (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标． (　　) (3)一个坐标对应于唯一的一个向量． (　　) (4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________． (eq \r(2)，eq \r(2))　[由题意知 a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝eq \r(2)i＋eq \r(2)j＝(eq \r(2)，eq \r(2))．] 知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有： 3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________． (2,5)，(4,3)　[由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j， 得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j， a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j， 又i＝(1,0)，j＝(0,1)， 所以a＋b，a－b的坐标分别是(2,5)，(4,3)．] 4．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝________． [答案]　(3,2) 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】　(对接教材P29例3)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(AB,\s\up7(→))＝b．四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量eq \o(BA,\s\up7(→))的坐标； (3)求点B的坐标． [解]　(1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， ∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3， ∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))， 即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))． (2)eq \o(BA,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))． (3)eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→)) ＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2)))． ∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2)))． 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． eq \o([跟进训练]) 1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(AB,\s\up7(→))，并求出它们的坐标． [解]　由题图可知，eq \o(OA,\s\up7(→))＝6i＋2j，eq \o(OB,\s\up7(→))＝2i＋4j，eq \o(AB,\s\up7(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示为eq \o(OA,\s\up7(→))＝(6,2)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－4,2)． 类型2　平面向量的坐标运算 【例2】　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－4，－3)，则向量eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． (1)A　[法一：设C(x，y)，则eq \o(AC,\s\up7(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))从而eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A． 法二：eq \o(AB,\s\up7(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A．] (2)[解]　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． 平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． eq \o([跟进训练]) 2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))的坐标． [解]　法一：∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－8,4)， eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)， eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)． 法二：∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－8,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)，eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2，－10)． 类型3　平面向量坐标运算的应用 【例3】　已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))，则顶点D的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))　　　　　　　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2))) C．(4,5) D．(1,3) C　[设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝5，)) 即点D(4,5)，故选C．] 在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解. eq \o([跟进训练]) 3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________． (－1,2)　[设C的坐标为(x，y)，则由已知得eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))，所以(x，y)＝(－1,2)．] 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　) A．(－2,1)　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) [答案]　B 2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq \o(OA,\s\up7(→))＝4i＋2j，eq \o(OB,\s\up7(→))＝3i＋4j，则eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))的坐标是(　　) A．(1，－2)　　　　　 B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8) B　[因为eq \o(OA,\s\up7(→))＝(4,2)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(3,4)， 所以eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．] 3．已知A(2，－3)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，则点B的坐标为(　　) A．(－5,5) B．(5，－5) C．(－1,1) D．(1,1) B　[eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．] 4．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且eq \o(AC,\s\up7(→))＝2eq \o(BD,\s\up7(→))，则x＋y＝________． eq \f(11,2)　[因为eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又2eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－4＝－1，,2y－6＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝4，))所以x＋y＝eq \f(11,2)．] 5．已知点B(1,0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3,4)，c＝(－1,1)与a的关系为a＝3b－2c，则向量a的起点坐标为________． (8，－10)　[a＝3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)， 设a的起点为A(x，y)， 则a＝eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1－x，－y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝－7，,－y＝10，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－10，)) 所以A(8，－10)． 即a的起点坐标为(8，－10)．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)平面向量正交分解的概念是什么？ (2)如何表示平面向量的坐标？ (3)点的坐标与向量的坐标有什么区别？ (4)如何求两个向量的和或差的坐标？ 学 习 任 务核 心 素 养1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点) 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(重点) 3．向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)1．通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养． 2．借助向量的线性运算，培养数学运算素养．区别表示形式不同向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标