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18.1.4 平行四边形的判定(2) 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
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人教版初中数学八年级下册 18.1.4 平行四边形的判定（2）同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．下列命题中，真命题的是（ ） A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题． 【详解】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意； B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性． 2．已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式． 【详解】解：若选择①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可判定； 若选择②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可判定； 若选择①②或③④，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A.∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； B.∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； C.∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； D.由AD∥BC，AB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可能为等腰梯形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．如图，中，直线，并且与、的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质与判定和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCD，AD＝BC， 又∵EFBD， ∴四边形BDMF和四边形BDEN是平行四边形， ∴NE＝BD，FM＝BD， ∴EN＝FM，故选项A不符合题意； B．当CD＝CB时，CE＝CF，故选项B不正确，符合题意； C．∵四边形BDMF是平行四边形， ∴DM＝BF， ∵AM+DM＝AD， ∴AM+BF＝AD， ∴AM+BF＝BC，故选项C不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，ADBC， ∴∠NBF＝∠EDM，∠F＝∠DME， 又∵BF＝DM， ∴△BFN≌△DME（ASA）， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判断和性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质． 6．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先证四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，可得，，，再利用面积的和差可得出，由已知条件求出即可． 【详解】解：∵在中，EFBC，GHAB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵CG＝2BG， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，证明是解题关键． 7．如图，点A的坐标为(1, 4)，点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为8 ,则点C的坐标为 （ ） A．（2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3） 【答案】B 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=4，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是8得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1，4）， ∴AH=4， 由平移得，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵平行四边形ABDC的面积为， ∴BD=2， ∴AC=2， ∴C(3，4)， 故答案为：(3，4)． 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系． 二、填空题： 8．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 【答案】③ 【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：①AB＝CD，AD＝BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定； ②AD＝BC，ADBC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形； ④ABCD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定； 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______． 【答案】AE=CF（答案不唯一） 【分析】证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论． 【详解】添加条件为：， 理由：，， ， ， 四边形为平行四边形， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 10．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且，在；；；四边形EBFD为平行四边形；；这些结论中正确的是______． 【答案】 【分析】连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项． 【详解】连接BD交AC于O，过D作于M，过B作于N， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 四边形BEDF是平行四边形， ，，∴①正确；②正确；④正确； 根据已知不能推出，∴③错误； ，， ， 在和中 ≌， ， ，， ，∴⑤正确； ， ， ，∴⑥正确； 故答案为①②④⑤⑥． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力． 11．如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 【答案】(4，3) 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 12．如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是______． 【答案】3 【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D为CE中点，∠CEF=30°，再设CE=2x，CF=x，根据勾股定理即可求得CE=6，据此即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∵， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴AB=DE=CD，即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵∠BAD=120°， ∴∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°，∠CEF=30°， 故设CE=2x，CF=x，在Rt△CEF有： ， 解得x=3， ∴CE=6， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，采用方程思想是解决此类题的关键． 13．如图，在□ABCD中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，点F在AB上，且AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD=_________°． 【答案】80 【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，对边相等可得AB＝CD，利用三角形的内角和定理求出∠ABE，然后求出四边形BGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解． 【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C＝50°，AB＝CD，AB//CD， ∵∠E＝30°， ∴∠ABE＝180°−50°−30°＝100°， ∵AF＝CG， ∴BF＝DG， 又∵BF∥BG， ∴四边形BGDF是平行四边形， ∴DF∥BG， ∴∠BFD＝180°−∠ABE＝180°−100°＝80°． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键． 14．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____． 【答案】2 【分析】根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可． 【详解】解：连接AC、BD，如图， ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴AC、BD交于点O， ∴S△AOB=S△BOC， ∵EF=AB， ∴S△EOF=S△AOB， ∵GH=BC， ∴S△OGH=S△BOC， ∴S△EOF：S△OGH=3：2, ∵， ∴=2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键． 三、解答题： 15．如图，在中，点E、F分别是边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，在根据中点的定义，得出，即可证明四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，中点的定义，解题的关键是熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等． 16．如图，中，，，．将沿方向向右平移得到．若阴影部分平行四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到，即，则可计算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵沿CB向右平移得到， ∴， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于8， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 17．已知：如图，在中，点，分别在和上，点，在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，可以证明，进而推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． 在和中， ∴； ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴ 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 18．如图，平行四边形中，，点，分别在和的延长线上，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，即是的中点，在直角中利用三角函数即可求得到的长，则求得，进而根据求解． （1） 证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2） 解：， ． ， ， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角函数的应用，正确得出的长是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD． 【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD， ∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点， ∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)； ②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点， ∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)； ③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A， ∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)； 综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏． 2．如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形． A．3 B．3或5 C．5 D．4或5 【答案】B 【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠FBM=∠CBM， ∴∠FBD=∠FDB， ∴FB=FD=12cm， ∵AF=6cm， ∴AD=18cm， ∵点E是BC的中点， ∴CE=BC=AD=9cm， 要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则PF=EQ即可， 设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9， 解得：t=3或t=5． 经检验：由P的最长运动时间为 所以t=3或t=5符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 3．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确． 【详解】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°． ∵F是AB的中点， ∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB． ∴AD=2AF． ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴BC=AB， ∴AF=BF=BC． 在Rt△ADF和Rt△BAC中， AD＝BA ，AF＝BC， ∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL）， ∴DF=AC， ∴AE=DF． ∵∠BAC=30°， ∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°， ∴∠DFA=∠EAB， ∴DFAE， ∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确； ∴AD=EF，ADEF， 设AC交EF于点H， ∴∠DAC=∠AHE． ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°， ∴∠AHE=90°， ∴EF⊥AC．①正确； ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴2GF=2GA=AF． ∴AD=4AG．故③正确． 在Rt△DBF和Rt△EFA中， BD＝FE，DF＝EA， ∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确， 综上，①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键． 二、填空题： 4．如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是，， ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a， ∴CF×hCF＝a， ∴阴影部分的面积是CF×hCF＝a＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键． 5．如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形． （1）的长为________． （2）线段长度的最小值为______． 【答案】 10 【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；（2）过点C作CFDE交AB于F，则四边形DCFE是平行四边形，CF⊥AB时，CF的值最小，即DE最小． 【详解】（1）在Rt△ABC中，，，， ∴ ． 故答案为:10． （2）过点C作CFDE交AB于F， ∵四边形是平行四边形 ∴DCAB ∴DCEF ∴四边形DCFE是平行四边形 ∴DE=CF 当CF⊥AB时，CF的长度最小， ∵ ∴即 ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，运用“点到直线的距离垂线段最小”是解题的关键，另外本题用到等面积法，是初中数学常用方法． 6．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为__________时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题： 7．如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值 (3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值 【答案】(1) (2)3 (3)3或或． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则即可； （2）由题意可得，则，，四边形和是同高，因此根据梯形面积公式列式求解即可； （2）设t秒后四边形或或是平行四边形,然后根据平行四边形的性质列出方程解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴设运动时间为t秒，则． 故答案为：． （2）解：设运动时间为t秒，则， ∵， ∴，， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍时，且四边形和四边形等高 ∴，即，解得：． 答：边形的面积是四边形面积的2倍时，则运动时间为3秒． （3）解：当四边形是平行四边形时， ∵ ∴PD=CQ，即，解得： 当四边形是平行四边形时， ∵ ∴，即，解得： 当四边形PDQB是平行四边形时， ∵ ∴，即，解得：． 综上所述，综上所述，t的值为3或或． 【点睛】本题主要考查了四边形动点问题、列代数式、平行四边形的性质与判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 8．如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足 (1)求B，C两点的坐标； (2)把沿AC翻折，点B落在处，线段AB与x轴交于点D，求CD的长； (3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C点的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)存在，P的坐标为或或 【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OC即可解决问题． （2）证明△ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，设AD=CD=m,则OD=4-m,在Rt△AOD中，根据，构建方程即可解决问题； （3）由（2）知，CD=，根据平行四边形的性质，分两种情况，求解，即可求出答案． （1） ∴， ∴，． ∵四边形OABC是矩形 ∴， C点的坐标为，点B的坐标为 （2） 四边形OABC是矩形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，则， 在中 ∵ ∴ 解得 即CD= （3） 如图， 由（1）知，OA=2， ∴A（0，2）， 由（1）知，OC=4， 由（2）知，CD=， ∴OD=OC-CD=， ∵以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当CD为边时，AP=CD=， ∵CDAB，A（0，2）， ∴点P（-，2）或（，2）； ②当AD为边时，AD=CP， ∵点D是点A向右平移个单位，再向下平移2个得到， ∴点P是由点C（4，0）向右平移个单位，再向下平移2个得到， ∴P（，-2）， ∴存在由P的坐标为或或 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
人教版初中数学八年级下册 18.1.4 平行四边形的判定（2）同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．下列命题中，真命题的是（ ） A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题． 【详解】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意； B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性． 2．已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式． 【详解】解：若选择①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可判定； 若选择②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可判定； 若选择①②或③④，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A.∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； B.∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； C.∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； D.由AD∥BC，AB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可能为等腰梯形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4．如图，中，直线，并且与、的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质与判定和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCD，AD＝BC， 又∵EFBD， ∴四边形BDMF和四边形BDEN是平行四边形， ∴NE＝BD，FM＝BD， ∴EN＝FM，故选项A不符合题意； B．当CD＝CB时，CE＝CF，故选项B不正确，符合题意； C．∵四边形BDMF是平行四边形， ∴DM＝BF， ∵AM+DM＝AD， ∴AM+BF＝AD， ∴AM+BF＝BC，故选项C不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，ADBC， ∴∠NBF＝∠EDM，∠F＝∠DME， 又∵BF＝DM， ∴△BFN≌△DME（ASA）， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判断和性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质． 6．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先证四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，可得，，，再利用面积的和差可得出，由已知条件求出即可． 【详解】解：∵在中，EFBC，GHAB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵CG＝2BG， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，证明是解题关键． 7．如图，点A的坐标为(1, 4)，点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC的面积为8 ,则点C的坐标为 （ ） A．（2，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3） 【答案】B 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=4，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是8得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1，4）， ∴AH=4， 由平移得，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵平行四边形ABDC的面积为， ∴BD=2， ∴AC=2， ∴C(3，4)， 故答案为：(3，4)． 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系． 二、填空题： 8．下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 【答案】③ 【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：①AB＝CD，AD＝BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定； ②AD＝BC，ADBC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形； ④ABCD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定； 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______． 【答案】AE=CF（答案不唯一） 【分析】证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论． 【详解】添加条件为：， 理由：，， ， ， 四边形为平行四边形， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 10．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且，在；；；四边形EBFD为平行四边形；；这些结论中正确的是______． 【答案】 【分析】连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项． 【详解】连接BD交AC于O，过D作于M，过B作于N， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 四边形BEDF是平行四边形， ，，∴①正确；②正确；④正确； 根据已知不能推出，∴③错误； ，， ， 在和中 ≌， ， ，， ，∴⑤正确； ， ， ，∴⑥正确； 故答案为①②④⑤⑥． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力． 11．如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 【答案】(4，3) 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 12．如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是______． 【答案】3 【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D为CE中点，∠CEF=30°，再设CE=2x，CF=x，根据勾股定理即可求得CE=6，据此即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∵， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴AB=DE=CD，即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵∠BAD=120°， ∴∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°，∠CEF=30°， 故设CE=2x，CF=x，在Rt△CEF有： ， 解得x=3， ∴CE=6， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，采用方程思想是解决此类题的关键． 13．如图，在□ABCD中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，点F在AB上，且AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD=_________°． 【答案】80 【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，对边相等可得AB＝CD，利用三角形的内角和定理求出∠ABE，然后求出四边形BGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解． 【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C＝50°，AB＝CD，AB//CD， ∵∠E＝30°， ∴∠ABE＝180°−50°−30°＝100°， ∵AF＝CG， ∴BF＝DG， 又∵BF∥BG， ∴四边形BGDF是平行四边形， ∴DF∥BG， ∴∠BFD＝180°−∠ABE＝180°−100°＝80°． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键． 14．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____． 【答案】2 【分析】根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可． 【详解】解：连接AC、BD，如图， ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴AC、BD交于点O， ∴S△AOB=S△BOC， ∵EF=AB， ∴S△EOF=S△AOB， ∵GH=BC， ∴S△OGH=S△BOC， ∴S△EOF：S△OGH=3：2, ∵， ∴=2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键． 三、解答题： 15．如图，在中，点E、F分别是边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，在根据中点的定义，得出，即可证明四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，中点的定义，解题的关键是熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等． 16．如图，中，，，．将沿方向向右平移得到．若阴影部分平行四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到，即，则可计算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵沿CB向右平移得到， ∴， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于8， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 17．已知：如图，在中，点，分别在和上，点，在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，可以证明，进而推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． 在和中， ∴； ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴ 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 18．如图，平行四边形中，，点，分别在和的延长线上，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，即是的中点，在直角中利用三角函数即可求得到的长，则求得，进而根据求解． （1） 证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2） 解：， ． ， ， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角函数的应用，正确得出的长是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD． 【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD， ∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点， ∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)； ②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点， ∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)； ③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC， ∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A， ∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)； 综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏． 2．如图，在中，AC与BD交于点M，点F在AD上，，，，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（ ）秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形． A．3 B．3或5 C．5 D．4或5 【答案】B 【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠FBM=∠CBM， ∴∠FBD=∠FDB， ∴FB=FD=12cm， ∵AF=6cm， ∴AD=18cm， ∵点E是BC的中点， ∴CE=BC=AD=9cm， 要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则PF=EQ即可， 设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9， 解得：t=3或t=5． 经检验：由P的最长运动时间为 所以t=3或t=5符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 3．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确． 【详解】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°． ∵F是AB的中点， ∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB． ∴AD=2AF． ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴BC=AB， ∴AF=BF=BC． 在Rt△ADF和Rt△BAC中， AD＝BA ，AF＝BC， ∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL）， ∴DF=AC， ∴AE=DF． ∵∠BAC=30°， ∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°， ∴∠DFA=∠EAB， ∴DFAE， ∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确； ∴AD=EF，ADEF， 设AC交EF于点H， ∴∠DAC=∠AHE． ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°， ∴∠AHE=90°， ∴EF⊥AC．①正确； ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴2GF=2GA=AF． ∴AD=4AG．故③正确． 在Rt△DBF和Rt△EFA中， BD＝FE，DF＝EA， ∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确， 综上，①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键． 二、填空题： 4．如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是，， ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a， ∴CF×hCF＝a， ∴阴影部分的面积是CF×hCF＝a＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键． 5．如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形． （1）的长为________． （2）线段长度的最小值为______． 【答案】 10 【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；（2）过点C作CFDE交AB于F，则四边形DCFE是平行四边形，CF⊥AB时，CF的值最小，即DE最小． 【详解】（1）在Rt△ABC中，，，， ∴ ． 故答案为:10． （2）过点C作CFDE交AB于F， ∵四边形是平行四边形 ∴DCAB ∴DCEF ∴四边形DCFE是平行四边形 ∴DE=CF 当CF⊥AB时，CF的长度最小， ∵ ∴即 ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，运用“点到直线的距离垂线段最小”是解题的关键，另外本题用到等面积法，是初中数学常用方法． 6．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为__________时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题： 7．如图，在四边形中，，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值 (3)当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值 【答案】(1) (2)3 (3)3或或． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则即可； （2）由题意可得，则，，四边形和是同高，因此根据梯形面积公式列式求解即可； （2）设t秒后四边形或或是平行四边形,然后根据平行四边形的性质列出方程解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴设运动时间为t秒，则． 故答案为：． （2）解：设运动时间为t秒，则， ∵， ∴，， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍时，且四边形和四边形等高 ∴，即，解得：． 答：边形的面积是四边形面积的2倍时，则运动时间为3秒． （3）解：当四边形是平行四边形时， ∵ ∴PD=CQ，即，解得： 当四边形是平行四边形时， ∵ ∴，即，解得： 当四边形PDQB是平行四边形时， ∵ ∴，即，解得：． 综上所述，综上所述，t的值为3或或． 【点睛】本题主要考查了四边形动点问题、列代数式、平行四边形的性质与判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 8．如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足 (1)求B，C两点的坐标； (2)把沿AC翻折，点B落在处，线段AB与x轴交于点D，求CD的长； (3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C点的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)存在，P的坐标为或或 【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OC即可解决问题． （2）证明△ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，设AD=CD=m,则OD=4-m,在Rt△AOD中，根据，构建方程即可解决问题； （3）由（2）知，CD=，根据平行四边形的性质，分两种情况，求解，即可求出答案． （1） ∴， ∴，． ∵四边形OABC是矩形 ∴， C点的坐标为，点B的坐标为 （2） 四边形OABC是矩形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，则， 在中 ∵ ∴ 解得 即CD= （3） 如图， 由（1）知，OA=2， ∴A（0，2）， 由（1）知，OC=4， 由（2）知，CD=， ∴OD=OC-CD=， ∵以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当CD为边时，AP=CD=， ∵CDAB，A（0，2）， ∴点P（-，2）或（，2）； ②当AD为边时，AD=CP， ∵点D是点A向右平移个单位，再向下平移2个得到， ∴点P是由点C（4，0）向右平移个单位，再向下平移2个得到， ∴P（，-2）， ∴存在由P的坐标为或或 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
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