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18.1.3 平行四边形的判定(1) 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
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人教版初中数学八年级下册 18.1.3 平行四边形的判定(1) 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ） A．AC=BD B．ABCD，AD=BC C．AC平分BD D．ADBC，OA=OC 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解． 【详解】解：A、由AC=BD无法得出四边形ABCD是平行四边形； B、由ABCD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形； C、由AC平分BD无法得出四边形ABCD是平行四边形； D、∵ADBC， ∴∠ADO＝∠CBO， ∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键． 2．▱ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】解：如图，连接BD与AC相交于O， A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， 由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴∠OBF=∠ODE， 在△BOF和△DOE中，， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键． 3．四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（ ） A．55 B．50 C．40 D．35 【答案】D 【分析】根据已知条件证明四边形EBFD是平行四边形，进而得到，由可得，求出的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴， ∴， ∵BE平分∠ABC交AD于点E，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，证明四边形EBFD是平行四边形是解答本题的关键． 4．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 5．如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．如果，，那么可得； B．在中，，； C．如果，，那么可得； D．在中，，； 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质，逐一进行判断即可； 【详解】解：A、，，不能得到，选项错误，符合题意， B、在中，，，选项正确，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、在中，，，选项正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：对边相等，对角相等，是解题的关键． 6．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴上；，且，若A的坐标为，OC长为6，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作BD⊥x轴于D，先证明四边形OABC是平行四边形，∠BAD=∠COA=60°，从而求出AB，AD的长，进而求出BD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于D， ∵，且， ∴∠C=120°， ∴∠C+∠B=180°， ∴， ∴四边形OABC是平行四边形，∠BAD=∠COA=60°， ∴AB=OC=6，∠ABD=30°， ∴， ∴， ∵点A的坐标为（8，0）， ∴OA=8， ∴OD=OA+AD=11， ∴点B的坐标为（11，）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题： 8．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）． 【答案】ADCB（答案不惟一）． 【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB， 故答案为：ADCB（答案不惟一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． 9．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________． 【答案】BF=DE（答案不唯一） 【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下： 证明：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵BF=DE， ∴BO-BF=DO-DE， 即OF=OE， 四边形AFCE为平行四边形， 故答案为：BF=DE（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 10．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是_____°． 【答案】115 【分析】根据以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，得，，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出． 【详解】∵以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 11．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC， ∵BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， ∴四边形AECF是平行四边形； ②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF， ∴不能判定四边形AECF是平行四边形； ③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形； ④∵AF∥CE， ∴∠AFB=∠CED， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．如图，平分，交于，于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据平行，角平分线的性质，可知，过点作于，在中，，证明四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，平分，， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 【答案】8 【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质． 14．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值为_____． 【答案】 【分析】过E作EF//DC交BC的延长线于F，再说明四边形DCFE是平行四边形可得EF＝CD＝3、CF＝DE，然后说明EF⊥BE，最后运用勾股定理求出BF的长即可． 【详解】解：过E作EF//DC交BC的延长线于F， ∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF＝CD＝3，CF＝DE， ∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴BC+DE＝BC+CF＝BF＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定与性质等知识点，通过做辅助线得到BC+DE的值为BF成为解答本题的关键． 三、解答题： 15．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，与交于点G，根据得到，根据，得到，从而得到，问题得证． 【详解】证明：如图，连接，与交于点G， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 16．如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接并延长，交外角的平分线于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先由可以知道角相等，再利用角平分线的性质进行等角转化得到平行，然后根据中点得到边相等，进而得到全等三角形，最后根据得到相等，最后得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∵是外角的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，平行四边形的判定，利用全等三角形的判定和性质得到边相等是解题的关键． 17．如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，连接和的交点为，和的交点为，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解． （1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ， ． 四边形是平行四边形； （2） 解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．如图，等边三角形是一块边长为的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路，且满足，则三条小路的总长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长FP交AB于点G，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可证△DPG是等边三角形，△AGF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GF=AG，再证明四边形GBEP是平行四边形，可得PE=GB，即可求出三条小路的总长． 【详解】解：延长FP交AB于点G，如图所示： 在等边△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°， ∵， ∴∠PDG=∠A=60°， ∵， ∴∠PGD=∠B=60°，∠AFG=∠C=60°， ∴∠DPG=60°， ∴△DPG是等边三角形， ∴DP=GP， ∵∠A=∠DGP=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形， ∴GF=AG， ∵，， ∴四边形GBEP是平行四边形， ∴PE=GB， ∴PE+PF+PD=BG+AG=AB， ∵等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪， ∴AB=20m， ∴PE+PF+PD=20(m)， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝5，EB＝13，ED＝12．则CE的长是（ ） A．18 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝13，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝18，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长． 【详解】解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，ABCD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝13， ∴AD＝13， ∵EA＝5，ED＝12， 在△AED中，52+122＝132，即EA2+ED2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴CD＝AB＝13+5＝18，∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，CE6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义以及勾股定理；熟练地掌握平行四边形的性质和角平分线的定义，并且根据题意找出其中的直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，以AC、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D1点的坐标，以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标，从而可作出判断． 【详解】如图所示，若以AC、BC为邻边平构成平行四边形，可得此时D1点的坐标为(2,4)；若以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标为(-4,2)，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标(0,-4)，故点D的坐标不可能是． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形的性质等知识，涉及分类讨论，关键是画出图形，利用图形来解决． 二、填空题： 4．如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则__． 【答案】4.5## 【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形、、、为平行四边形， ， 同理可得，， ， 即． ，， ； 故答案为：4.5． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形． 5．已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____． 【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3) 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 【详解】解：如图， 以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1； 以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2； 以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3； ∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）， 故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）． 【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键． 6．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____． 【答案】①②④． 【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①∵F是BC的中点， ∴BF＝FC， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB， ∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴2∠BAF＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠BAF＝2∠C故①正确； ②延长EF，交AB延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MBF＝∠C， ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， 在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE， ∴△MBF≌△ECF（ASA）， ∴FE＝MF，∠CEF＝∠M， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BAE＝90°， ∵FM＝EF， ∴EF＝AF，故②正确； ③∵EF＝FM， ∴S△AEF＝S△AFM， ∴S△ABF＜S△AEF，故③错误； ④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x， ∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠EFA＝180°﹣2x， ∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠CEF＝90°﹣x， ∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确， 故答案为①②④． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME． 三、解答题： 7．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝∠C，DE⊥BC于点E，DB⊥AB于点B． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若DB＝2DE，BC＝8，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由余角的性质和平行线的性质可证，可得结论； （2）由平行四边形的性质可得，由三角形面积公式可求解． （1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 8．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别证明，得出结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过作， ∴， ∴， ∵垂直平分，则, ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
人教版初中数学八年级下册 18.1.3 平行四边形的判定(1) 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ） A．AC=BD B．ABCD，AD=BC C．AC平分BD D．ADBC，OA=OC 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解． 【详解】解：A、由AC=BD无法得出四边形ABCD是平行四边形； B、由ABCD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形； C、由AC平分BD无法得出四边形ABCD是平行四边形； D、∵ADBC， ∴∠ADO＝∠CBO， ∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键． 2．▱ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】解：如图，连接BD与AC相交于O， A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， 由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴∠OBF=∠ODE， 在△BOF和△DOE中，， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF， ∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键． 3．四边形ABCD是平行四边形，，BE平分交AD于点E，交BC于点F，则的度数为（ ） A．55 B．50 C．40 D．35 【答案】D 【分析】根据已知条件证明四边形EBFD是平行四边形，进而得到，由可得，求出的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴， ∴， ∵BE平分∠ABC交AD于点E，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，证明四边形EBFD是平行四边形是解答本题的关键． 4．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 5．如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．如果，，那么可得； B．在中，，； C．如果，，那么可得； D．在中，，； 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质，逐一进行判断即可； 【详解】解：A、，，不能得到，选项错误，符合题意， B、在中，，，选项正确，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、在中，，，选项正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：对边相等，对角相等，是解题的关键． 6．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴上；，且，若A的坐标为，OC长为6，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作BD⊥x轴于D，先证明四边形OABC是平行四边形，∠BAD=∠COA=60°，从而求出AB，AD的长，进而求出BD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于D， ∵，且， ∴∠C=120°， ∴∠C+∠B=180°， ∴， ∴四边形OABC是平行四边形，∠BAD=∠COA=60°， ∴AB=OC=6，∠ABD=30°， ∴， ∴， ∵点A的坐标为（8，0）， ∴OA=8， ∴OD=OA+AD=11， ∴点B的坐标为（11，）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题： 8．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）． 【答案】ADCB（答案不惟一）． 【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB， 故答案为：ADCB（答案不惟一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． 9．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________． 【答案】BF=DE（答案不唯一） 【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下： 证明：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵BF=DE， ∴BO-BF=DO-DE， 即OF=OE， 四边形AFCE为平行四边形， 故答案为：BF=DE（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 10．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是_____°． 【答案】115 【分析】根据以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，得，，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出． 【详解】∵以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 11．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC， ∵BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， ∴四边形AECF是平行四边形； ②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF， ∴不能判定四边形AECF是平行四边形； ③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形； ④∵AF∥CE， ∴∠AFB=∠CED， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE， ∴BF-OB=DE-OD， 即OF=OE， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．如图，平分，交于，于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据平行，角平分线的性质，可知，过点作于，在中，，证明四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，平分，， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，平行四边性的判定和性质是解题的关键． 13．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 【答案】8 【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质． 14．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值为_____． 【答案】 【分析】过E作EF//DC交BC的延长线于F，再说明四边形DCFE是平行四边形可得EF＝CD＝3、CF＝DE，然后说明EF⊥BE，最后运用勾股定理求出BF的长即可． 【详解】解：过E作EF//DC交BC的延长线于F， ∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF＝CD＝3，CF＝DE， ∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴BC+DE＝BC+CF＝BF＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定与性质等知识点，通过做辅助线得到BC+DE的值为BF成为解答本题的关键． 三、解答题： 15．已知：如图，是的一条对角线．延长至F，反向延长至E，使．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，与交于点G，根据得到，根据，得到，从而得到，问题得证． 【详解】证明：如图，连接，与交于点G， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 16．如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接并延长，交外角的平分线于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先由可以知道角相等，再利用角平分线的性质进行等角转化得到平行，然后根据中点得到边相等，进而得到全等三角形，最后根据得到相等，最后得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∵是外角的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，平行四边形的判定，利用全等三角形的判定和性质得到边相等是解题的关键． 17．如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，连接和的交点为，和的交点为，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解． （1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ， ． 四边形是平行四边形； （2） 解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．如图，等边三角形是一块边长为的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路，且满足，则三条小路的总长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长FP交AB于点G，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可证△DPG是等边三角形，△AGF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GF=AG，再证明四边形GBEP是平行四边形，可得PE=GB，即可求出三条小路的总长． 【详解】解：延长FP交AB于点G，如图所示： 在等边△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°， ∵， ∴∠PDG=∠A=60°， ∵， ∴∠PGD=∠B=60°，∠AFG=∠C=60°， ∴∠DPG=60°， ∴△DPG是等边三角形， ∴DP=GP， ∵∠A=∠DGP=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形， ∴GF=AG， ∵，， ∴四边形GBEP是平行四边形， ∴PE=GB， ∴PE+PF+PD=BG+AG=AB， ∵等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪， ∴AB=20m， ∴PE+PF+PD=20(m)， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝5，EB＝13，ED＝12．则CE的长是（ ） A．18 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝13，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝18，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长． 【详解】解：∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，ABCD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝13， ∴AD＝13， ∵EA＝5，ED＝12， 在△AED中，52+122＝132，即EA2+ED2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴CD＝AB＝13+5＝18，∠EDC＝90°， 在Rt△EDC中，CE6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义以及勾股定理；熟练地掌握平行四边形的性质和角平分线的定义，并且根据题意找出其中的直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，以AC、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D1点的坐标，以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标，从而可作出判断． 【详解】如图所示，若以AC、BC为邻边平构成平行四边形，可得此时D1点的坐标为(2,4)；若以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标为(-4,2)，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标(0,-4)，故点D的坐标不可能是． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形的性质等知识，涉及分类讨论，关键是画出图形，利用图形来解决． 二、填空题： 4．如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则__． 【答案】4.5## 【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形、、、为平行四边形， ， 同理可得，， ， 即． ，， ； 故答案为：4.5． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形． 5．已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____． 【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3) 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 【详解】解：如图， 以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1； 以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2； 以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3； ∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）， 故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）． 【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键． 6．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____． 【答案】①②④． 【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①∵F是BC的中点， ∴BF＝FC， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB， ∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴2∠BAF＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠BAF＝2∠C故①正确； ②延长EF，交AB延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MBF＝∠C， ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， 在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE， ∴△MBF≌△ECF（ASA）， ∴FE＝MF，∠CEF＝∠M， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BAE＝90°， ∵FM＝EF， ∴EF＝AF，故②正确； ③∵EF＝FM， ∴S△AEF＝S△AFM， ∴S△ABF＜S△AEF，故③错误； ④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x， ∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠EFA＝180°﹣2x， ∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠CEF＝90°﹣x， ∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确， 故答案为①②④． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME． 三、解答题： 7．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝∠C，DE⊥BC于点E，DB⊥AB于点B． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若DB＝2DE，BC＝8，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由余角的性质和平行线的性质可证，可得结论； （2）由平行四边形的性质可得，由三角形面积公式可求解． （1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 8．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别证明，得出结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过作， ∴， ∴， ∵垂直平分，则, ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
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