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初中数学沪科版七年级下册第9章 分式综合与测试同步练习题
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这是一份初中数学沪科版七年级下册第9章 分式综合与测试同步练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式x2-1x+1=0,则x的值是（ ）
A.1B.-1 C.±1D.0
2.使式子x-1x-2有意义的x的取值范围是（ ）
A.x≥1 B.x≤1
C.x≥1且x≠2 D.x>2
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A.x+12x2+4x+2 B.x-2yx2-4y2 C.x+3x2x2 D.1-x2(x+1)
4.若把分式x-y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值（ ）
A.变为原来的3倍 B.不变
C.变为原来的13 D.变为原来的19
5.分式2a+2a2-1-a+11-a化简后的结果为（ ）
A.a+1a-1 B.a+3a-1 C.-aa-1 D.-a2+3a2-1
6.若关于x的分式方程2x-1=mx有正整数解,则整数m的值是（ ）
A.3B.5C.3或5D.3或4
7.已知1x-1y=3,则代数式2x+3xy-2yx-xy-y的值是（ ）
A.-72 B.-112 C.92 D.34
8.已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=11-a1,a3=11-a2,…,an=11-an-1,则a2021=（ ）
A.x B.x+1 C.-1x D.xx+1
9.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2),x-a2>1的解集为x≥5,且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.-1B.-2C.-3D.0
10.已知a,b为实数且满足a≠-1,b≠-1,设M=aa+1+bb+1,N=1a+1+1b+1.有下列结论:
①当ab=1时,M=N; ②当ab>1时,M>N;
③当ab<1时,M其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若|4a+12|+(b-1)2=0,则a-ba+b的值是 .
12.计算yx2-y2÷1-xx+y的结果是 .
13.若关于x的方程2x-3=kx的解是整数,则整数k可以取的值是 .
14.某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍,结果比原计划少用2天.设原计划每天加工零件x个,可列方程为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知分式|x|+21-5x.
(1)当x满足什么条件时,分式有意义?
(2)当x满足什么条件时,分式的值为负?
16.解方程:xx+1=2x3x+3+1.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.计算:xx+2-xx-2+3x-2x2-4.
18.先化简:x-4x÷x2+4x+4x,再从-2≤x≤2中选择一个恰当的整数作为x的值代入求值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.观察下列等式:
①1-12=11×2;
②12-13=12×3;
③13-14=13×4;
④14-15=14×5;
…
(1)猜想并写出第n(n为正整数)个等式 ;(用含n的式子表示)
(2)请说明你写出的等式的正确性;
(3)计算:11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)= .(结果用含n的式子表示)
20.已知关于x的方程x+ax-2=-1的解大于1,求a的取值范围.
六、(满分12分)
21.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:32=1+12.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
例如:像x+1x-2,x2x+2,…这样的分式是假分式;像1x-2,xx2-1,…这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2;
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2.
解决下列问题:
(1)将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式;
(2)如果分式x2+2xx+3的值为整数,求x的整数值.
七、(满分12分)
22.为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两个工程队每天分别铺设电路管道多少米?
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
八、(满分14分)
23.对于生活中的一些实际问题,我们要学会建立数学模型,运用数学思想去分析、研究,从而使问题获得解决.如用水清洗蔬菜上残留的农药,设用x(x≥2)单位量的水清洗以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为1x+1.现用a(a≥2)单位量的水清洗蔬菜.有两种方案:
方案1:用a单位量的水清洗一次;
方案2:把a单位量的水平均分成两份后清洗两次.
假设清洗前蔬菜上残留的农药量为1.我们可以建立下面的分式模型,逐步解决:
(1)利用方案1清洗后,蔬菜上残留的农药量M= .
(2)求出利用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量N.(用含a的分式表示)
(3)试问用哪种方案清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
附加题
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.若分式x2-1x+1=0,则x的值是（ A ）
A.1B.-1 C.±1D.0
2.使式子x-1x-2有意义的x的取值范围是（ C ）
A.x≥1 B.x≤1
C.x≥1且x≠2 D.x>2
3.下列分式是最简分式的是（ D ）
A.x+12x2+4x+2 B.x-2yx2-4y2 C.x+3x2x2 D.1-x2(x+1)
4.若把分式x-y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值（ C ）
A.变为原来的3倍 B.不变
C.变为原来的13 D.变为原来的19
5.分式2a+2a2-1-a+11-a化简后的结果为（ B ）
A.a+1a-1 B.a+3a-1 C.-aa-1 D.-a2+3a2-1
6.若关于x的分式方程2x-1=mx有正整数解,则整数m的值是（ D ）
A.3B.5C.3或5D.3或4
7.已知1x-1y=3,则代数式2x+3xy-2yx-xy-y的值是（ D ）
A.-72 B.-112 C.92 D.34
8.已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=11-a1,a3=11-a2,…,an=11-an-1,则a2021=（ C ）
A.x B.x+1 C.-1x D.xx+1
9.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2),x-a2>1的解集为x≥5,且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为（ B ）
A.-1B.-2C.-3D.0
10.已知a,b为实数且满足a≠-1,b≠-1,设M=aa+1+bb+1,N=1a+1+1b+1.有下列结论:
①当ab=1时,M=N; ②当ab>1时,M>N;
③当ab<1时,M其中正确的结论有（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】M-N=2ab-2(a+1)(b+1).①当ab=1时,M-N=0,所以M=N,①正确.②当ab>1时,2ab>2,所以2ab-2>0,当a<0,b<0时,(a+1)(b+1)>0或(a+1)(b+1)<0,所以M>N或M0或(a+1)(b+1)<0,而2ab-2<0,所以M>N或M④M·N=aa+1+bb+1·1a+1+1b+1=a(a+1)2+a+b(a+1)(b+1)+b(b+1)2.因为a+b=0,所以原式=a(a+1)2+b(b+1)2=4ab(a+1)2(b+1)2.因为a≠-1,b≠-1,所以(a+1)2(b+1)2>0.因为a+b=0,所以ab≤0,即M·N≤0,④正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若|4a+12|+(b-1)2=0,则a-ba+b的值是 2 .
12.计算yx2-y2÷1-xx+y的结果是 1x-y .
13.若关于x的方程2x-3=kx的解是整数,则整数k可以取的值是 ±1,3或5 .
14.某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍,结果比原计划少用2天.设原计划每天加工零件x个,可列方程为 240x-2401.5x=2 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知分式|x|+21-5x.
(1)当x满足什么条件时,分式有意义?
(2)当x满足什么条件时,分式的值为负?
解:(1)当1-5x≠0时,分式有意义,解得x≠15.
(2)因为|x|≥0,所以|x|+2≥2>0.
因为分式|x|+21-5x为负值,所以1-5x<0,解得x>15.
16.解方程:xx+1=2x3x+3+1.
解:方程两边同乘3x+3,得3x=2x+3x+3,
解得x=-32,
经检验,x=-32是原分式方程的解.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.计算:xx+2-xx-2+3x-2x2-4.
解:原式=-4x(x+2)(x-2)+3x-2(x+2)(x-2)=-x-2(x+2)(x-2)=-1x-2.
18.先化简:x-4x÷x2+4x+4x,再从-2≤x≤2中选择一个恰当的整数作为x的值代入求值.
解:原式=(x+2)(x-2)x·x(x+2)2=x-2x+2,
当x=1时,原式=1-21+2=-13.(答案不唯一,x≠0,-2)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.观察下列等式:
①1-12=11×2;
②12-13=12×3;
③13-14=13×4;
④14-15=14×5;
…
(1)猜想并写出第n(n为正整数)个等式 1n-1n+1=1n(n+1) ;(用含n的式子表示)
(2)请说明你写出的等式的正确性;
(3)计算:11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)= 1-1n+1 .(结果用含n的式子表示)
解:(2)左边=1n-1n+1=n+1n(n+1)-nn(n+1)=n+1-nn(n+1)=1n(n+1)=右边,
所以等式成立.
20.已知关于x的方程x+ax-2=-1的解大于1,求a的取值范围.
解:方程两边同乘x-2,得x+a=2-x,
移项,得2x=2-a,
系数化为1,得x=2-a2.
因为方程的解大于1,所以2-a2>1,解得a<0.
又因为2-a2≠2,所以a≠-2.
综上所述,a的取值范围为a<0且a≠-2.
六、(满分12分)
21.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:32=1+12.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
例如:像x+1x-2,x2x+2,…这样的分式是假分式;像1x-2,xx2-1,…这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2;
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2.
解决下列问题:
(1)将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式;
(2)如果分式x2+2xx+3的值为整数,求x的整数值.
解:(1)x-2x+3=x+3-5x+3=x+3x+3-5x+3=1-5x+3.
(2)x2+2xx+3=x2+2x-3+3x+3=(x+3)(x-1)+3x+3=x-1+3x+3.
因为原分式的值是整数,
所以x+3=±1或x+3=±3,
所以x的整数值可以为-6,-4,-2,0.
七、(满分12分)
22.为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两个工程队每天分别铺设电路管道多少米?
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
解:(1)设乙队每天铺设电路管道x米,则甲队每天铺设电路管道1.5x米.
依题意,得1200x-12001.5x=10,解得x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,
所以1.5x=1.5×40=60.
答:甲队每天铺设电路管道60米,乙队每天铺设电路管道40米.
(2)设乙队施工m天正好完成该项工程.
依题意,得2400-40m60≤20,解得m≥30.
答:若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工30天才能完成该项工程.
八、(满分14分)
23.对于生活中的一些实际问题,我们要学会建立数学模型,运用数学思想去分析、研究,从而使问题获得解决.如用水清洗蔬菜上残留的农药,设用x(x≥2)单位量的水清洗以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为1x+1.现用a(a≥2)单位量的水清洗蔬菜.有两种方案:
方案1:用a单位量的水清洗一次;
方案2:把a单位量的水平均分成两份后清洗两次.
假设清洗前蔬菜上残留的农药量为1.我们可以建立下面的分式模型,逐步解决:
(1)利用方案1清洗后,蔬菜上残留的农药量M= 1a+1 .
(2)求出利用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量N.(用含a的分式表示)
(3)试问用哪种方案清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解:(2)方案2:分先后两次清洗,每次用水a2单位量,
第一次清洗后含药量:1a2+1×1=2a+2;
第二次清洗后含药量:N=1a2+1×2a+2=2a+22.
(3)由(1)(2)得M-N=1a+1-2a+22
=1a+1-4(a+2)2
=a2(a+1)(a+2)2.
因为a≥2,所以a2(a+1)(a+2)2>0,
所以M>N,即用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少.
附加题
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
【思路分析】【观察】①设此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
②此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；
②设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；
【拓展】由题意得到，得到，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
【解题过程】解：【观察】①相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人甲从相遇点到点所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：90；
②相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：120；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
经检验：是分式方程的根，
即：，
故答案为：50；
②当时，点在线段上，
线段的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
即：，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，，
，
第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，
，
，
，
，
故答案为．
1.若分式x2-1x+1=0,则x的值是（ ）
A.1B.-1 C.±1D.0
2.使式子x-1x-2有意义的x的取值范围是（ ）
A.x≥1 B.x≤1
C.x≥1且x≠2 D.x>2
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A.x+12x2+4x+2 B.x-2yx2-4y2 C.x+3x2x2 D.1-x2(x+1)
4.若把分式x-y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值（ ）
A.变为原来的3倍 B.不变
C.变为原来的13 D.变为原来的19
5.分式2a+2a2-1-a+11-a化简后的结果为（ ）
A.a+1a-1 B.a+3a-1 C.-aa-1 D.-a2+3a2-1
6.若关于x的分式方程2x-1=mx有正整数解,则整数m的值是（ ）
A.3B.5C.3或5D.3或4
7.已知1x-1y=3,则代数式2x+3xy-2yx-xy-y的值是（ ）
A.-72 B.-112 C.92 D.34
8.已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=11-a1,a3=11-a2,…,an=11-an-1,则a2021=（ ）
A.x B.x+1 C.-1x D.xx+1
9.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2),x-a2>1的解集为x≥5,且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.-1B.-2C.-3D.0
10.已知a,b为实数且满足a≠-1,b≠-1,设M=aa+1+bb+1,N=1a+1+1b+1.有下列结论:
①当ab=1时,M=N; ②当ab>1时,M>N;
③当ab<1时,M
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若|4a+12|+(b-1)2=0,则a-ba+b的值是 .
12.计算yx2-y2÷1-xx+y的结果是 .
13.若关于x的方程2x-3=kx的解是整数,则整数k可以取的值是 .
14.某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍,结果比原计划少用2天.设原计划每天加工零件x个,可列方程为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知分式|x|+21-5x.
(1)当x满足什么条件时,分式有意义?
(2)当x满足什么条件时,分式的值为负?
16.解方程:xx+1=2x3x+3+1.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.计算:xx+2-xx-2+3x-2x2-4.
18.先化简:x-4x÷x2+4x+4x,再从-2≤x≤2中选择一个恰当的整数作为x的值代入求值.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.观察下列等式:
①1-12=11×2;
②12-13=12×3;
③13-14=13×4;
④14-15=14×5;
…
(1)猜想并写出第n(n为正整数)个等式 ;(用含n的式子表示)
(2)请说明你写出的等式的正确性;
(3)计算:11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)= .(结果用含n的式子表示)
20.已知关于x的方程x+ax-2=-1的解大于1,求a的取值范围.
六、(满分12分)
21.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:32=1+12.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
例如:像x+1x-2,x2x+2,…这样的分式是假分式;像1x-2,xx2-1,…这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2;
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2.
解决下列问题:
(1)将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式;
(2)如果分式x2+2xx+3的值为整数,求x的整数值.
七、(满分12分)
22.为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两个工程队每天分别铺设电路管道多少米?
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
八、(满分14分)
23.对于生活中的一些实际问题,我们要学会建立数学模型,运用数学思想去分析、研究,从而使问题获得解决.如用水清洗蔬菜上残留的农药,设用x(x≥2)单位量的水清洗以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为1x+1.现用a(a≥2)单位量的水清洗蔬菜.有两种方案:
方案1:用a单位量的水清洗一次;
方案2:把a单位量的水平均分成两份后清洗两次.
假设清洗前蔬菜上残留的农药量为1.我们可以建立下面的分式模型,逐步解决:
(1)利用方案1清洗后,蔬菜上残留的农药量M= .
(2)求出利用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量N.(用含a的分式表示)
(3)试问用哪种方案清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
附加题
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.若分式x2-1x+1=0,则x的值是（ A ）
A.1B.-1 C.±1D.0
2.使式子x-1x-2有意义的x的取值范围是（ C ）
A.x≥1 B.x≤1
C.x≥1且x≠2 D.x>2
3.下列分式是最简分式的是（ D ）
A.x+12x2+4x+2 B.x-2yx2-4y2 C.x+3x2x2 D.1-x2(x+1)
4.若把分式x-y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍,那么分式的值（ C ）
A.变为原来的3倍 B.不变
C.变为原来的13 D.变为原来的19
5.分式2a+2a2-1-a+11-a化简后的结果为（ B ）
A.a+1a-1 B.a+3a-1 C.-aa-1 D.-a2+3a2-1
6.若关于x的分式方程2x-1=mx有正整数解,则整数m的值是（ D ）
A.3B.5C.3或5D.3或4
7.已知1x-1y=3,则代数式2x+3xy-2yx-xy-y的值是（ D ）
A.-72 B.-112 C.92 D.34
8.已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=11-a1,a3=11-a2,…,an=11-an-1,则a2021=（ C ）
A.x B.x+1 C.-1x D.xx+1
9.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2),x-a2>1的解集为x≥5,且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为（ B ）
A.-1B.-2C.-3D.0
10.已知a,b为实数且满足a≠-1,b≠-1,设M=aa+1+bb+1,N=1a+1+1b+1.有下列结论:
①当ab=1时,M=N; ②当ab>1时,M>N;
③当ab<1时,M
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】M-N=2ab-2(a+1)(b+1).①当ab=1时,M-N=0,所以M=N,①正确.②当ab>1时,2ab>2,所以2ab-2>0,当a<0,b<0时,(a+1)(b+1)>0或(a+1)(b+1)<0,所以M>N或M
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.若|4a+12|+(b-1)2=0,则a-ba+b的值是 2 .
12.计算yx2-y2÷1-xx+y的结果是 1x-y .
13.若关于x的方程2x-3=kx的解是整数,则整数k可以取的值是 ±1,3或5 .
14.某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍,结果比原计划少用2天.设原计划每天加工零件x个,可列方程为 240x-2401.5x=2 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.已知分式|x|+21-5x.
(1)当x满足什么条件时,分式有意义?
(2)当x满足什么条件时,分式的值为负?
解:(1)当1-5x≠0时,分式有意义,解得x≠15.
(2)因为|x|≥0,所以|x|+2≥2>0.
因为分式|x|+21-5x为负值,所以1-5x<0,解得x>15.
16.解方程:xx+1=2x3x+3+1.
解:方程两边同乘3x+3,得3x=2x+3x+3,
解得x=-32,
经检验,x=-32是原分式方程的解.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.计算:xx+2-xx-2+3x-2x2-4.
解:原式=-4x(x+2)(x-2)+3x-2(x+2)(x-2)=-x-2(x+2)(x-2)=-1x-2.
18.先化简:x-4x÷x2+4x+4x,再从-2≤x≤2中选择一个恰当的整数作为x的值代入求值.
解:原式=(x+2)(x-2)x·x(x+2)2=x-2x+2,
当x=1时,原式=1-21+2=-13.(答案不唯一,x≠0,-2)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.观察下列等式:
①1-12=11×2;
②12-13=12×3;
③13-14=13×4;
④14-15=14×5;
…
(1)猜想并写出第n(n为正整数)个等式 1n-1n+1=1n(n+1) ;(用含n的式子表示)
(2)请说明你写出的等式的正确性;
(3)计算:11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)= 1-1n+1 .(结果用含n的式子表示)
解:(2)左边=1n-1n+1=n+1n(n+1)-nn(n+1)=n+1-nn(n+1)=1n(n+1)=右边,
所以等式成立.
20.已知关于x的方程x+ax-2=-1的解大于1,求a的取值范围.
解:方程两边同乘x-2,得x+a=2-x,
移项,得2x=2-a,
系数化为1,得x=2-a2.
因为方程的解大于1,所以2-a2>1,解得a<0.
又因为2-a2≠2,所以a≠-2.
综上所述,a的取值范围为a<0且a≠-2.
六、(满分12分)
21.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:32=1+12.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.
例如:像x+1x-2,x2x+2,…这样的分式是假分式;像1x-2,xx2-1,…这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2;
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2.
解决下列问题:
(1)将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式;
(2)如果分式x2+2xx+3的值为整数,求x的整数值.
解:(1)x-2x+3=x+3-5x+3=x+3x+3-5x+3=1-5x+3.
(2)x2+2xx+3=x2+2x-3+3x+3=(x+3)(x-1)+3x+3=x-1+3x+3.
因为原分式的值是整数,
所以x+3=±1或x+3=±3,
所以x的整数值可以为-6,-4,-2,0.
七、(满分12分)
22.为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)求甲、乙两个工程队每天分别铺设电路管道多少米?
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
解:(1)设乙队每天铺设电路管道x米,则甲队每天铺设电路管道1.5x米.
依题意,得1200x-12001.5x=10,解得x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,
所以1.5x=1.5×40=60.
答:甲队每天铺设电路管道60米,乙队每天铺设电路管道40米.
(2)设乙队施工m天正好完成该项工程.
依题意,得2400-40m60≤20,解得m≥30.
答:若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工30天才能完成该项工程.
八、(满分14分)
23.对于生活中的一些实际问题,我们要学会建立数学模型,运用数学思想去分析、研究,从而使问题获得解决.如用水清洗蔬菜上残留的农药,设用x(x≥2)单位量的水清洗以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为1x+1.现用a(a≥2)单位量的水清洗蔬菜.有两种方案:
方案1:用a单位量的水清洗一次;
方案2:把a单位量的水平均分成两份后清洗两次.
假设清洗前蔬菜上残留的农药量为1.我们可以建立下面的分式模型,逐步解决:
(1)利用方案1清洗后,蔬菜上残留的农药量M= 1a+1 .
(2)求出利用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量N.(用含a的分式表示)
(3)试问用哪种方案清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解:(2)方案2:分先后两次清洗,每次用水a2单位量,
第一次清洗后含药量:1a2+1×1=2a+2;
第二次清洗后含药量:N=1a2+1×2a+2=2a+22.
(3)由(1)(2)得M-N=1a+1-2a+22
=1a+1-4(a+2)2
=a2(a+1)(a+2)2.
因为a≥2,所以a2(a+1)(a+2)2>0,
所以M>N,即用方案2清洗后,蔬菜上残留的农药量比较少.
附加题
学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
① ；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 ．（直接写出结果）
【思路分析】【观察】①设此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
②此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；
②设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；
【拓展】由题意得到，得到，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
【解题过程】解：【观察】①相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人甲从相遇点到点所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：90；
②相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：120；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
经检验：是分式方程的根，
即：，
故答案为：50；
②当时，点在线段上，
线段的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
即：，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，，
，
第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，
，
，
，
，
故答案为．
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