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第9章 分式综合检测——2024年沪科版数学七年级下册精品同步练习
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第9章 分式 第9章 素养综合检测 (满分100分,限时60分钟) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2023安徽滁州月考改编)下列式子:15(1-x),4xπ-3,x2-y22,1+x2x,5x2x,其中分式共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(2023山东青岛期末)当x=1时,下列分式无意义的是(M7209001)( ) A.x-1x B.x+1x C.xx-1 D.xx+1 3.(2023安徽蚌埠蚌山期末)下列分式中,是最简分式的是(M7209001)( ) A.22a-4 B.a2a2-2a C.a+1a2+1 D.a-1a2-1 4.(2023安徽合肥包河期末)下列式子从左到右变形正确的是(M7209002)( ) A.m2n2=mn B.m-2n-2=mn C.n+5n+1=5 D.m-n=-mn 5.(2023湖南岳阳期末)计算ba2÷a·1a的结果为(M7209003)( ) A.1b2 B.b2a4 C.a2 D.b2 6.【新考向·代数推理】【新独家原创】若ab+2ac=3bc,a≠0,b≠0,c≠0,则下列结论正确的是(M7209004)( ) A.3a-2b-1c=0 B.1a+1b-1c=0 C.1a+1b+1c=3 D.3a+2b-1c=0 7.【数学文化】(2022湖北襄阳中考)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(M7209006)( ) A.900x+3=2×900x-1 B.900x-3=2×900x+1 C.900x-1=2×900x+3 D.900x+1=2×900x-3 8.(2023安徽淮北月考)若关于x的不等式组3x-a>2(1−x),x-12≥x+23-1的解集为x≥1,关于y的分式方程yy+1+ay-1=1有整数解,则满足条件的整数a的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.(2023江苏南京鼓楼期中)分式14x2yz和16xy2的最简公分母是 .(M7209002) 10.(2023湖北武汉模拟)计算1m2-1-m1−m2的结果是 .(M7209003) 11.【跨学科·音乐】(2023湖南娄底模拟)数学的美无处不在,数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦的长之比为15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出“调和”的乐声:do,mi,so.研究15,12,10这三个数的倒数发现:112-115=110-112,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为 . 12.【新独家原创】已知关于y的分式方程2y-1+ay(y+2)(y-1)=4y+2,完成下列任务: (1)若该分式方程的根为y=2,则a的值为 ; (2)若该分式方程有增根,则a的值为 . 三、解答题(共60分) 13.(2023安徽淮南期末)(8分)计算:mm-2-2mm2-4÷mm+2.(M7209003) 14.(2022青海中考)(8分)解方程: xx-2-1=4x2-4x+4. 15.(2023山东菏泽中考)(8分)先化简,再求值:3xx-y+xx+y÷xx2-y2,其中x,y满足2x+y-3=0. 16.(2023安徽马鞍山二模)(10分)观察以下等式:第1个等式:23-11×2×3=12;第2个等式:38-12×3×4=13;第3个等式:415-13×4×5=14;第4个等式:524-14×5×6=15;…… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式: ; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 17.【新考法】(2023辽宁大连甘井子汇文中学期中)(12分)如图,A小麦试验田是边长为a米的正方形中减去一个边长为b米的正方形后余下的部分,B小麦试验田是边长为12(a+b)米的正方形. (1)设两块试验田都收获了m kg小麦,求A,B两块小麦试验田单位面积产量的比. (2)当a=2b时,A,B两块小麦试验田单位面积产量哪个较大? (3)若A,B两块小麦试验田单位面积产量相同,求a,b满足的关系式. 18.【真实情境】(2023山东泰安新泰三模)(14分)2023年5月,搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.飞船模型深受大家的喜欢.某商家两次购进飞船模型进行销售,第一次用22 000元,很快销售一空,第二次用48 000元购进同款飞船模型,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.(M7209006) (1)求该商家第一次购进飞船模型多少个; (2)若所有飞船模型都按相同的标价销售,要求两次购进的飞船模型全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素),那么每个飞船模型的标价至少为多少元? 第9章 分式 第9章 素养综合检测全练版P80 1.A 15(1-x),4xπ-3,x2-y22的分母中均不含有字母,所以是整式,不是分式.1+x2x,5x2x的分母中含有字母,所以是分式,所以分式共有2个. 2.C 当x=1时,分式xx-1的分母为0,故该分式无意义. 3.C 选项A,该分式的分子和分母中含有公因数2,不是最简分式; 选项B,该分式的分子和分母中含有公因式a,不是最简分式; 选项C,该分式的分子和分母除1外没有其他的公因式,是最简分式; 选项D,该分式的分子和分母中含有公因式a-1,不是最简分式. 4.D 因为m2n2≠mn,m-2n-2≠mn,n+5n+1≠5,m-n=-mn, 所以选项D正确. 5.B 原式=b2a2·1a·1a=b2a4. 6.A 因为a≠0,b≠0,c≠0,所以abc≠0. 整理ab+2ac=3bc,得ab+2ac-3bc=0, 等式两边同时除以abc,得1c+2b-3a=0, 即3a-2b-1c=0. 7.B 因为规定时间为x天, 所以慢马送到所需时间为(x+1)天,快马送到所需时间为(x-3)天, 又因为快马的速度是慢马的2倍,两地间的路程为900里,所以可列方程为900x-3=2×900x+1. 8.B 解不等式3x-a>2(1-x),得x>2+a5, 解不等式x-12≥x+23-1,得x≥1, 因为不等式组的解集为x≥1, 所以2+a5<1,即a<3. 解关于y的分式方程yy+1+ay-1=1,得y=-a+1a-1=-a-1+2a-1=-1+2a-1=-1-2a-1, 因为分式方程的解为整数, 所以2a-1为整数,且-a+1a-1≠±1,a-1≠0,即a≠0,a≠1, 所以所有满足条件的整数a为2,-1,共2个. 9. 答案 12x2y2z 解析 因为分式14x2yz和16xy2的分母分别是4x2yz,6xy2,其中系数的最小公倍数是12,字母的最高次幂的积是x2y2z,所以最简公分母是12x2y2z. 10. 答案 1m-1 解析 原式=1(m+1)(m-1)+m(m+1)(m-1) =m+1(m+1)(m-1)=1m-1. 11. 答案 12或245 解析 根据题中的新定义分两种情况考虑: ①16-1x=14-16,解得x=12,经检验,x=12是分式方程的解,且符合题意; ②1x-16=14-1x,解得x=245,经检验,x=245是分式方程的解,且符合题意. 综上,x的值为12或245. 12. 答案 (1)-2 (2)6或-6 解析 (1)把y=2代入方程,得2+a2=1,解得a=-2. (2)去分母,得2(y+2)+ay=4(y-1), 去括号,得2y+4+ay=4y-4, 移项、合并同类项,得(a-2)y=-8, 系数化为1,得y=82−a. 因为分式方程有增根, 所以y=1或y=-2, 当y=1时,82−a=1,解得a=-6; 当y=-2时,82−a=-2,解得a=6. 综上所述,a的值为6或-6. 13. 解析 原式=m(m+2)−2m(m+2)(m-2)·m+2m =m2(m+2)(m-2)·m+2m=mm-2. 14. 解析 去分母得x(x-2)-(x-2)2=4, 解得x=4, 检验:当x=4时,(x-2)2≠0, 所以x=4是原方程的根. 15. 解析 原式=3x2+3xy+x2-xy(x-y)(x+y)·(x-y)(x+y)x =2x(2x+y)(x-y)(x+y)·(x-y)(x+y)x=2(2x+y), 因为2x+y-3=0,所以2x+y=3, 所以原式=2×3=6. 16. 解析 (1)635-15×6×7=16. (2)猜想第n个等式是n+1(n+1)2-1-1n(n+1)(n+2)=1n+1. 证明:n+1(n+1)2-1-1n(n+1)(n+2) =n+1(n+1−1)(n+1+1)-1n(n+1)(n+2) =n+1n(n+2)-1n(n+1)(n+2) =(n+1)2-1n(n+1)(n+2) =n2+2n+1−1n(n+1)(n+2) =n(n+2)n(n+1)(n+2) =1n+1, 故等式成立. 17. 解析 本题将分式运算与实际问题巧妙结合起来,体现了应用意识和创新意识的核心素养. (1)根据题意得A小麦试验田单位面积产量为ma2-b2 kg/m2, B小麦试验田单位面积产量为m14(a+b)2 kg/m2, 则A,B两块小麦试验田单位面积产量的比为ma2-b2∶m14(a+b)2=m(a+b)(a-b)·14(a+b)2m=a+b4(a-b). (2)把a=2b代入ma2-b2,得m4b2-b2=m3b2=3m9b2, 把a=2b代入m14(a+b)2,得m14(2b+b)2=4m9b2, 因为m>0,b>0,所以3m9b2<4m9b2, 所以B小麦试验田单位面积产量较大. (3)根据题意得ma2-b2=m14(a+b)2, 整理得4a2-4b2=(a+b)2, 所以4(a+b)(a-b)=(a+b)2, 因为a+b≠0, 所以4(a-b)=a+b, 所以3a=5b. 18. 解析 (1)设第一次购进飞船模型x个, 则第二次购进飞船模型2x个, 根据题意,得22000x=480002x-10,解得x=200, 经检验,x=200是原方程的解,且符合题意. 答:该商家第一次购进飞船模型200个. (2)由(1)可得,第二次购进飞船模型的数量为400个. 设每个飞船模型的标价为a元,根据题意,得 (200+400)a≥(1+20%)(22 000+48 000), 解得a≥140. 答:每个飞船模型的标价至少为140元.
第9章 分式 第9章 素养综合检测 (满分100分,限时60分钟) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(2023安徽滁州月考改编)下列式子:15(1-x),4xπ-3,x2-y22,1+x2x,5x2x,其中分式共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(2023山东青岛期末)当x=1时,下列分式无意义的是(M7209001)( ) A.x-1x B.x+1x C.xx-1 D.xx+1 3.(2023安徽蚌埠蚌山期末)下列分式中,是最简分式的是(M7209001)( ) A.22a-4 B.a2a2-2a C.a+1a2+1 D.a-1a2-1 4.(2023安徽合肥包河期末)下列式子从左到右变形正确的是(M7209002)( ) A.m2n2=mn B.m-2n-2=mn C.n+5n+1=5 D.m-n=-mn 5.(2023湖南岳阳期末)计算ba2÷a·1a的结果为(M7209003)( ) A.1b2 B.b2a4 C.a2 D.b2 6.【新考向·代数推理】【新独家原创】若ab+2ac=3bc,a≠0,b≠0,c≠0,则下列结论正确的是(M7209004)( ) A.3a-2b-1c=0 B.1a+1b-1c=0 C.1a+1b+1c=3 D.3a+2b-1c=0 7.【数学文化】(2022湖北襄阳中考)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(M7209006)( ) A.900x+3=2×900x-1 B.900x-3=2×900x+1 C.900x-1=2×900x+3 D.900x+1=2×900x-3 8.(2023安徽淮北月考)若关于x的不等式组3x-a>2(1−x),x-12≥x+23-1的解集为x≥1,关于y的分式方程yy+1+ay-1=1有整数解,则满足条件的整数a的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.(2023江苏南京鼓楼期中)分式14x2yz和16xy2的最简公分母是 .(M7209002) 10.(2023湖北武汉模拟)计算1m2-1-m1−m2的结果是 .(M7209003) 11.【跨学科·音乐】(2023湖南娄底模拟)数学的美无处不在,数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦的长之比为15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出“调和”的乐声:do,mi,so.研究15,12,10这三个数的倒数发现:112-115=110-112,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为 . 12.【新独家原创】已知关于y的分式方程2y-1+ay(y+2)(y-1)=4y+2,完成下列任务: (1)若该分式方程的根为y=2,则a的值为 ; (2)若该分式方程有增根,则a的值为 . 三、解答题(共60分) 13.(2023安徽淮南期末)(8分)计算:mm-2-2mm2-4÷mm+2.(M7209003) 14.(2022青海中考)(8分)解方程: xx-2-1=4x2-4x+4. 15.(2023山东菏泽中考)(8分)先化简,再求值:3xx-y+xx+y÷xx2-y2,其中x,y满足2x+y-3=0. 16.(2023安徽马鞍山二模)(10分)观察以下等式:第1个等式:23-11×2×3=12;第2个等式:38-12×3×4=13;第3个等式:415-13×4×5=14;第4个等式:524-14×5×6=15;…… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式: ; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 17.【新考法】(2023辽宁大连甘井子汇文中学期中)(12分)如图,A小麦试验田是边长为a米的正方形中减去一个边长为b米的正方形后余下的部分,B小麦试验田是边长为12(a+b)米的正方形. (1)设两块试验田都收获了m kg小麦,求A,B两块小麦试验田单位面积产量的比. (2)当a=2b时,A,B两块小麦试验田单位面积产量哪个较大? (3)若A,B两块小麦试验田单位面积产量相同,求a,b满足的关系式. 18.【真实情境】(2023山东泰安新泰三模)(14分)2023年5月,搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.飞船模型深受大家的喜欢.某商家两次购进飞船模型进行销售,第一次用22 000元,很快销售一空,第二次用48 000元购进同款飞船模型,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.(M7209006) (1)求该商家第一次购进飞船模型多少个; (2)若所有飞船模型都按相同的标价销售,要求两次购进的飞船模型全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素),那么每个飞船模型的标价至少为多少元? 第9章 分式 第9章 素养综合检测全练版P80 1.A 15(1-x),4xπ-3,x2-y22的分母中均不含有字母,所以是整式,不是分式.1+x2x,5x2x的分母中含有字母,所以是分式,所以分式共有2个. 2.C 当x=1时,分式xx-1的分母为0,故该分式无意义. 3.C 选项A,该分式的分子和分母中含有公因数2,不是最简分式; 选项B,该分式的分子和分母中含有公因式a,不是最简分式; 选项C,该分式的分子和分母除1外没有其他的公因式,是最简分式; 选项D,该分式的分子和分母中含有公因式a-1,不是最简分式. 4.D 因为m2n2≠mn,m-2n-2≠mn,n+5n+1≠5,m-n=-mn, 所以选项D正确. 5.B 原式=b2a2·1a·1a=b2a4. 6.A 因为a≠0,b≠0,c≠0,所以abc≠0. 整理ab+2ac=3bc,得ab+2ac-3bc=0, 等式两边同时除以abc,得1c+2b-3a=0, 即3a-2b-1c=0. 7.B 因为规定时间为x天, 所以慢马送到所需时间为(x+1)天,快马送到所需时间为(x-3)天, 又因为快马的速度是慢马的2倍,两地间的路程为900里,所以可列方程为900x-3=2×900x+1. 8.B 解不等式3x-a>2(1-x),得x>2+a5, 解不等式x-12≥x+23-1,得x≥1, 因为不等式组的解集为x≥1, 所以2+a5<1,即a<3. 解关于y的分式方程yy+1+ay-1=1,得y=-a+1a-1=-a-1+2a-1=-1+2a-1=-1-2a-1, 因为分式方程的解为整数, 所以2a-1为整数,且-a+1a-1≠±1,a-1≠0,即a≠0,a≠1, 所以所有满足条件的整数a为2,-1,共2个. 9. 答案 12x2y2z 解析 因为分式14x2yz和16xy2的分母分别是4x2yz,6xy2,其中系数的最小公倍数是12,字母的最高次幂的积是x2y2z,所以最简公分母是12x2y2z. 10. 答案 1m-1 解析 原式=1(m+1)(m-1)+m(m+1)(m-1) =m+1(m+1)(m-1)=1m-1. 11. 答案 12或245 解析 根据题中的新定义分两种情况考虑: ①16-1x=14-16,解得x=12,经检验,x=12是分式方程的解,且符合题意; ②1x-16=14-1x,解得x=245,经检验,x=245是分式方程的解,且符合题意. 综上,x的值为12或245. 12. 答案 (1)-2 (2)6或-6 解析 (1)把y=2代入方程,得2+a2=1,解得a=-2. (2)去分母,得2(y+2)+ay=4(y-1), 去括号,得2y+4+ay=4y-4, 移项、合并同类项,得(a-2)y=-8, 系数化为1,得y=82−a. 因为分式方程有增根, 所以y=1或y=-2, 当y=1时,82−a=1,解得a=-6; 当y=-2时,82−a=-2,解得a=6. 综上所述,a的值为6或-6. 13. 解析 原式=m(m+2)−2m(m+2)(m-2)·m+2m =m2(m+2)(m-2)·m+2m=mm-2. 14. 解析 去分母得x(x-2)-(x-2)2=4, 解得x=4, 检验:当x=4时,(x-2)2≠0, 所以x=4是原方程的根. 15. 解析 原式=3x2+3xy+x2-xy(x-y)(x+y)·(x-y)(x+y)x =2x(2x+y)(x-y)(x+y)·(x-y)(x+y)x=2(2x+y), 因为2x+y-3=0,所以2x+y=3, 所以原式=2×3=6. 16. 解析 (1)635-15×6×7=16. (2)猜想第n个等式是n+1(n+1)2-1-1n(n+1)(n+2)=1n+1. 证明:n+1(n+1)2-1-1n(n+1)(n+2) =n+1(n+1−1)(n+1+1)-1n(n+1)(n+2) =n+1n(n+2)-1n(n+1)(n+2) =(n+1)2-1n(n+1)(n+2) =n2+2n+1−1n(n+1)(n+2) =n(n+2)n(n+1)(n+2) =1n+1, 故等式成立. 17. 解析 本题将分式运算与实际问题巧妙结合起来,体现了应用意识和创新意识的核心素养. (1)根据题意得A小麦试验田单位面积产量为ma2-b2 kg/m2, B小麦试验田单位面积产量为m14(a+b)2 kg/m2, 则A,B两块小麦试验田单位面积产量的比为ma2-b2∶m14(a+b)2=m(a+b)(a-b)·14(a+b)2m=a+b4(a-b). (2)把a=2b代入ma2-b2,得m4b2-b2=m3b2=3m9b2, 把a=2b代入m14(a+b)2,得m14(2b+b)2=4m9b2, 因为m>0,b>0,所以3m9b2<4m9b2, 所以B小麦试验田单位面积产量较大. (3)根据题意得ma2-b2=m14(a+b)2, 整理得4a2-4b2=(a+b)2, 所以4(a+b)(a-b)=(a+b)2, 因为a+b≠0, 所以4(a-b)=a+b, 所以3a=5b. 18. 解析 (1)设第一次购进飞船模型x个, 则第二次购进飞船模型2x个, 根据题意,得22000x=480002x-10,解得x=200, 经检验,x=200是原方程的解,且符合题意. 答:该商家第一次购进飞船模型200个. (2)由(1)可得,第二次购进飞船模型的数量为400个. 设每个飞船模型的标价为a元,根据题意,得 (200+400)a≥(1+20%)(22 000+48 000), 解得a≥140. 答:每个飞船模型的标价至少为140元.
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