第6章 实数 初中数学人教版七年级下册大单元教学设计

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七年级第六章《实数》大单元教学设计 年级学科七年级数学授课人教材版本人教版一、单元学习主题分析大单元主题名称走近实数的世界大情景毕达哥拉斯是古希腊的著名数学家与哲学家.他曾创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派.由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰.然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”. 毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.希帕索斯觉得发现了新的世界，时不时就上广场上进行演讲，常常让他的老师毕达哥拉斯出来解释一下.毕达哥拉斯其实早就知道这种奇怪的数的存在，只是他无法用已有的数学知识来解释这种数，因此他从来都不会去碰这个烫手山芋.而希帕索斯把这事捅了出来，动摇了他的“万物都是数（指已经发现的有理数）”的理论根基，毕达哥拉斯害怕这件事传出去会影响自己的威望，于是他第一时间下令封锁了消息，并警告希帕索斯不要再研究这个问题. 希帕索斯并没有就此沉默，而是愈演愈烈，毕达哥拉斯勃然大怒，视其为叛徒.他对外称希帕索斯有意破坏本学派的和谐，于是需要清理门派，令人将其活埋.希帕索斯闻风后连夜乘船流亡他乡，可出海没多久就被毕达哥拉斯的门徒们追上，将他五花大绑，溺入了冰冷的爱琴海之中.单元概述本章内容属于“数与代数”领域有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识.本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化. 本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容.这样的编著写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移. 通过学生合作探究，揭示出象这种无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础.单元视角单元课时划分本章教学约需9课时，具体分配如下:6.1平方根3课时 6.2立方根2课时 6.3实数2课时 数学活动、单元小结、单元检测2课时实数单元整体规划二、学情分析与学习条件支持主题学情分析从能力而言，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，教材内容的呈现必须注意具体性、形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，教材的安排正是符合学生的认知发展规律，从简到难，由具体到抽象.学生在学习这一部分知识时从而既适应这一时期的能力发展水平，又能促进他们的思维向高一阶段的发展. 在学习习惯方式上，由于各种原因，对数学的独立思考，自主探究，合作交流这一数学学习的基本过程具有一定的发展. 为了更好的把握教学内容的整体性、连续性，本节课采用问题导入法引入新课，让学生回顾认识数的过程;通过类比归纳法和探究分析法经历实数的认识过程,从而较好地完成实数概念的构建和实数与数轴上的点的一一对应关系的认识，达到教学目标.学习方法和条件支持为了有效地突出重点、突破难点，本单元采用以学生自主探究、小组合作交流相结合,把无理数和实数的概念及知道实数与数轴的点的一一对应关系确定为教学重点;无理数的认识确定为教学难点.课堂上充份调动学生的积极性，启发学生进行观察、类比、分析,让参与到概念的建立，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位. 教师准备多媒体以及课件，需要学生准备计算器.三、单元学习目标设计单元学习目标1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会有根号表示数的算术平方根、平方根、立方根； 2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根； 3、了解开方和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 4、能用有理数估计一个无理数的大致范围.课时安排课时学习目标课时1算术平方根1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 2. 会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性． 课时2用计算器求算术平方根及其大小比较1.会用计算器求算术平方根； 2.掌握算术平方根的估算及大小比较．课时3平方根1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．课时4立方根1.了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根； 2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．课时5实数1. 了解实数的意义，并能将实数按要求进行分类； 2. 熟练掌握实数大小的比较方法； 3. 了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.课时6实数的性质及运算1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义； 2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.课时7复习小结综合复习本单元知识点四、各课时任务设计及学习内容核心任务子任务学习目标解析理解无理数、认识实数任务一：解决数学危机理解并会运用算术平方根任务二：发射火箭会求非负数的平方根任务三：测量木星直径理解并会运用立方根任务四：逃离太阳系会比较无理数的大小任务五：在哪里了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数五、单元学习过程6.1.1算术平方根（单元教学设计） 目 单题 元 标 了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性； 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣.结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 了解算术平方根的概念、性质 教学难点： 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 算术平方根的概念 【问题1】 学校要举行艺术节，小明很高兴，他想裁出一块面积为 36平方分米 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？ 【破解方法】 正方形的边长130.5eq \f(2,3)正方形的面积表一：已知一个正数，求这个正数的平方. 正方形的面积190.3664正方形的边长表二：已知一个正数的平方，求这个正数． 表一和表二中的两种运算有什么关系？ 【教学过程】引导学生填表，通过两个表格的填写，让学生体会两种运算的区别和联系：已知正方形的边长求正方形的面积和已知正方形的面积求正方形的边长，本质上是互为逆运算的欢喜关系.通过简单的数值感知，让学生初步理解算术平方根的概念. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 【问题2】因为，所以 9 的算术平方根是 . 【答案】3 【问题3】下列说法正确的是 . ① 7 是 49 的算术平方根. ② 0.01 是 0.1 的算术平方根. 【答案】① 【破解方法】根据算术平方根的定义即可得到答案. 算术平方根的符号表示 【问题4】如何用数学符号表示：3是9的算术平方根？ 【破解方法】 【教学过程】引导学生理解算术平方根的书写方式和读法，让学生理解求一个数的平方和求算术平方根互为逆运算. 【问题5】分别求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.49 【答案】（1）由于，因此 由于，因此 （3）由于，因此 【破解方法】要求一个数的算术平方根，就是要看哪个非负数的平方会等于这个数. 【教学过程】帮助学生强化算术平方根的概念，会求某个数的算术平方根.同时引导学生得到一般性结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【问题6】计算：（1）；（2）. 【答案】解：(1) 原式 = 7 + 3 - 1 = 9. (2) 原式 = 2 + 3 - 4 = 1. 【问题7】填空： （1）16 的算术平方根是______；（2）的算术平方根是______. 【答案】4；2 【教学过程】两道题有明显的对比，让学生独立完成之后再让学生说出自己的答案，并和小组同学进行讨论，看看和小组其他同学的答案是否一致.求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求16与的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．教师归纳做这类易错题的方法：先将原题化简，再做题！ 【破解方法】注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解. 【问题8】怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 【破解方法】方法1：课本中的方法，略； 方法2： 可还有其他方法，鼓励学生探究. 【问题9】这个大正方形的边长应该是多少呢？ 【答案】大正方形的边长是，表示2的算术平方根. 【教学过程】引导学生进一步理解算术平方根的含义，结合图形理解七含义，并让学生观察图形感受的大小． 算术平方根的双重非负性【问题9】 在中，可以取任何数吗？会是负数吗？表示什么含义？ 【答案】必须为非负数；不可能是负数；无意义. 【教学过程】通过实际案例，让学生理解算术平方根中被开方数不能是负数（借助已知正方形的边长求面积来理解），同时算术平方根也不可能是负数（借助已知正方形的面积求边长来理解），最终归纳出算术平方根的双重非负性. 【问题10】一个正数的算术平方根有几个？-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?0 的算术平方有几个？ 【答案】一个正数的算术平方根有 1 个；负数没有算术平方根；0 的算术平方根有一个，是 0. 【问题11】下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 【答案】解：无意义，因为其被开方数不是非负数． 【教学过程】引导学生思考正数、负数、0的算术平方根，进一步巩固算术平方根的双重非负性. 【问题12】 【答案】开平方和平方互为逆运算 【破解方法】一个非负数的算数平方根的平方等于它本身： 【问题13】已知x，y为有理数，且eq \r(x－1)＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 【答案】由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1. 【破解方法】算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即eq \r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0. 【教学过程】算术平方根和完全平方都具有非负性，即eq \r(a)≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 任 单价 元、元 务 毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.希帕索斯觉得发现了新的世界，时不时就上广场上进行演讲，常常让他的老师毕达哥拉斯出来解释一下.毕达哥拉斯其实早就知道这种奇怪的数的存在，只是他无法用已有的数学知识来解释这种数，因此他从来都不会去碰这个烫手山芋.而希帕索斯把这事捅了出来，动摇了他的“万物都是数（指已经发现的有理数）”的理论根基，小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击.对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.你会怎么解决这个问题呢？ 【破解方法】 大约在公元前370年，穷竭法的鼻祖——欧多克索斯建立起一套完整的比例论.他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书的第五篇中.欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机.但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的.这就生硬地把数和量分离开来.在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的.或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数.一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来.到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根.无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数.至此，第一次数学危机圆满终结. 检测 评价 价 测 【设计意图】巩固所学，提升能力.  完成教材6.1.1练习. 6.1.2平方根（单元教学设计） 目 单题 元 标 1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系； 3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力．结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 平方根的概念和求数的平方根 教学难点： 平方根和算术平方根的联系与区别 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 【问题1】什么叫做算术平方根？判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根. 【破解方法】一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 根据算术平方根的定义，负数没有算术平方根. 【问题2】填空并思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ ； ； ； ； ； . 【破解方法】根据幂的定义求解即可. 【问题3】如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 【答案】 【教学过程】学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意中括号的作用.再引导学生填写下表，通过计算和规律的寻找，得到求一个非负数平方根的基本方法. 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根．即：如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算，揭示开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根．注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数． 通过以上计算不难发现平方根的性质，如果是正数的一个平方根，那么的平方根有且只有两个：与. 即正数的平方根互为相反数. 【问题4】144 的平方根是什么？0 的平方根是什么？的平方根是什么？-4 有没有平方根？为什么？通过这些题目的解答，你能发现什么? 【答案】-4没有平方根. 【破解方法】一个数的平方不可能是负数. 【问题5】（1）正数有几个平方根？（2）0 有几个平方根？（3）负数呢？ 【答案】正数的平方根有两个，0有一个平方根是0，负数没有平方根. 【破解方法】因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 【教学过程】引导学生通过观察中的和的取值范围和取值个数得出．学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）.教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点． 【问题6】一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数． 【答案】由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 【破解方法】因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解． 【教学过程】引导学生根据求解正数平方根的过程，观察这两个平方根的关系进行类比解题，点评学生的思考过程，总结方法：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫开平方. 【问题7】求下列各数的平方根： (1)1eq \f(24,25)；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)eq \r(81). 【答案】(1)∵1eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，(±eq \f(7,5))2＝eq \f(49,25)，∴1eq \f(24,25)的平方根为±eq \f(7,5)，即±eq \r(1\f(24,25))＝±eq \f(7,5)； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±eq \r(0.0001)＝±0.01； (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±eq \r(（－4）2)＝±4； (4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±eq \r(10－6)＝±10－3； (5)∵(±3)2＝9＝eq \r(81)，∴eq \r(81)的平方根是±3. 【破解方法】把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根． 【教学过程】根据平方根的定义求解，注意要把原式化简之后求解.正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用表示．例如……思考：表示什么意思，这里的a可取什么样的数呢？而对于又该怎样理解呢？这里的又可取什么样的数呢？ 【问题8】求下列各式的值： 【答案】（1）（2）（3） 【教学过程】要让学生明白各式所表示的意义，根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式.平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根． 【问题9】若，求的值． 【答案】 【破解方法】非负数与非负数的和为0，当且仅当这两个非负数都为0时成立.可列方程求出x，y的值，从而求出代数式的值． 【教学过程】通过计算例题，引导学生思考式子的特点和表示的含义，进一步认识算术平方根的双重非负性，利用这个特点进行解题，同时复习一元一次方程和幂的运算，同时教师引导学生思考和归纳平方根和算术平方根的联系和区别. 任 单价 元、元 务 第一宇宙速度（first cosmic velocity），又称为环绕速度，是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度.要作圆周运动，必须始终有一个力作用在航天器上.其大小等于该航天器运行线速度的平方乘以其质量再除以公转半径，即，其中是物体作圆周运动的向心加速度.在这里，正好可以利用地球的引力，在合适的轨道半径和速度下，地球对物体的引力，正好等于物体作圆周运动的向心力.第一宇宙速度的计算公式是： 由于地球表面存在稠密的大气层，航天器不可能贴近地球表面作圆周运动，必须在150公里的飞行高度上才能作圆周运动.已知万有引力常量，地球质量，地球半径R=6371km，请你设计地球同步卫星的发射速度. 【破解方法】根据第一宇宙速度的公式可得： 人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢，这就要使运载飞行器或人造地球卫星的航天飞机或运载火箭的速度要达到宇宙速度.第一宇宙速度，指物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度. 因此，地球同步卫星的速度至少为. 检测 评价 价 测 完成教材6.1.2练习. 6.2立方根（单元教学设计） 目 单题 元 标 1.使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算； 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力； 3.经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力.结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根 教学难点： 了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 【问题1】要做一个体积为 27 cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 【答案】解：设正方体的棱长为cm，则,这就是要求一个数，使它的立方等于 27.因为所以正方体的棱长为 3 cm. 【问题2】思考 (1) 什么数的立方等于-8？ (2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？ 【教学过程】通过对以上问题的思考，引导学生类比平方根的求法，寻找求立方根的方法，通过实际的正方体的体积，以及求一个数的立方的过程，倒推求立方根的步骤.然后将数据由特殊向一般进行推广，引导学生思考立方根的概念.一般地，一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根，也叫做的三次方根．记作.立方根的表示方法如下. 【问题3】填空： 因为= 8，所以8的立方根是2； 因为= 0.125，所以0.125的立方根是（　 ）； 因为＝0，所以0的立方根是（　）； 因为＝－8，所以－8的立方根是（ ）； 因为＝，所以的立方根是（ ）. 【破解方法】根据例题的展示和问题的引导得到答案. 【答案】 【教学过程】通过以上练习的讲解，一方面理解求一个数立方根的过程和步骤，另一方面逐渐归纳出立方根的性质： 一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零. 【问题4】立方根等于本身的数有________个． 【破解方法】在正数中，eq \r(3,1)＝1，在负数中，eq \r(3,－1)＝－1，又eq \r(3,0)＝0，∴立方根等于本身的数有1，－1，0. 【答案】3. 【教学过程】 方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根．立方根是它本身的数有1，-1，0；平方根是它本身的数只有0. 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号”. 如：时，是7的立方根．讲解3的含义是根指数，并且绝对不能省略，类似地，叫做被开方数. 【问题5】求下列各数的立方根: 【答案】  【问题6】填空： 因为所以 因为 ， ，所以 . 【答案】=，-3，-3，=. 【教学过程】通过例子得到=进一步思考后面类似地题目，通过两个例子引导学生思考负数的立方根也是负数，并且和对应正数立方根互为相反数，从而得到一般性的结论：一般地，=通过对学生进行提问和点评，共同归纳出平方根和立方根之间的关系. 【问题7】求下列各式的值： (1)－eq \r(3,343)； (2)eq \r(3,\f(10,27)－5)；(3)－eq \r(3,－8)÷eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(（－1）100). 【答案】(1)－eq \r(3,343)＝－7；(2)eq \r(3,\f(10,27)－5)＝eq \r(3,－\f(125,27))＝－eq \f(5,3)； (3)－eq \r(3,－8)÷eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(（－1）100)＝2÷eq \r(\f(9,4))＋eq \r(1)＝2÷eq \f(3,2)＋1＝2×eq \f(2,3)＋1＝eq \f(7,3). 【破解方法】做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算． 【问题8】 根据表格中的例题，也利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？ ………0.06… 【答案】0.6;6 【破解方法】小结：被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数). 【问题9】已知球的体积公式是V＝eq \f(4,3)πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm3，求这个小皮球的半径r. 【破解方法】将公式变形为r3＝eq \f(3V,4π)，从而求r. 【答案】由V＝eq \f(4,3)πr3，得r3＝eq \f(3V,4π)，∴r＝eq \r(3,\f(3V,4π)).∵V＝113.04cm3，π取3.14，∴r≈eq \r(3,\f(3×113.04,4×3.14))＝eq \r(3,27)＝3(cm)． 答：这个小皮球的半径r约为3cm. 【教学过程】解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．通过实际问题的求解，进一步加深对开立方运算的熟悉. 【问题10】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根． 【破解方法】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可． 【答案】∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10. 【教学过程】本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根． 任 单价 元、元 务 太阳系八大行星是太阳系的八个大行星，按照离太阳的距离从近到远，它们依次为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星.木星是离太阳第五颗行星，而且是最大的一颗，木星质量是地球的三百一十七点八九倍，而体积则是地球的一千三百一十六倍.木星古称岁星，是离太阳第五颗行星，而且是最大的一颗，比所有其他的行星的合质量大2倍.木星是天空中第四亮的物体（次于太阳，月球和金星；有时候火星更亮一些），早在史前木星就已被人类所知晓. 已知地球的体积为，已知球类的体积公式为，请你据此估算木星的半径. 【答案】 检测 评价 价 测 完成6.2练习 6.3.1实数（单元教学设计） 目 单题 元 标 1.了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 2.了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义； 3.了解实数范围内相反数和绝对值的意.结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类 教学难点： 理解实数与数轴的关系，并进行相关运用 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 【问题1】有多大呢？ 【答案】 【破解方法】 【问题2】你能不能得到的更精确的范围？ 【破解方法】按照上面的方法，进一步缩小的范围. 【答案】 如此下去，可以得到的更精确的近似值. 【教学过程】事实上，继续重复上述的过程，可以得到小数位数无限且小数部分不循环，我们把这样的数叫做无限不循环小数，是一个无限不循环的小数. 利用熟悉的，来估算其大小，一方面巩固平方和开方的计算，加强学生对两者联系的理解，另一方面通过一步一步的试计算寻找的精确值，同时随着精度的不断增大，会发现是无限不循环小数，为后面学习实数大小比较做铺垫. 【问题3】估算的值(　　) A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】B 解析：因为42<19<52,所以4<<5,所以2<<3.故选 B. 【破解方法】估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须 先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间. 【问题4】通过估算比较下列各组数的大小： (1)与 1.9； (2)与 1.5. 【答案】 【破解方法】比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值. 【问题5】小明想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2. 他不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小明算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 【答案】 【破解方法】通过比例关系设未知数，列出关于面积的方程，解出边长来进行大小比较即可. 任 单价 元、元 务 第二宇宙速度（second cosmic velocity），亦即地球的“脱离速度”或者“逃逸速度”，是指在地球上发射的物体摆脱地球引力束缚，飞离地球所需的最小初始速度，其计算公式如下： 第三宇宙速度（third cosmic velocity)，是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度.本来，在地球轨道上，要脱离太阳引力所需的初始速度为42.1公里/秒，但地球绕太阳公转时令地面所有物体已具有29.8公里/秒的初始速度，故此若沿地球公转方向发射，只需在脱离地球引力以外额外再加上12.3公里/秒的速度.即物体所需的总动能为： 请你据此设计火箭能飞出太阳系的速度. 【答案】 根据第二宇宙速度公式：可得第二宇宙速度 根据第三宇宙速度公式： 可得第三宇宙速度为 因此想让火箭摆脱地球引力束缚，最小初始速度为11.2km/s. 想让火箭摆脱太阳引力束缚，最小初始速度为16.7km/s. 【问题6】我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 【答案】它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 【破解方法】 【问题7】整数能写成小数的形式吗？3 可以看成是 3.0 吗？ 【答案】能，可以 【教学过程】通过复习分数和小数互化的形式，探究出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 【问题8】所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？ 【答案】 【教学过程】通过学生的回答，引出无理数的概念，即无限不循环小数叫做无理数. 【问题9】是无理数吗？2.020 020 002 000 02…是无理数吗？ 【答案】它们都是无限不循环小数，是无理数. 【教学过程】通过以上例题进一步熟悉无理数的概念，进而归纳出常见的无理数. (1)化简后含有的数； (2)开不尽方的数开方所得结果； (3)有规律但不循环的小数，如 1.01001000100001… 【问题10】我们将有理数和无理数统称为实数. 你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 【破解方法】根据有理数的分类，我们有两种方法，分别是按照正负分和按照定义分. 【答案】 （1）按照定义分： （2）按照正负分： 【教学过程】类比有理数的分类，引导学生对实数进行分类，将数系由有理数再次扩充到实数范围，同时发展学生类比思维. 【问题11】把下列各数分别填到相应的集合内： －3.6，eq \r(27)，eq \r(4)，5，eq \r(3,－7)，0，eq \f(π,2)，－eq \r(3,125)，eq \f(22,7)，3.14，0.10100…. (1)有理数集合{　　　　　　　…}； (2)无理数集合{　　　　　　　…}； (3)整数集合{　　　　　　　…}； (4)负实数集合{　　　　　　　…}． 【破解方法】实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数． 【答案】(1)有理数集合{－3.6，eq \r(4)，5，0，－eq \r(3,125)，eq \f(22,7)，3.14，…}； (2)无理数集合{eq \r(27)，eq \r(3,－7)，eq \f(π,2)，0.10100…，…}； (3)整数集合{eq \r(4)，5，0，－eq \r(3,125)，…}； (4)负实数集合{－3.6，eq \r(3,－7)，－eq \r(3,125)，…}． 【教学过程】帮助学生熟悉实数的分类，将不同类型的实数分别填写到不同的集合中去，正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复． 【问题12】如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是什么？ 【答案】因为圆的周长为π，所以数轴上点 A 表示的数是无理数π. 【破解方法】 任 单价 元、元 务 面积为2的正方形的边长是，如何在数轴上标出？ 【破解方法】 【教学过程】通过以上两个例子，将无理数在数轴上找到了与之一一对应的点.事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.与有理数类似，实数和数轴上的点是一一对应的. 【问题13】如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和eq \r(,3)，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 【破解方法】首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 【答案】∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和eq \r(,3)，∴点B到点A的距离为1＋eq \r(,3).则点C到点A的距离也为1＋eq \r(,3).设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋eq \r(,3)，∴x＝－2－eq \r(,3).∴点C所表示的实数为－2－eq \r(,3). 【教学过程】通过计算A,B两点之间的距离，得到A,C两点之间的距离，根据两点间的距离为数轴右边的点表示的数减去数轴左边的点表示的数，即可得到点C所表示的实数．本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 【问题14】如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是eq \r(3)和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】∵eq \r(,3)≈1.732，∴eq \r(,3)和5.7之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C. 【破解方法】要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 【教学过程】与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 与有理数一样，在实数范围内： 1. 正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2. 两个正数，绝对值大的数较大； 3. 两个负数，绝对值大的数反而小. 【问题15】在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. 【答案】 检测 评价 价 测 完成教材6.3.1练习. 6.3.2实数的性质及运算（单元教学设计） 目 单题 元 标 1.知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应； 2.学会比较两个实数的大小；了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3.通过学习“实数与数轴上的点的一 一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想.结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义 教学难点： 了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 【问题1】有理数中的几个重要概念: 什么是相反数？ 什么是绝对值？什么是倒数？ 【答案】 只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数. 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示. 如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 【教学过程】回顾有理数的相关概念，将数系扩充到实数中也是相同的.在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如： 【问题2】分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)eq \r(3,－64)；　　(2)eq \r(225)；　　(3)eq \r(11). 【破解方法】根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数． 【答案】(1)∵eq \r(3,－64)＝－4，∴eq \r(3,－64)的相反数是4，倒数是－eq \f(1,4)，绝对值是4； (2)∵eq \r(225)＝15，∴eq \r(225)的相反数是－15，倒数是eq \f(1,15)，绝对值是15； (3)eq \r(11)的相反数是－eq \r(11)，倒数是eq \f(1,\r(11))，绝对值是eq \r(11). 【教学过程】再次通过计算说明在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同，并总结实数的相关性质. 1. 若是一个实数，则实数的相反数为. 2. ①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③ 0 的绝对值是 0. 【问题3】求下列各数的相反数和绝对值： 【答案】 【问题4】填空：设 a，b，c 是任意实数，则 （1）a + b = （加法交换律）； （2）(a + b) + c = （加法结合律）； （3）a + 0 = 0 + a = ； （4）a + (-a) = (-a) + a = ； （5）ab = （乘法交换律）； （6）(ab)c = （乘法结合律）； （7） 1 · a = a · 1 = ； （8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； （10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿； （11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b= a · ； （12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0. 【答案】 【教学过程】引导学生归复习回顾有理数的基本性质，并迁移到实数上来.实数的平方根与立方根的性质： 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0 的平方根是 0. 在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同. 此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 【问题5】计算（结果保留小数点后两位）： 【答案】 【破解方法】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算. 【问题6】计算下列各式的值： (1)2eq \r(3)－5eq \r(5)－(eq \r(3)－5eq \r(5))； (2)|eq \r(3)－eq \r(2)|＋|1－eq \r(2)|＋|2－eq \r(3)|. 【破解方法】按照实数的混合运算顺序进行计算． 【答案】(1)2eq \r(3)－5eq \r(5)－(eq \r(3)－5eq \r(5)) ＝2eq \r(3)－5eq \r(5)－eq \r(3)＋5eq \r(5) ＝(2eq \r(3)－eq \r(3))＋(5eq \r(5)－5eq \r(5)) ＝eq \r(3)； (2)因为eq \r(3)－eq \r(2)＞0，1－eq \r(2)＜0，2－eq \r(3)＞0， 所以|eq \r(3)－eq \r(2)|＋|1－eq \r(2)|＋|2－eq \r(3)| ＝(eq \r(3)－eq \r(2))－(1－eq \r(2))＋(2－eq \r(3)) ＝eq \r(3)－eq \r(2)－1＋eq \r(2)＋2－eq \r(3) ＝(eq \r(3)－eq \r(3))＋(eq \r(2)－eq \r(2))＋(2－1) ＝1. 【教学过程】进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律． 【问题7】 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：eq \r(a2)－|b－a|－eq \r(（b＋c）2). 【破解方法】由于eq \r(a2)＝|a|，eq \r(（b＋c）2)＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简． 【答案】由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0. 所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c. 【教学过程】根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.)) 检测 评价 价 测 完成教材6.3.1练习 6.4复习小结（单元教学设计） 目 单题 元 标 1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系. 2.会进行开平方和开立方运算.结构 知识题 识别 构 思 教学题 学 路 课时安排： 约1课时 教学重点： 进一步加强学生对平方根、立方根以及实数概念的认识 教学难点： 进一步强化平方根、立方根的联系，有理数与实数运算的联系 教学方法/过程： 过 教学题 学 程 【问题1】求下列各数的平方根： 【答案】 【问题2】求下列各数的立方根： 【答案】 【破解方法】【归纳拓展】解题时，要注意题目的要求，是求平方根、立方根还是求算术平方根，要注意所求结果处理. 【问题3】求下列各式的值： 【答案】 【问题4】填空： 【答案】 【问题5】要到玻璃店配一块面积为1.21 m²的正方形玻璃,那么该玻璃的边长为　　m. 【答案】1.1 【破解方法】正方形的边长是其面积的算术平方根,用开平方或开立方解决实际问题,要注意计算结果的实际意义. 【问题6】已知,其中b的算术平方根为19,c的平方根是±3,求a的值. 【答案】 【破解方法】 【问题7】 【答案】B 【破解方法】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断. 【问题8】 【答案】4，5，-2a 【破解方法】1. 实数与数轴上的点是一一对应的关系； 2. 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边的数大. 【问题9】比较与的大小. 【答案】 【破解方法】 【问题10】比较与的大小. 【答案】 【破解方法】 【问题11】 【答案】 【问题12】实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简 【答案】 【问题13】若与互为相反数，则 .  【答案】 检测 评价 价 测 完成教材综合复习习题 六、单元作业设计1. (-6)2的平方根是  (    ) A. -6 B. 36 C. ±6 D. ±6 2. 已知-a=a，那么a=(    ) A. 0 B. 0或1 C. 0或-1 D. 0，-1或1 3. 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个正数为  (    ) A. 4 B. ±7 C. -7 D. 49 4. 若a、b均为实数，则下列命题正确的是(    ) A. 若a=b，则a=b B. 若ab，则3a>3b 5. 在实数5、227、0、3-1、3.1415、16、4.2⋅1⋅、3π、6.1010010001…(相邻两个1之间的0依次增加1个)中，无理数的个数为(    ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设a=7+2，则(    ) A. 2