七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题03 实数的四种压轴题全攻略（解析版）

专题03 实数的四种压轴题全攻略

类型一、利用数轴化简根式

例、实数，在数轴上的位置如图所示，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：观察数轴可得，，，

∴，，

故选B．

【变式训练1】实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______．

【答案】

【详解】解：根据题意得： ，∴ ，

∴，

∴．

故答案为：

【变式训练2】如图，点C所表示的数是（　　）

A． B．﹣ C．1﹣ D．﹣

【答案】C

【详解】解：根据勾股定理得：，

∴AC＝AB＝，∴点C表示的数是1﹣．故选：C．

【变式训练3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________．

【答案】1

【详解】解：由数轴可知：，

∴；故答案为1．

【变式训练4】在数轴上找表示的点：要在数轴上画出表示的点，只要画出长为的线段即可．利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝_____，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝_____，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点_____即为表示的点．

【答案】    2和3；3；2；C

【详解】解：利用勾股定理，长为的线段是直角边为正整数2和3的直角三角形的斜边．如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．

故答案为：2和3；3；2；C．

类型二、比较大小与实数估算

例．比较大小：﹣2___﹣3（填上＞、＜或＝）．

【答案】

【详解】解：，，

，

．

故答案为：．

【变式训练1】比较大小：____＋1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【答案】＜

【详解】解：∵1＜＜2，1＜＜2，

∴2＜+1＜3，

∴＜+1，

故答案为：＜．

【变式训练2】比较大小：___．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

【答案】>

【详解】解：∵，∴，

∴，

∴，

故答案为：＞．

【变式训练3】利用计算器，比较下列各组数的大小：

（1），；

（2），．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，

按键顺序为：“SHIFT”、“”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，

∴＜；

（2）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，∴=0.61803399，

∵=0.625，∴．

类型三、新定义问题

例．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，例如：min{5，3，1}＝1，min{8，5，5}＝5．如果min{4，x2﹣4x，﹣3}＝﹣3，那么x的取值范围是（　　）

A．1≤x≤3 B．x≤1或x≥3 C．1＜x＜3 D．x＜1或x＞3

【答案】B

【详解】解：由题意得4，x24x，3中最小值为3，

∴x24x≥3，即x24x+3≥0，解得：x≤1或x≥3，

故选：B．

【变式训练1】．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．

请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)点的“横负纵变点”为_________，点的“横负纵变点”为________；

(2)化简：；

(3)已知 为常数，点，且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是_________．

【答案】(1)；；(2)；(3)

【解析】(1)解：∵， ∴点的“横负纵变点”为；

 ∵，∴点的“横负纵变点”为；故答案为：；．

(2)

(3)∵，∴，∴，∴

∴

，∴

∵，∴，故答案为：

【变式训练2】老师在学习了本章的内容后设计了如下问题：定义：把形如与，为有理数，且，为正整数，且开方开不尽）的两个数，称为共轭实数．

(1)请你列举一对共轭实数：　　．

(2)与是共轭实数吗？　　；与是共轭实数吗？　　；（填“是”或“不是”

(3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？

(4)若有理数，满足，求的值．

【答案】(1)与；

(2)不是，是；

(3)共轭实数， 是无理数，见解析

(4)

【解析】(1)解：与 是一对共轭实数，故答案为：与；

(2)解：与 不是共轭实数， 与 是共轭实数，故答案为：不是，是；

(3)解：共轭实数， 是无理数，

∵a是开方开不尽的数，∴无理数，而是不等于0的有理数，

∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数；

(4)解：由得，

∵a、为有理数，∴为有理数，

∴必为有理数方能与相等，而为有理数，∴b-1=0，，∴a+b=4．

【变式训练3】材料1：对于正数a，我们规定：，其中表示不大于a的最大整效，b表示a的小数部分，（）．例：若，则；；若，则，．

材料2：若a与b满足材料1，即，且a与b满足（，且n为正整数），则称a和b是一对“四慧数”．例：若，，，16是4的倍数，所以4和0是一对“四慧数”；若，，，不能被4整除，所以与不能是一对“四慧数”．

根据以上材料计算：

(1)6与        是一对“四慧数”，与        是一对“四慧数”；

(2)有一对“四慧数”a与b，请计算当时这对“四慧数”a，b的和．

【答案】(1)0，；(2)

【解析】(1)解：∵62+02=36,36能被4整除，∴6与0是一对“四慧数”；

∵（）2+（）2=8,8能被4整除

∴与是一对“四慧数”．故答案是0，．

(2)解：当时，∵，∴，∵∴

∵，，∴，，∵

∴，

∵，，∴．

类型四、实数综合应用

例．（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．

（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）由数轴知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，

∴；

（2）∵，，

∴，，

∴．

【变式训练1】（1）设5﹣的整数部分为a，小数部分为b求的值．

（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）∵，∴，∴，

∴的整数部分为3，即，

∴，∴；

（2）由数轴上点的位置可知，∴，，

∴．

【变式训练2】已知某正数的两个不同的平方根分别是2a-17和a+8，b-10的立方根是﹣2，c是的整数部分．

(1)求a-b+c的值．

(2)求a+ba+3c的平方根．

【答案】(1)3；(2)

【解析】(1)∵某正数的两个不同的平方根分别是和，

∴，解得： ．

∵的立方根是，即，∴，解得：；

∵c是的整数部分，且，∴．∴．

(2)∵，.

∴的平方根是．

【变式训练3】如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．

（1）这个魔方的棱长为　 　cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；

（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　．

【答案】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得  a3＝64  ∴a＝4       故答案为4．

（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得 8b3＝64  ∴b＝2

∴所以根据勾股定理得  CD2＝22+22∴CD＝答：这个正方形的边长是cm．

（3）由（2）知，AD＝  ∴点D对应的数的绝对值是-1，

∵点D对应的数是负数  ∴点D对应的数是1﹣   

故答案为1﹣．

课后练习

1.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a－b|－＋()2＋2.

【答案】0

【解析】解：由图知，a>0，b<0，a－b>0，∴原式＝a－b－a－b＋2b＝0．

2．比较大小：_______，________（填“＜”或“＝”或“＞”）

【答案】     ＜     ＜

【详解】解：∵，∴18＞12，∴＜；-=，

∵，∴-<0，故答案为：<，<．

3．已知面积为10的正方形的边长为，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：由面积为10的正方形的边长为x，得，∴

∵9<10<16，∴，故选：C．

4．已知的立方根是-3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．

【答案】±4

【详解】∵的立方根是-3，∴，∴

∵的算术平方根是4，∴，即，∴

∵c是的整数部分，且，∴，∴

∵，∴的平方根为±4

5.（1）已知两个连续正整数a、b，，求ab的值．

（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值．

（3）已知的小数部分为m，的小数部分为n，求m+n的值．

【答案】（1）30；（2）8；（3）1

【解析】解：（1）∵a、b是两个连续的正整数，且，

又∵，即，∴a=5，b=6，∴；

（2）∵a是的整数部分，b是的小数部分，∴a=2，b=，

∴；

（3）∵，m是的小数部分，n是的小数部分，

又∵，，∴，，

∴．

6.如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．

（1）拼成的正方形的边长为　　．（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是　　．

（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．

【答案】解：（1）设拼成的正方形的边长为a，则a2＝5，a，

即拼成的正方形的边长为，故答案为：；

（2）由（1）得点A表示的数为1，故答案为：1；

（3）根据图形得：S阴影＝2×2×22×24+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为．

7．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．

例如：因为，所以是的完美平方根．

（1）已知是的完美平方根，求a的值．

（2）若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．

（3）已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

【答案】（1）；（2），；（3）或是的完美平方根

【详解】（1）∵是的完美平方根，

∴，∴．

（2）∵是的完美平方根，

∴，∴，．

（3）∵，

∴或是的完美平方根．

8．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.

（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．

（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．

【答案】（1）见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（2）81

【详解】解：（1）证明：∵，，

∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；

（2）分三种情况：①当时，得：（舍去）

②当时，，得：（舍去）

③当时，．得：

综上所述，a的值为81．