第9章统计9.2.2总体百分位数的估计学案含解析

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9.2.2　总体百分位数的估计 某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考． 问题：那么如何确定需要补考的分数线呢？ 知识点　百分位数 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3．四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (1) 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ (2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ [提示]　(1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． (2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数． (　　) (2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23． (　　) (3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　) A．第50百分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它一定是这组数据中的一个数据 D．它适用于总体是离散型的数据 A　[由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．] 3．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是________． 8.4　[因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4．] 4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________． eq \f(100,9)　[样本数据低于10的比例为0.08 ＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40 ＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋eq \f(0.1,0.36)×4＝eq \f(100,9)．] 类型1　百分位数的计算 【例1】　(对接教材P202例2)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0． (1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数． (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量． (3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准． [解]　(1)将所有数据从小到大排列，得 7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4， 则第25百分位数是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15， 第75百分位数是eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75， 第95百分位数是第12个数据为9.9． (2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9． 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9． (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品． 计算第p百分位数的步骤是什么？ [提示]　计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤： (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)计算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． eq \o([跟进训练]) 1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩： 78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91， 则这15人成绩的第80百分位数是(　　 ) A．90　　　B．90.5　　　C．91　　　D．91.5 B　[把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是eq \f(90＋91,2)＝90.5．] 类型2　百分位数的综合应用 【例2】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式． (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值． (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． 1．第p百分位数有什么特点？ [提示]　总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p． 2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ [提示]　不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在． [解]　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140． 所以y与x之间的函数解析式为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200400.)) (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.000 5×100＝0.2，)) 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0． (3)设75%分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用电量不超过400千瓦时的占80%， 所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦时， 即用电量的75%分位数为375千瓦时． 根据例2的(2)题中求得的数据计算用电量的15%分位数． [解]　设15%分位数为x， 因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%， 所以15%分位数为x在[100,200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15， 解得x＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时． 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得. eq \o([跟进训练]) 2．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1 000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩(单位：分)，并进行适当的分组(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为________． 122　[根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为1－0.005 0×20＝0.9，成绩在110分以下的学生所占比例为1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位数一定位于[110,130)内，由110＋20×eq \f(0.8－0.65,0.9－0.65)＝122，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122．] 1．下列一组数据的第25百分位数是(　　) 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A．3.2　　　B．3.0　　　C．4.4　　　D．2.5 A　[把这组数据按照由小到大排列，可得： 2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6， 由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．] 2．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 C　[因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C．] 3．2019年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，试估计成绩高于11级分的人数为(　　) A．8 000　　 B．10 000 C．20 000　　 D．60 000 B　[从题图中可以看出，12级分的有2.5%左右，13级分的有3%左右，14级分的有1%左右，15级分的有1.5%左右， ∴高于11级分的有8%左右，其人数约为12万的8%，即120 000×0.08＝9 600人．选项B最接近．故选B．] 4．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁． (1)0.04　(2)42.5　[(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04． (2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9， 且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内， 因此志愿者年龄的95%分位数为40＋eq \f(0.95－0.9,1－0.9)×5＝42.5岁．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)p百分位数的定义是什么？ (2)百分位数告诉我们什么信息？ 学 习 任 务核 心 素 养1．结合实例，能用样本估计百分位数．(重点) 2．理解百分位数的统计含义．(重点、难点)1．通过对百分位数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过计算样本的百分位数，培养数学运算素养．