第9章统计9.2.4总体离散程度的估计学案含解析

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9.2.4　总体离散程度的估计 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5． 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环． 问题：若从二人中选一人去和兄弟部分参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 知识点　方差、标准差 1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,)xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \o\al(2,i)－eq \x\to(x)2，标准差为． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\to(Y)，则称s2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N,)Yi－eq \o(Y,\s\up6(－)))2为总体方差，s＝eq \r(s2)为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \o(Y,\s\up6(－)))2． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\to(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,)yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 5．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为eq \x\to(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \o(x,\s\up6(－))1，eq \o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \o\al(2,1)，seq \o\al(2,2)，则这个样本的方差为 s2＝eq \f(n1,n)[seq \o\al(2,1)＋(eq \o(x,\s\up6(－))1－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \o\al(2,2)＋(eq \o(x,\s\up6(－))2－eq \o(x,\s\up6(－)))2]． (1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？ (2)数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \o(x,\s\up6(－))，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，eq \o(x,\s\up6(－))的方差为seq \o\al(2,1)，那么s2与seq \o\al(2,1)的大小关系如何？ [提示]　(1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的． (2)因为数据x1，x2，…，xn，eq \o(x,\s\up6(－))比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即seq \o\al(2,1)＜s2． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) 图1　　　　　　图2　　　　　　图3 A．s3＞s1＞s2　　　　　　 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 D　[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1．] 3．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　) A．1　　　　B．eq \r(2)　　　　C．eq \r(3)　　　　D．2 B　[∵样本容量n＝5，∴eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ∴s＝ eq \r(\f(1,5)[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32])＝eq \r(2)．] 类型1　方差和标准差的计算 【例1】　(对接教材P214T4)甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103； 乙：99　100　102　99　100　100． (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解]　(1)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100． seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1． (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq \o\al(2,甲)＞seq \o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． eq \o([跟进训练]) 1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq \o(x,\s\up6(－))A和eq \o(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．eq \o(x,\s\up6(－))A>eq \o(x,\s\up6(－))B，sA>sB　　 B．eq \o(x,\s\up6(－))A<eq \o(x,\s\up6(－))B，sA>sB C．eq \o(x,\s\up6(－))A>eq \o(x,\s\up6(－))B，sA