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人教版八年级数学下册同步练习 18.1.5 三角形的中位线 分层作业(原卷版+解析)
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人教版初中数学八年级下册 18.1.5 三角形的中位线 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A．13 B．9.5 C．17 D．19 2．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ） A．12 B．15 C．20 D．25 3．如图，在中，D是AB上一点，AE平分，于点E，点F是BC的中点，若，，则EF的长为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 5．如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（ ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ） A．140° B．120° C．100° D．80° 7．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空题： 8．如图，中，已知，，，是中位线，则的长为______． 9．如图在中，，分别是的中点， 连接．如果，那么的周长是_______________________． 10．如图，在中，点分别是和的中点，点在延长线上，平分于点，若，则__________． 11．如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____ 12．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___． 三、解答题： 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 14．如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形． 15．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长． 16．如图，，，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上， (1)求证：； (2)若，，求四边形AEDF的周长． 17．如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 能力提升篇 一、单选题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ） A．a B．a C．a D．a 二、填空题： 4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，则PQ的长______． 5．如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则______． 6．如图，的周长为a，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、、分别为EF、EG、FG的中点，如果、、分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第2022个三角形的周长是______． 三、解答题： 8．中，为的中点，为的平分线，于． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 9．在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 人教版初中数学八年级下册 18.1.5 三角形的中位线 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A．13 B．9.5 C．17 D．19 【答案】D 【分析】根据中位线的性质求出的长即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理． 2．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分，则OE是三角形的中位线，则，继而求出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答． 3．如图，在中，D是AB上一点，AE平分，于点E，点F是BC的中点，若，，则EF的长为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到CE=DE，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵AE平分，， ∴∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=∠DAE， ∴∠ACE=∠ADE， ∴AC=AD=6， ∵∠CAE=∠DAE， ∴CE=DE， ∵点F是BC的中点， ∴CF=BF， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 【答案】B 【分析】利用三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：点、、、分别是线段、、、的中点， 则线段分别为、、、的中位线， ∴， 四边形的周长，只与、的长有关 故选：B 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的关性质． 5．如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（ ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 【答案】A 【分析】连接CF，利用中位线的性质可证GH=，因为CF逐渐增大，所以GH逐渐增大，可判断A正确、B错误；连接BE将四边形EFBC分为和，因为和矩形ABCE面积不变，与的面积和等于矩形ABCE面积-四边形EFBC面积，所以通过判断面积变化情况可判断C、D． 【详解】连接CF，如图： ∵点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大， ∵BC不变，， ∴CF逐渐增大， ∵点G、H分别是、的中点， ∴GH是△EFC的中位线， ∴， ∴线段GH的长逐渐增大， 所以A正确，B错误； 连接EB，如图: ∵点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大，AE逐渐增大， ∴， ∴逐渐增大， ∵在△EBC中，底BC和高都不变， ∴S△EBC不变， ∴S四边形EFBC=+S△EBC逐渐增大， ∵=S矩形ABCE- S四边形EFBC， S矩形ABCE不变， ∴逐渐减小， ∴C、D错误， 故选 A． 【点睛】本题考查三角形，熟练掌握三角形中位线性质和面积公式，灵活作辅助线对所求证目标进行巧妙转换是解题关键． 6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ） A．140° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数． 【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°， ∴∠B=40°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40° ∴∠DEB=140°， ∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般． 7．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题： 8．如图，中，已知，，，是中位线，则的长为______． 【答案】3 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是中位线， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 9．如图在中，，分别是的中点， 连接．如果，那么的周长是_______________________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC=2DE=5，AC∥DE， AC2+BC2=52+122=169， AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB=90°， 又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=BD， ∴△ACD的周长=， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，在中，点分别是和的中点，点在延长线上，平分于点，若，则__________． 【答案】4 【分析】先证明是的中位线，得到，再证明得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；4． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 11．如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____ 【答案】8 【分析】由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出，，进而得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 而， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决本题的关键． 12．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___． 【答案】##30度 【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：∵，E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， , , 又 , , , , . 故答案为：． 【点睛】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，根据中位线定理证得是解决问题的关键． 三、解答题： 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】根据三角形中位线定理得到PM＝BC，，PN＝AD，进而得到PM＝PN，根据等腰三角形的定义得出结论． 【详解】解：△PMN是等腰三角形， 理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△DBC的中位线， ∴PM＝BC， 同理，PN＝AD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 14．如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据三角形中位线性质，可知且，且，由此可证得且，根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形DGFE是平行四边形． 【详解】证明：∵D、E分别是的边AB、AC的中点，点G、F分别是OB、OC的中点， ∴DE是的中位线，GF是的中位线， ∴且，且， ∴且， ∴四边形DGFE是平行四边形． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定，此类题中需要注意，遇到中点，首先想到中位线的性质． 15．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长． 【答案】1 【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明，即得出，，从而可得出，点E为BD中点，从而可判定EF为的中位线，进而可求出EF的长． 【详解】∵AE平分 ∴，． 又∵AE=AE， ∴(ASA)， ∴，， ∴，点E为BD中点． ∵F是BC的中点， ∴EF为的中位线， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 16．如图，，，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上， (1)求证：； (2)若，，求四边形AEDF的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）D，E分别为AB，BC的中点，，因此AE=EB，等腰三角形两底角相等，可证明，即可得到结果； （2）由（1）可得四边形AFDE为平行四边形，对边相等，根据勾股定理可得AB的长，因为中点问题，可得到AD、AE、ED的长，即可得到结果． （1） 证明：∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴,即， ∵D是中点，, ∴AE=EB，即, ∵， ∴ ∵点F在CA的延长线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 解：由（1）得， ∴四边形AFDE为平行四边形， ∴AE=DF， ∵，， ∴, ∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴， 即DE=AF=3，AE=DF=5， 所以四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，全等三角形的证明及判定，平行四边形的证明及判定，勾股定理，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系． 17．如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 【答案】 【分析】分别是的中点，可知是的中位线，可证四边形是平行四边形，在中，根据勾股定理，平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形与平行四边形的综合运用，掌握中位线，勾股定，平行四边形判定和性质是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【详解】解：连接BD，过M作MGAB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB=4，MGAB， ∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×4=2； ∵N是BC的中点，BG=GD，CD=6， ∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×6=3， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，即， ∴， 当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，得到，，点E是的中点，推出是等边三角形，证得，求出，故①正确； 由，可求出的长，进而可求出，故②正确； 易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故③正确； 根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，故④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，点E是的中点， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点，E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键． 3．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ） A．a B．a C．a D．a 【答案】A 【分析】根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择． 【详解】解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作， ∴的周长的周长． ∵以各边的中点为顶点作， ∴的周长的周长， …， ∴的周长 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键． 二、填空题： 4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，则PQ的长______． 【答案】1 【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，AQ=QE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在△ABQ和△EBQ中， ， ∴△ABQ≌△EBQ（ASA）， ∴BE=AB=5，AQ=QE， 同理CD=AC=7，AP=PD， ∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2， ∵AP=PD，AQ=QE， ∴PQ=DE=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则______． 【答案】1 【分析】取BE中点H，连接FH与CH，根据线段中点得出EH=，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形CEFH为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取BE中点H，连接FH与CH，如图所示： ∴EH=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵F是AE的中点，H为BE中点， ∴FH为∆ABE的中位线， ∴FH∥AB∥CD，FH=， ∵E是CD中点， ∴CE， ∴CE=FH， ∵FH∥CD ∴四边形CEFH为平行四边形， ∴EG=GH=， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 6．如图，的周长为a，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、、分别为EF、EG、FG的中点，如果、、分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第2022个三角形的周长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出第个三角形的周长、第个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：、、分别为、、的中点， 、、都是的中位线， ，，， 的周长= ，即第个三角形的周长是 ， 同理可得，第个三角形的周长是，， 则第个三角形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题： 7．中，为的中点，为的平分线，于． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）延长交于，证≌，推出，，根据三角形的中位线性质得出即可得证； （2）根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，即可得出答案． （1） 证明：延长交于， ， ， 为的平分线， ， 在和中，， ≌（SAS）， ，， 为的中点， ； （2） 解：∵在中，，，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，解此题的关键是推出≌，题目比较好，难度适中． 8．在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 【答案】(1)见解析； (2)图2中长度为的2倍的线段是、、． 【分析】（1）证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，得出四边形是平行四边形； （2）由HL证明和，得出，，，得出，证出四边形是平行四边形，因此，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴是的中点， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即图2中长度为的2倍的线段是、、． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
人教版初中数学八年级下册 18.1.5 三角形的中位线 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A．13 B．9.5 C．17 D．19 2．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ） A．12 B．15 C．20 D．25 3．如图，在中，D是AB上一点，AE平分，于点E，点F是BC的中点，若，，则EF的长为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 5．如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（ ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ） A．140° B．120° C．100° D．80° 7．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空题： 8．如图，中，已知，，，是中位线，则的长为______． 9．如图在中，，分别是的中点， 连接．如果，那么的周长是_______________________． 10．如图，在中，点分别是和的中点，点在延长线上，平分于点，若，则__________． 11．如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____ 12．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___． 三、解答题： 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 14．如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形． 15．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长． 16．如图，，，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上， (1)求证：； (2)若，，求四边形AEDF的周长． 17．如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 能力提升篇 一、单选题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ） A．a B．a C．a D．a 二、填空题： 4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，则PQ的长______． 5．如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则______． 6．如图，的周长为a，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、、分别为EF、EG、FG的中点，如果、、分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第2022个三角形的周长是______． 三、解答题： 8．中，为的中点，为的平分线，于． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 9．在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 人教版初中数学八年级下册 18.1.5 三角形的中位线 同步练习 夯实基础篇 一、单选题： 1．如图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A．13 B．9.5 C．17 D．19 【答案】D 【分析】根据中位线的性质求出的长即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理． 2．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分，则OE是三角形的中位线，则，继而求出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答． 3．如图，在中，D是AB上一点，AE平分，于点E，点F是BC的中点，若，，则EF的长为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到CE=DE，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵AE平分，， ∴∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=∠DAE， ∴∠ACE=∠ADE， ∴AC=AD=6， ∵∠CAE=∠DAE， ∴CE=DE， ∵点F是BC的中点， ∴CF=BF， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 【答案】B 【分析】利用三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：点、、、分别是线段、、、的中点， 则线段分别为、、、的中位线， ∴， 四边形的周长，只与、的长有关 故选：B 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的关性质． 5．如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（ ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 【答案】A 【分析】连接CF，利用中位线的性质可证GH=，因为CF逐渐增大，所以GH逐渐增大，可判断A正确、B错误；连接BE将四边形EFBC分为和，因为和矩形ABCE面积不变，与的面积和等于矩形ABCE面积-四边形EFBC面积，所以通过判断面积变化情况可判断C、D． 【详解】连接CF，如图： ∵点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大， ∵BC不变，， ∴CF逐渐增大， ∵点G、H分别是、的中点， ∴GH是△EFC的中位线， ∴， ∴线段GH的长逐渐增大， 所以A正确，B错误； 连接EB，如图: ∵点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大，AE逐渐增大， ∴， ∴逐渐增大， ∵在△EBC中，底BC和高都不变， ∴S△EBC不变， ∴S四边形EFBC=+S△EBC逐渐增大， ∵=S矩形ABCE- S四边形EFBC， S矩形ABCE不变， ∴逐渐减小， ∴C、D错误， 故选 A． 【点睛】本题考查三角形，熟练掌握三角形中位线性质和面积公式，灵活作辅助线对所求证目标进行巧妙转换是解题关键． 6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ） A．140° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数． 【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°， ∴∠B=40°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40° ∴∠DEB=140°， ∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般． 7．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题： 8．如图，中，已知，，，是中位线，则的长为______． 【答案】3 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是中位线， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 9．如图在中，，分别是的中点， 连接．如果，那么的周长是_______________________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC=2DE=5，AC∥DE， AC2+BC2=52+122=169， AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB=90°， 又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=BD， ∴△ACD的周长=， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，在中，点分别是和的中点，点在延长线上，平分于点，若，则__________． 【答案】4 【分析】先证明是的中位线，得到，再证明得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；4． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 11．如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____ 【答案】8 【分析】由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出，，进而得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 而， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决本题的关键． 12．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___． 【答案】##30度 【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：∵，E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， , , 又 , , , , . 故答案为：． 【点睛】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，根据中位线定理证得是解决问题的关键． 三、解答题： 13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】根据三角形中位线定理得到PM＝BC，，PN＝AD，进而得到PM＝PN，根据等腰三角形的定义得出结论． 【详解】解：△PMN是等腰三角形， 理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△DBC的中位线， ∴PM＝BC， 同理，PN＝AD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 14．如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，点O是内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据三角形中位线性质，可知且，且，由此可证得且，根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形DGFE是平行四边形． 【详解】证明：∵D、E分别是的边AB、AC的中点，点G、F分别是OB、OC的中点， ∴DE是的中位线，GF是的中位线， ∴且，且， ∴且， ∴四边形DGFE是平行四边形． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定，此类题中需要注意，遇到中点，首先想到中位线的性质． 15．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长． 【答案】1 【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明，即得出，，从而可得出，点E为BD中点，从而可判定EF为的中位线，进而可求出EF的长． 【详解】∵AE平分 ∴，． 又∵AE=AE， ∴(ASA)， ∴，， ∴，点E为BD中点． ∵F是BC的中点， ∴EF为的中位线， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 16．如图，，，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上， (1)求证：； (2)若，，求四边形AEDF的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）D，E分别为AB，BC的中点，，因此AE=EB，等腰三角形两底角相等，可证明，即可得到结果； （2）由（1）可得四边形AFDE为平行四边形，对边相等，根据勾股定理可得AB的长，因为中点问题，可得到AD、AE、ED的长，即可得到结果． （1） 证明：∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴,即， ∵D是中点，, ∴AE=EB，即, ∵， ∴ ∵点F在CA的延长线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 解：由（1）得， ∴四边形AFDE为平行四边形， ∴AE=DF， ∵，， ∴, ∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴， ∴， 即DE=AF=3，AE=DF=5， 所以四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，全等三角形的证明及判定，平行四边形的证明及判定，勾股定理，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系． 17．如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 【答案】 【分析】分别是的中点，可知是的中位线，可证四边形是平行四边形，在中，根据勾股定理，平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形与平行四边形的综合运用，掌握中位线，勾股定，平行四边形判定和性质是解题的关键． 能力提升篇 一、单选题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【详解】解：连接BD，过M作MGAB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB=4，MGAB， ∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×4=2； ∵N是BC的中点，BG=GD，CD=6， ∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×6=3， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，即， ∴， 当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，得到，，点E是的中点，推出是等边三角形，证得，求出，故①正确； 由，可求出的长，进而可求出，故②正确； 易证为的中位线，可得，又因为，所以可得，故③正确； 根据等底同高的三角形面积相等可得，再由③可知，进而可得，故④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，点E是的中点， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵O为中点，E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及中位线性质定理的运用．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键． 3．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ） A．a B．a C．a D．a 【答案】A 【分析】根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择． 【详解】解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作， ∴的周长的周长． ∵以各边的中点为顶点作， ∴的周长的周长， …， ∴的周长 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键． 二、填空题： 4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，则PQ的长______． 【答案】1 【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，AQ=QE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在△ABQ和△EBQ中， ， ∴△ABQ≌△EBQ（ASA）， ∴BE=AB=5，AQ=QE， 同理CD=AC=7，AP=PD， ∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2， ∵AP=PD，AQ=QE， ∴PQ=DE=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5．如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则______． 【答案】1 【分析】取BE中点H，连接FH与CH，根据线段中点得出EH=，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形CEFH为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取BE中点H，连接FH与CH，如图所示： ∴EH=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵F是AE的中点，H为BE中点， ∴FH为∆ABE的中位线， ∴FH∥AB∥CD，FH=， ∵E是CD中点， ∴CE， ∴CE=FH， ∵FH∥CD ∴四边形CEFH为平行四边形， ∴EG=GH=， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 6．如图，的周长为a，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、、分别为EF、EG、FG的中点，如果、、分别为第个、第个、第个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第2022个三角形的周长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出第个三角形的周长、第个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：、、分别为、、的中点， 、、都是的中位线， ，，， 的周长= ，即第个三角形的周长是 ， 同理可得，第个三角形的周长是，， 则第个三角形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题： 7．中，为的中点，为的平分线，于． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）延长交于，证≌，推出，，根据三角形的中位线性质得出即可得证； （2）根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，即可得出答案． （1） 证明：延长交于， ， ， 为的平分线， ， 在和中，， ≌（SAS）， ，， 为的中点， ； （2） 解：∵在中，，，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，解此题的关键是推出≌，题目比较好，难度适中． 8．在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段． 【答案】(1)见解析； (2)图2中长度为的2倍的线段是、、． 【分析】（1）证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，得出四边形是平行四边形； （2）由HL证明和，得出，，，得出，证出四边形是平行四边形，因此，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴是的中点， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∴（HL）， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即图2中长度为的2倍的线段是、、． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
