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数学九年级下册27.5 圆与圆的位置关系当堂检测题
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这是一份数学九年级下册27.5 圆与圆的位置关系当堂检测题，共33页。
一．选择题（共16小题）
1．(2023•嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．两圆内切B．两圆内含C．两圆外离D．两圆相交
2．(2023•黄浦区二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
3．(2023•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜4
4．(2023•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）
A．2r+r•cs45°＝1B．2r+2r•cs45°＝1
C．3r+r•cs45°＝1D．3r+2r•cs45°＝1
5．(2023春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）
A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜7
6．(2023春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
7．(2023•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．(2023春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）
A．12B．11C．10D．9
9．(2023春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．外切D．相交
10．(2023•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．(2023春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜2
12．(2023春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
13．(2023•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．外切D．不能确定
14．(2023•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
15．(2023•长宁区二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
16．(2023•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
二．填空题（共8小题）
17．(2023•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．
18．(2023春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 ．
19．(2023春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 ．
20．(2023春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 ．
21．(2023•杨浦区三模）如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是 ．
22．(2023•普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 ．
23．(2023•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 ．
24．(2023•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
【能力提升】
一．选择题（共8小题）
1．(2023•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
2．(2023•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
3．(2023•普陀区二模）已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外
C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外
5．(2023春•松江区校级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
6．(2023•嘉定区三模）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．内含D．外离
7．(2023•上海模拟）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
8．(2023•闵行区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（ ）
A．0＜AP＜8B．1＜AP＜5C．1＜AP＜7D．4＜AP＜8
二．填空题（共7小题）
9．(2023春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．
10．(2023春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．
11．(2023•浦东新区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O的半径r的取值范围是 ．
12．(2023•浦东新区校级二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 ．
13．(2023•浦东新区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是 ．
14．(2023春•徐汇区校级月考）若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21＝0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 ．
15．(2023春•静安区校级月考）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 ．
三．解答题（共2小题）
16．(2023•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
求：（1）求的值；
（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．
17．(2023秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．
（1）求证：O1A∥O2B；
（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．
27.5圆与圆的位置关系（分层练习）
【夯实基础】
一．选择题（共16小题）
1．(2023•嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．两圆内切B．两圆内含C．两圆外离D．两圆相交
分析：画出图形即可判断．
【解答】解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，但不能是外离，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，画出图形是关键．
2．(2023•黄浦区二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
分析：根据圆与圆的位置关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，
圆心距d＝2，
∴d＝r2﹣r1，
∴两圆相内切，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．
3．(2023•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜4
分析：设⊙B半径为Rcm，则R＝6cm，根据两圆外离的条件得到AB＞r+R，从而得到r的范围．
【解答】解：设⊙B半径为Rcm，则R＝BC＝6cm，
∵⊙A与⊙B外离，
∴AB＞r+R，
∴r＜AB﹣R，
即r＜4，
∵r＞0，
∴0＜r＜4．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R，r，两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
4．(2023•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）
A．2r+r•cs45°＝1B．2r+2r•cs45°＝1
C．3r+r•cs45°＝1D．3r+2r•cs45°＝1
分析：先画出符合题意的图形，过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，由此可得△OPN是等腰直角三角形，四边形ONMQ是矩形，根据三角形函数和线段的和差计算可得出结论．
【解答】解：如图，由内切的定义可知，⊙P的半径为2r，
过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，
∴四边形ONMQ为矩形，
∴ON＝QM，
∵OP＝r，∠OPN＝45°，
∴ON＝r•cs45°，
∵DQ+QM+CM＝1，
∴r+r•cs45°+2r＝1，即3r+r•cs45°＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的相关计算，涉及内切的定义，切线的定义及性质，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是画出符合题意的图形．
5．(2023春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）
A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜7
分析：作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA＝4，再确认⊙B与⊙A内切时，OB的长，可得结论．
【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O＝30°，AD＝2，
∴OA＝4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图，
∵BC＝5，
∴OB＝OA+AB＝4+5﹣2＝7；
∴⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是：4＜OB＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆内含和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．
6．(2023春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
分析：求出AB＝5，根据圆心距＝半径之差，即可判断．
【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB＝＝5，
⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，
∴半径差为：7﹣2＝5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
7．(2023•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
分析：首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．
【解答】解：根据题意两圆内含，
故知r﹣3＞4，
解得r＞7．
故选：D．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
8．(2023春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）
A．12B．11C．10D．9
分析：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．
由题意：，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
9．(2023春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．外切D．相交
分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：∵两圆半径之差＝3﹣2＝1＝圆心距，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：D．
【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．
10．(2023•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
分析：先利用两圆相交的判定方法得到3＜d＜7，再根据“外相交”的定义得到d＞2且d＞5，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交，
∴5﹣2＜d＜5+2，即3＜d＜7，
∵两圆“外相交”，
∴d＞2且d＞5，
∴两圆的圆心距d的取值范围为5＜d＜7．
∴两圆“外相交”时的圆心距d的取值范围是5＜d＜7．
故选C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
11．(2023春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜2
分析：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选：D．
【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．
12．(2023春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
分析：根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论．
【解答】解：当两圆外切时，切点A能满足AO1＝5，当两圆相交时，交点A能满足AO1＝5，
当两圆内切时，切点A能满足AO1＝5，
所以，两圆相交或相切．
故选：A．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
13．(2023•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．外切D．不能确定
分析：根据勾股定理得到AC＝＝4，根据相似三角形的性质得到BE＝，CD＝，DE＝2，求得CE＝＝＝，于是得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∵AD＝2CD，
∴＝，
∴BE＝，CD＝，DE＝2，
∴CE＝＝＝，
∵BE+CD＝＞，
∴以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交，
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．(2023•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
分析：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5，由勾股定理得AC＝5，由点与圆的位置关系，可得结论．
【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆A的半径为R，
则：AB＝R﹣1，
∵AB＝4，圆B半径为1，
∴R＝5，即圆A的半径等于5，
∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，
∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，
∴点C在圆上，点D在圆内，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
15．(2023•长宁区二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据勾股定理求得AB＝5，两个三角形面积公式求得CD，即可得出⊙C的半径，根据“内相交”的定义得出＜OA＜，即可得出结论．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，
∴CD是⊙C半径，
∵AC•BC＝，即＝•CD，
∴CD＝，
∴⊙C的半径为，
∵4﹣＝，4+＝，
∴＜OA＜，
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C的半径是解题的关键．
16．(2023•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
分析：求得⊙B内切于⊙O时⊙B的半径和⊙O内切于⊙B时⊙B的半径，根据图形即可求得．
【解答】解：如图，当⊙B内切于⊙O时，⊙B的半径为3﹣2＝1，
当⊙O内切于⊙B时，⊙B的半径为3+2＝5，
∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共8小题）
17．(2023•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 2 cm．
分析：利用两圆外切的性质解答即可．
【解答】解：设圆O1的半径是rcm，
∵圆O1与圆O2外切，圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，
∴4+r＝6，
∴r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相切两圆的性质，利用外切两圆的圆心距等于两圆半径之和列出关系式是解题的关键．
18．(2023春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 1.6＜r＜6.4 ．
分析：过C点作CD⊥AB于D点，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，则利用面积法得到OH＝2.4，再根据切线的性质得到OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．
【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵OH•AB＝OA•OB，
∴OH＝＝2.4，
∵⊙C与AB相切，
∴OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，
∵⊙A与⊙C相交，
∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，
解得1.6＜r＜6.4．
故答案为：1.6＜r＜6.4．
【点评】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．若两圆半径为R、r，圆心距为d，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r（R＞r）．
19．(2023春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 8＜r＜24 ．
分析：过点P作PA⊥OM于点A．根据题意首先判定OM是切线，根据切线的性质得到PA＝8．由角平分线的性质和平行线的性质判定直角△APQ中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到PQ的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得r的取值范围．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥OM于点A．
∵圆P与ON相切，设切点为B，连接PB．
∴PB⊥ON．
∵OP是∠MON的角平分线，
∴PA＝PB．
∴PA是半径，
∴OM是圆P的切线．
∵∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，
∴∠1＝∠2＝15°．
∵PQ∥ON，
∴∠3＝∠2＝15°．
∴∠4＝∠1+∠3＝30°．
∵PA＝8，
∴PQ＝2PA＝16．
∴r最小值＝16﹣8＝8，r最大值＝16+8＝24．
∴r的取值范围是8＜r＜24．
故答案为：8＜r＜24．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，切线的判定与性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
20．(2023春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 2 ．
分析：根据数量关系确定它们的位置关系，再根据位置关系确定交点个数．
【解答】∵一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6，
∴两圆相交，
∴两圆有两个公共点．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是将数量关系转化为位置关系．
21．(2023•杨浦区三模）如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是 ．
分析：由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，
在等边△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC＝2，
∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，
∴PO＝2+BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝，
∵OP2＝OH2+PH2，
∴（2+BP）2＝3+（4﹣1﹣BP）2，
∴BP＝，
故答案为．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．(2023•普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 3 ．
分析：根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，
∴AB＝6﹣2＝4，
过点A作AD⊥BC于D，
则BD＝BC＝3，
由勾股定理得，AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝×6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切⇔d＝R﹣r是解题的关键．
23．(2023•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 2＜r＜8 ．
分析：根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．
【解答】解：∵两圆相交，
∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，
即2＜r＜8．
故答案为：2＜r＜8．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
24．(2023•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣4，1），（0，5） ．
分析：如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y＝x平行并过点A，
∴过点A的直线与y＝x平行，
∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C
如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，
∴C（﹣4，1），B（0，5）．
故答案为：（﹣4，1），（0，5）
【点评】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决问题的关键．
【能力提升】
一．选择题（共8小题）
1．(2023•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
分析：连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．
【解答】解：连接AD交⊙A于E，如图1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝5，
则DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝7﹣3＝4，
∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2＜r＜4，
即只有选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
2．(2023•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
分析：根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
【解答】解：根据题意作图如下：
∴圆A与圆C外切，圆A与圆C外离，圆B与圆C相交，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．
3．(2023•普陀区二模）已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
分析：根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．
【解答】解：∵⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，
∴⊙O2的半径为15厘米，
∵15﹣10＜15＜15+10，
∴两圆的位置关系是相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．
4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外
C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外
分析：求出⊙A的半径为5，根据AD＝3，AC＝5即可作出判断．
【解答】解：如图，连接AC，
∵⊙A与⊙B内切，⊙B的半径为1，AB＝4，
∴⊙A的半径为5，
∵AD＝3，DC＝4，∠D＝90°，
∴AC＝5，
∴点D在⊙A内，点C在⊙A上．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是求出⊙A的半径．
5．(2023春•松江区校级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
分析：根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．(2023•嘉定区三模）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．内含D．外离
分析：求出AB＝5，根据圆心距＝半径之差，即可判断．
【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB＝＝5，
∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，
∴半径差为：7﹣2＝5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
7．(2023•上海模拟）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
分析：根据两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．进行逐一判断即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．解决本题的关键是掌握相交两圆的性质．
8．(2023•闵行区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（ ）
A．0＜AP＜8B．1＜AP＜5C．1＜AP＜7D．4＜AP＜8
分析：先画出图形，假设相切的时候求出AP，结合相交，即可找到答案．
【解答】解：根据题意，画出两圆相切的图，作CD⊥AB于点D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB．
∴CD＝DB＝DA＝4．
当两圆相切时，如图知道：CP＝5，CH＝5．
根据勾股定理可得：PD＝DH＝3．
∴图上有：AP＝1，AH＝7．
如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围为：1＜AP＜7．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形性质，圆与圆的位置关系知识，关键在于利用两圆相切求出AP的长度．属于基础题．
二．填空题（共7小题）
9．(2023春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 0≤d＜2或d＞4 ．
分析：先确定两圆的位置关系再求范围．
【解答】解：∵两圆没有公共点，
∴两圆内含或外离．
当两圆内含时，0≤d＜3﹣1＝2，即0≤d＜2，
当两圆外离时，d＞1+3＝4，
∴d的取值范围是：0≤d＜2或d＞4．
故答案为：0≤d＜2或d＞4．
【点评】本题考查两圆的位置关系，掌握各位置关系的条件是求解本题的关键．
10．(2023春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 2或4 cm．
分析：利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．
【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；
又∵AB＝4厘米，
∴AD＝2厘米，
∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；
在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，
∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；
同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．
故答案是：4或2；
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．
11．(2023•浦东新区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O的半径r的取值范围是 3＜r＜7 ．
分析：作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OA，求出OB和OC，再根据两圆相交得出答案即可．
【解答】解：如图，作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，
∵点A的坐标为（3，4），
∴AM＝4，OM＝3，
由勾股定理得：OA＝＝5，
∵⊙A的半径是2，
∴OB＝5﹣2＝3，OC＝5+2＝7，
∵以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，
∴3＜r＜7，
故答案为：3＜r＜7．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等知识点，能熟记圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
12．(2023•浦东新区校级二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 d＞8或0≤d＜2 ．
分析：根据两圆没有交点，得到两圆的位置关系为外离或内含，确定出d的范围即可．
【解答】解：∵两圆半径分别为3和5，圆心距为d，且两圆没有交点，
∴两圆外离或内含，
∴d＞3+5或0≤d＜5﹣3，
解得：d＞8或0≤d＜2．
故答案为：d＞8或0≤d＜2．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，弄清圆与圆的位置关系与d，R，r之间的关系是解本题的关键．
13．(2023•浦东新区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是 4＜r＜10 ．
分析：根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝10，
∵点B在⊙A上，
∴⊙A的半径是6，
设⊙A交AC于D，则AD＝6，CD＝10﹣6＝4，
∵点A在⊙C外，
∴⊙C的半径小于10，
即r的取值范围是4＜r＜10，
故答案为：4＜r＜10．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出两圆的半径是解此题的关键．
14．(2023春•徐汇区校级月考）若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21＝0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 内含 ．
分析：由两圆的半径分别是方程4x2﹣20x+21＝0的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为1.5，即可求得这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵4x2﹣20x+21＝0，
∴（2x﹣3）（2x﹣7）＝0，
解得：x1＝1.5，x2＝3.5，
∴两圆的半径分别是1.5，3.5，
∵两圆的圆心距等于1.5，
∴这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为内含．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
15．(2023春•静安区校级月考）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 1.5或4.5 ．
分析：根据两圆内切时圆心距＝两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．
【解答】解：设⊙O半径是R，根据题意，分两种情况：
①如图1，OA＝5﹣R，OB＝R﹣1，
∵OA＝AB+OB，
∴5﹣R＝3+R﹣1，
解得R＝1.5；
②如图2，OA＝5﹣R，OB＝R﹣1，
∵OA＝OB﹣AB，
∴5﹣R＝R﹣1﹣3，
解得R＝4.5．
故答案为1.5或4.5．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P；外离P＞R+r；外切P＝R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P＝R﹣r；内含P＜R﹣r．
三．解答题（共2小题）
16．(2023•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
求：（1）求的值；
（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．
分析：（1）根据垂径定理得出AD＝AB，AE＝AC，即可求出答案；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出∠OBA＝∠PCA，求出△OOA∽△CPA，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，OD过O，PE过P，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∴；
（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP，
∵OB＝OA，PA＝PC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠PAC＝∠PCA，
即∠OBA＝∠PCA，∠BAO＝∠PAC，
∴△OOA∽△CPA，
∴＝，
∵⊙O和⊙P的半径比为3：5，即＝，
∴＝．
【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
17．(2023秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．
（1）求证：O1A∥O2B；
（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．
分析：（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；
（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值．
【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，
又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，
∴O1O2经过点T．
∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．
∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．
∵∠O1TA＝∠O2TB，
∴∠A＝∠B．
∴O1A∥O2B；
（2）∵O1A∥O2B，
∴．
∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，
∴，
解得：．
【点评】此题考查了相切两圆的性质，平行线的判定与性质，作出相应的辅助线是解本题的关键．
一．选择题（共16小题）
1．(2023•嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．两圆内切B．两圆内含C．两圆外离D．两圆相交
2．(2023•黄浦区二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
3．(2023•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜4
4．(2023•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）
A．2r+r•cs45°＝1B．2r+2r•cs45°＝1
C．3r+r•cs45°＝1D．3r+2r•cs45°＝1
5．(2023春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）
A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜7
6．(2023春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
7．(2023•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．(2023春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）
A．12B．11C．10D．9
9．(2023春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．外切D．相交
10．(2023•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．(2023春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜2
12．(2023春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
13．(2023•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．外切D．不能确定
14．(2023•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
15．(2023•长宁区二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
16．(2023•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
二．填空题（共8小题）
17．(2023•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．
18．(2023春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 ．
19．(2023春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 ．
20．(2023春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 ．
21．(2023•杨浦区三模）如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是 ．
22．(2023•普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 ．
23．(2023•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 ．
24．(2023•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
【能力提升】
一．选择题（共8小题）
1．(2023•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
2．(2023•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
3．(2023•普陀区二模）已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外
C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外
5．(2023春•松江区校级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
6．(2023•嘉定区三模）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．内含D．外离
7．(2023•上海模拟）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
8．(2023•闵行区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（ ）
A．0＜AP＜8B．1＜AP＜5C．1＜AP＜7D．4＜AP＜8
二．填空题（共7小题）
9．(2023春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．
10．(2023春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．
11．(2023•浦东新区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O的半径r的取值范围是 ．
12．(2023•浦东新区校级二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 ．
13．(2023•浦东新区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是 ．
14．(2023春•徐汇区校级月考）若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21＝0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 ．
15．(2023春•静安区校级月考）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 ．
三．解答题（共2小题）
16．(2023•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
求：（1）求的值；
（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．
17．(2023秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．
（1）求证：O1A∥O2B；
（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．
27.5圆与圆的位置关系（分层练习）
【夯实基础】
一．选择题（共16小题）
1．(2023•嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．两圆内切B．两圆内含C．两圆外离D．两圆相交
分析：画出图形即可判断．
【解答】解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，但不能是外离，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，画出图形是关键．
2．(2023•黄浦区二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
分析：根据圆与圆的位置关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，
圆心距d＝2，
∴d＝r2﹣r1，
∴两圆相内切，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．
3．(2023•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜4
分析：设⊙B半径为Rcm，则R＝6cm，根据两圆外离的条件得到AB＞r+R，从而得到r的范围．
【解答】解：设⊙B半径为Rcm，则R＝BC＝6cm，
∵⊙A与⊙B外离，
∴AB＞r+R，
∴r＜AB﹣R，
即r＜4，
∵r＞0，
∴0＜r＜4．
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R，r，两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
4．(2023•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）
A．2r+r•cs45°＝1B．2r+2r•cs45°＝1
C．3r+r•cs45°＝1D．3r+2r•cs45°＝1
分析：先画出符合题意的图形，过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，由此可得△OPN是等腰直角三角形，四边形ONMQ是矩形，根据三角形函数和线段的和差计算可得出结论．
【解答】解：如图，由内切的定义可知，⊙P的半径为2r，
过点P作PM⊥CD于点M，过点O作ON⊥PM于点N，过点O作OQ⊥CD于点Q，
∴四边形ONMQ为矩形，
∴ON＝QM，
∵OP＝r，∠OPN＝45°，
∴ON＝r•cs45°，
∵DQ+QM+CM＝1，
∴r+r•cs45°+2r＝1，即3r+r•cs45°＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的相关计算，涉及内切的定义，切线的定义及性质，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等相关知识，解题关键是画出符合题意的图形．
5．(2023春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）
A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜7
分析：作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA＝4，再确认⊙B与⊙A内切时，OB的长，可得结论．
【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O＝30°，AD＝2，
∴OA＝4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图，
∵BC＝5，
∴OB＝OA+AB＝4+5﹣2＝7；
∴⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是：4＜OB＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆内含和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．
6．(2023春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．内切D．内含
分析：求出AB＝5，根据圆心距＝半径之差，即可判断．
【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB＝＝5，
⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，
∴半径差为：7﹣2＝5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
7．(2023•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
分析：首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．
【解答】解：根据题意两圆内含，
故知r﹣3＞4，
解得r＞7．
故选：D．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
8．(2023春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）
A．12B．11C．10D．9
分析：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．
由题意：，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
9．(2023春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．外切D．相交
分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：∵两圆半径之差＝3﹣2＝1＝圆心距，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：D．
【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．
10．(2023•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
分析：先利用两圆相交的判定方法得到3＜d＜7，再根据“外相交”的定义得到d＞2且d＞5，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交，
∴5﹣2＜d＜5+2，即3＜d＜7，
∵两圆“外相交”，
∴d＞2且d＞5，
∴两圆的圆心距d的取值范围为5＜d＜7．
∴两圆“外相交”时的圆心距d的取值范围是5＜d＜7．
故选C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
11．(2023春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜2
分析：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选：D．
【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．
12．(2023春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含
分析：根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论．
【解答】解：当两圆外切时，切点A能满足AO1＝5，当两圆相交时，交点A能满足AO1＝5，
当两圆内切时，切点A能满足AO1＝5，
所以，两圆相交或相切．
故选：A．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
13．(2023•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．外切D．不能确定
分析：根据勾股定理得到AC＝＝4，根据相似三角形的性质得到BE＝，CD＝，DE＝2，求得CE＝＝＝，于是得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∵AD＝2CD，
∴＝，
∴BE＝，CD＝，DE＝2，
∴CE＝＝＝，
∵BE+CD＝＞，
∴以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交，
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．(2023•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
分析：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5，由勾股定理得AC＝5，由点与圆的位置关系，可得结论．
【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆A的半径为R，
则：AB＝R﹣1，
∵AB＝4，圆B半径为1，
∴R＝5，即圆A的半径等于5，
∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，
∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，
∴点C在圆上，点D在圆内，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
15．(2023•长宁区二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据勾股定理求得AB＝5，两个三角形面积公式求得CD，即可得出⊙C的半径，根据“内相交”的定义得出＜OA＜，即可得出结论．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，
∴CD是⊙C半径，
∵AC•BC＝，即＝•CD，
∴CD＝，
∴⊙C的半径为，
∵4﹣＝，4+＝，
∴＜OA＜，
故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C的半径是解题的关键．
16．(2023•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤5
分析：求得⊙B内切于⊙O时⊙B的半径和⊙O内切于⊙B时⊙B的半径，根据图形即可求得．
【解答】解：如图，当⊙B内切于⊙O时，⊙B的半径为3﹣2＝1，
当⊙O内切于⊙B时，⊙B的半径为3+2＝5，
∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共8小题）
17．(2023•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 2 cm．
分析：利用两圆外切的性质解答即可．
【解答】解：设圆O1的半径是rcm，
∵圆O1与圆O2外切，圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，
∴4+r＝6，
∴r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相切两圆的性质，利用外切两圆的圆心距等于两圆半径之和列出关系式是解题的关键．
18．(2023春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 1.6＜r＜6.4 ．
分析：过C点作CD⊥AB于D点，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，则利用面积法得到OH＝2.4，再根据切线的性质得到OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．
【解答】解：过C点作CD⊥AB于D点，如图，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵OH•AB＝OA•OB，
∴OH＝＝2.4，
∵⊙C与AB相切，
∴OH为⊙的半径，即⊙O的半径为2.4，
∵⊙A与⊙C相交，
∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，
解得1.6＜r＜6.4．
故答案为：1.6＜r＜6.4．
【点评】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．若两圆半径为R、r，圆心距为d，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r（R＞r）．
19．(2023春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 8＜r＜24 ．
分析：过点P作PA⊥OM于点A．根据题意首先判定OM是切线，根据切线的性质得到PA＝8．由角平分线的性质和平行线的性质判定直角△APQ中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到PQ的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得r的取值范围．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥OM于点A．
∵圆P与ON相切，设切点为B，连接PB．
∴PB⊥ON．
∵OP是∠MON的角平分线，
∴PA＝PB．
∴PA是半径，
∴OM是圆P的切线．
∵∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，
∴∠1＝∠2＝15°．
∵PQ∥ON，
∴∠3＝∠2＝15°．
∴∠4＝∠1+∠3＝30°．
∵PA＝8，
∴PQ＝2PA＝16．
∴r最小值＝16﹣8＝8，r最大值＝16+8＝24．
∴r的取值范围是8＜r＜24．
故答案为：8＜r＜24．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，切线的判定与性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
20．(2023春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 2 ．
分析：根据数量关系确定它们的位置关系，再根据位置关系确定交点个数．
【解答】∵一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6，
∴两圆相交，
∴两圆有两个公共点．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是将数量关系转化为位置关系．
21．(2023•杨浦区三模）如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是 ．
分析：由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，
在等边△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC＝2，
∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，
∴PO＝2+BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝，
∵OP2＝OH2+PH2，
∴（2+BP）2＝3+（4﹣1﹣BP）2，
∴BP＝，
故答案为．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．(2023•普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 3 ．
分析：根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，
∴AB＝6﹣2＝4，
过点A作AD⊥BC于D，
则BD＝BC＝3，
由勾股定理得，AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝×6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切⇔d＝R﹣r是解题的关键．
23．(2023•静安区二模）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是 2＜r＜8 ．
分析：根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．
【解答】解：∵两圆相交，
∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，
即2＜r＜8．
故答案为：2＜r＜8．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
24．(2023•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣4，1），（0，5） ．
分析：如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y＝x平行并过点A，
∴过点A的直线与y＝x平行，
∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C
如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，
∴C（﹣4，1），B（0，5）．
故答案为：（﹣4，1），（0，5）
【点评】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决问题的关键．
【能力提升】
一．选择题（共8小题）
1．(2023•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
分析：连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．
【解答】解：连接AD交⊙A于E，如图1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝5，
则DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝7﹣3＝4，
∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2＜r＜4，
即只有选项B符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
2．(2023•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切
C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离
分析：根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
【解答】解：根据题意作图如下：
∴圆A与圆C外切，圆A与圆C外离，圆B与圆C相交，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图象是解题的关键．
3．(2023•普陀区二模）已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外离
分析：根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交．
【解答】解：∵⊙O1的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，
∴⊙O2的半径为15厘米，
∵15﹣10＜15＜15+10，
∴两圆的位置关系是相交，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键．
4．(2023春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外
C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外
分析：求出⊙A的半径为5，根据AD＝3，AC＝5即可作出判断．
【解答】解：如图，连接AC，
∵⊙A与⊙B内切，⊙B的半径为1，AB＝4，
∴⊙A的半径为5，
∵AD＝3，DC＝4，∠D＝90°，
∴AC＝5，
∴点D在⊙A内，点C在⊙A上．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是求出⊙A的半径．
5．(2023春•松江区校级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
分析：根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．(2023•嘉定区三模）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．内含D．外离
分析：求出AB＝5，根据圆心距＝半径之差，即可判断．
【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB＝＝5，
∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，
∴半径差为：7﹣2＝5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
7．(2023•上海模拟）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
分析：根据两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．进行逐一判断即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．解决本题的关键是掌握相交两圆的性质．
8．(2023•闵行区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（ ）
A．0＜AP＜8B．1＜AP＜5C．1＜AP＜7D．4＜AP＜8
分析：先画出图形，假设相切的时候求出AP，结合相交，即可找到答案．
【解答】解：根据题意，画出两圆相切的图，作CD⊥AB于点D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB．
∴CD＝DB＝DA＝4．
当两圆相切时，如图知道：CP＝5，CH＝5．
根据勾股定理可得：PD＝DH＝3．
∴图上有：AP＝1，AH＝7．
如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围为：1＜AP＜7．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形性质，圆与圆的位置关系知识，关键在于利用两圆相切求出AP的长度．属于基础题．
二．填空题（共7小题）
9．(2023春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 0≤d＜2或d＞4 ．
分析：先确定两圆的位置关系再求范围．
【解答】解：∵两圆没有公共点，
∴两圆内含或外离．
当两圆内含时，0≤d＜3﹣1＝2，即0≤d＜2，
当两圆外离时，d＞1+3＝4，
∴d的取值范围是：0≤d＜2或d＞4．
故答案为：0≤d＜2或d＞4．
【点评】本题考查两圆的位置关系，掌握各位置关系的条件是求解本题的关键．
10．(2023春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 2或4 cm．
分析：利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．
【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，
∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；
又∵AB＝4厘米，
∴AD＝2厘米，
∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；
在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，
∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；
同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．
故答案是：4或2；
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．
11．(2023•浦东新区模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，那么圆O的半径r的取值范围是 3＜r＜7 ．
分析：作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OA，求出OB和OC，再根据两圆相交得出答案即可．
【解答】解：如图，作直线OA，交⊙A于B，C，过A作AM⊥x轴于M，
∵点A的坐标为（3，4），
∴AM＝4，OM＝3，
由勾股定理得：OA＝＝5，
∵⊙A的半径是2，
∴OB＝5﹣2＝3，OC＝5+2＝7，
∵以2为半径的圆A与以r为半径的圆O相交，
∴3＜r＜7，
故答案为：3＜r＜7．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等知识点，能熟记圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
12．(2023•浦东新区校级二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是 d＞8或0≤d＜2 ．
分析：根据两圆没有交点，得到两圆的位置关系为外离或内含，确定出d的范围即可．
【解答】解：∵两圆半径分别为3和5，圆心距为d，且两圆没有交点，
∴两圆外离或内含，
∴d＞3+5或0≤d＜5﹣3，
解得：d＞8或0≤d＜2．
故答案为：d＞8或0≤d＜2．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，弄清圆与圆的位置关系与d，R，r之间的关系是解本题的关键．
13．(2023•浦东新区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是 4＜r＜10 ．
分析：根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝10，
∵点B在⊙A上，
∴⊙A的半径是6，
设⊙A交AC于D，则AD＝6，CD＝10﹣6＝4，
∵点A在⊙C外，
∴⊙C的半径小于10，
即r的取值范围是4＜r＜10，
故答案为：4＜r＜10．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出两圆的半径是解此题的关键．
14．(2023春•徐汇区校级月考）若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21＝0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 内含 ．
分析：由两圆的半径分别是方程4x2﹣20x+21＝0的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为1.5，即可求得这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵4x2﹣20x+21＝0，
∴（2x﹣3）（2x﹣7）＝0，
解得：x1＝1.5，x2＝3.5，
∴两圆的半径分别是1.5，3.5，
∵两圆的圆心距等于1.5，
∴这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为内含．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
15．(2023春•静安区校级月考）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 1.5或4.5 ．
分析：根据两圆内切时圆心距＝两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．
【解答】解：设⊙O半径是R，根据题意，分两种情况：
①如图1，OA＝5﹣R，OB＝R﹣1，
∵OA＝AB+OB，
∴5﹣R＝3+R﹣1，
解得R＝1.5；
②如图2，OA＝5﹣R，OB＝R﹣1，
∵OA＝OB﹣AB，
∴5﹣R＝R﹣1﹣3，
解得R＝4.5．
故答案为1.5或4.5．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P；外离P＞R+r；外切P＝R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P＝R﹣r；内含P＜R﹣r．
三．解答题（共2小题）
16．(2023•宝山区二模）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
求：（1）求的值；
（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值．
分析：（1）根据垂径定理得出AD＝AB，AE＝AC，即可求出答案；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出∠OBA＝∠PCA，求出△OOA∽△CPA，根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，OD过O，PE过P，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∴；
（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP，
∵OB＝OA，PA＝PC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠PAC＝∠PCA，
即∠OBA＝∠PCA，∠BAO＝∠PAC，
∴△OOA∽△CPA，
∴＝，
∵⊙O和⊙P的半径比为3：5，即＝，
∴＝．
【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
17．(2023秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．
（1）求证：O1A∥O2B；
（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．
分析：（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；
（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值．
【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，
又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，
∴O1O2经过点T．
∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．
∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．
∵∠O1TA＝∠O2TB，
∴∠A＝∠B．
∴O1A∥O2B；
（2）∵O1A∥O2B，
∴．
∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，
∴，
解得：．
【点评】此题考查了相切两圆的性质，平行线的判定与性质，作出相应的辅助线是解本题的关键．
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