初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数练习

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数练习，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：
1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ）
A． B．C．D．
2．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA=B．sinA=C．sinA=D．sinA=
3．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
5．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，则sinA的值是（ ）
A． B．C．D．2
7．已知，，且 ，则sinA与的关系为 ( )
A． B． C． D．不确定
8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC等于( )
A．3∶4B．4∶3C．3∶5D．4∶5
二、填空题：
9．如图，在 中，．（1）斜边 ________________ ；（2） 的对边 ________________；（3） 的邻边 ________________；（4） ________________．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．
11．已知（为锐角），满足方程，则________．
12．中，，，，则____．
13．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____．
14．如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为______．
三、解答题：
15．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）
16．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．
17．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：．

18．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O的切线DE，交AC于点E．
(1)证明：DE⊥AC；
(2)连接OE，当，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．
提升篇
1．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为( )．
A．B．C．D．
3．如图，中，，若，则sin________
4．如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．
5．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则___________．
6．如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．
（1）求证：EF是的切线；
（2）若AE-3，，求的半径．
28.1.1 正弦
基础篇
一、单选题：
1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，
在中，
故A、B不符合题意；
在中，，
故C符合题意；
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA=B．sinA=C．sinA=D．sinA=
【答案】B
【详解】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．

点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
3．已知在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
4．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
5．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.
【详解】∵在中，，的正弦值是，
∴sinA==，
∴，
故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.
6．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，则sinA的值是（ ）
A． B．C．D．2
【答案】C
【分析】设BC=x，可得AC=2x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=x，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．
【详解】解：由AC=2BC，设BC=x，则AC=2x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=.
因此，sinA=．
故选：C.
【点睛】本题已知直角三角形的两条直角边的关系，求角A的正弦之值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．
7．已知，，且 ，则sinA
与的关系为 ( )
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】根据，可得，再根据三角函数值只与角的大小有关即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC等于( )
A．3∶4B．4∶3C．3∶5D．4∶5
【答案】A
【详解】
，设a=3x，则c=5x，
∴，
∴b=4x，

故选A.
二、填空题：
9．如图，在 中，．（1）斜边 ________________ ；（2） 的对边 ________________；（3） 的邻边 ________________；（4） ________________．
【答案】 c b a
【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可．
【详解】（1）直角三角形的斜边为最长边c
（2）∠B的对边是∠B正对的边b
（3）∠B的邻边是a，
（4）∠B的对边比斜边即等于b÷c=
故答案为①c②b③a④
【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝_________________．
【答案】
【分析】运用三角函数定义求解．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10，
∴sinA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．
正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝对边：斜边．
11．已知（为锐角），满足方程，则________．
【答案】
【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题．
【详解】
（为锐角），
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．中，，，，则____．
【答案】6.5
【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，
∴，
∴AB=6.5．
故答案为6.5．
【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．
13．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____．
【答案】12
【分析】由sinB＝得AC＝ABsinB，据此可得．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝，
∴AC＝ABsinB＝15×＝12，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义.
14．如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，，则的值为______．
【答案】
【分析】由题意可知为直角三角形斜边上的中线即可求出，再利用锐角三角函数即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，点D为边的中点，，
∴，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握直线三角形斜边上中线的特点以及锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．
三、解答题：
15．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）
【答案】．
【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得．
【详解】解：如图，分别作，垂足分别为，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．
【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）.
【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝，则，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；
（2）由于，3c＝a＋3b，消去a得，变形为（4c−5b）（c−b）＝0，则b＝，a＝，根据正弦的定义得sinA＝，sinB＝ ，所以sinA＋sinB＝，然后把b＝，a＝代入计算即可．
【详解】解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，
根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b
∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，
∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，
∴4c＝5b，即b＝c，
∴a＝3c﹣3b＝c
∵sinA＝，sinB＝，
∴sinA+sinB＝．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△＝：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．
17．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：．

【答案】见解析.
【分析】首先得出利用已知得出△BDF∽△ABE，进而得出∠BAD=∠C，则sin∠C=sin∠BAD==，即可得出答案．
【详解】证明：∵∠B的平分线BE交AC于E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠BDF=∠BAE，
∴△BDF∽△ABE，
∴=，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴sin∠C=sin∠BAD==，
∴．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出sin∠C=sin∠BAD是解题关键．
18．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O的切线DE，交AC于点E．
(1)证明：DE⊥AC；
(2)连接OE，当，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，进而可得∠A＝∠ODB，可得ODAC，即可证明结论；
（2）连接CD，证明∠CDE＝∠ABC，由得，设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝4x，根据S△OCE＝6可求出x的值，可得CD的长，由可得BC的长，即可得⊙O的半径．
（1）
证明：如图1，连接OD，则OD为⊙O的半径，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AC＝BC，
∴∠OBD＝∠A，
∴∠A＝∠ODB，
∴ODAC，
∴∠DEC＝180°－∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
（2）
解：连接CD，如图2，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠EDA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠A＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴，
设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝＝4x，
∵S△OCE＝CE•DE＝6＝6，
∴x＝1或x＝﹣1（不合题意，舍去），
∴x＝1，
∴CD＝5，
∵，
∴BC＝，
∴⊙O的半径为．
【点睛】此题主要考查了圆的切线的性质定理、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
提升篇
1．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，从而可的正弦值．
【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点，
在中，
∵，，，
∴由勾股定理可知：
，
同理，在中，
由勾股定理可知：，
设，
则在中，
由勾股定理可知：；
同理，在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
2．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质，得，，由勾股定理得，进而得，设，则，根据勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案．
【详解】∵四边形为矩形，∴，．
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
∵在中，，
∴，
设，则，
∵在中， ，
∴，解得：，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质以及勾股定理和正弦三角函数的定义，掌握勾股定理，列方程，是解题的关键．
3．如图，中，，若，则sin________
【答案】##
【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，进而可得，即可在Rt求出sin．
【详解】解：如图，过点作于点，
在Rt中，sinsin
故答案为：
【点睛】此题考查等腰三角形的性质和正弦函数的定义，掌握在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sin是解题关键．
4．如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
过点B作BC⊥OA于点C．
由勾股定理，得AO=，BO=，
∵=AB×OE=AO×BC，
∴BC= =，
∴sin∠AOB= =．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键．
5．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则___________．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．
（1）求证：EF是的切线；
（2）若AE-3，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，AD，由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠DAB，∠ADO=∠DAB，由直角三角形的性质可得出EF⊥OD，则可得出结论；
（2）设EF=4k，AF=5k（k＞0），则AE=3k，求出k=1，证明△FOD∽△FAE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，AD
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴是的切线
（2）在中，
∴
∵
∴设，（），解得
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
解得：
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定．