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2023-2024学年数学八年级平行四边形单元测试试题（青岛版）基础卷一含解析
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2023-2024学年数学八年级平行四边形试题（青岛版） 单元测试 基础卷一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（本题3分）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ） A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 2．（本题3分）菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等 4．（本题3分）已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列命题为假命题的是（ ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合 C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7．（本题3分）如图，中，，，平分交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 9．（本题3分）如图所示，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，则的长是( ) A． B． C． D． 10．（本题3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A． B． C． D． 11．（本题3分）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线 ． 12．（本题3分）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ． 13．（本题3分）如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ． 14．（本题3分）在平行四边形中，若，则的度数是 °． 15．（本题3分）如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，则的长是 ． 16．（本题3分）如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 17．（本题3分）如图，在菱形中，对角线相交于点，且，，则菱形的面积是 ． 18．（本题3分）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ． 19．（本题8分）如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 20．（本题8分）如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 21．（本题8分）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（本题10分）如图，四边形中，，对角线交于点，且．求证：四边形是平行四边形． 23．（本题10分）在四边形中，，，，，垂足分别为点，．试说明． 24．（本题10分）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 25．（本题12分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，． (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 评卷人得分一、单选题（共30分）评卷人得分二、填空题（共24分）评卷人得分三、解答题（共66分）参考答案： 1．C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可． 【详解】解：延长，交，于点G，H， ∵，， ∴四边形，，为平行四边形， ∴，， ∴图形的周长为， ∴需要知道的长即可， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了求菱形的面积，正确理解菱形的面积求法是解答本题的关键．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.．根据菱形面积的求法，即得答案． 【详解】因为菱形的对角线的长分别是5和8， 所以菱形的面积为． 故选B． 3．B 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答． 【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 故选：B． 4．D 【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， 能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即， 故选D． 5．D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解是解题的关键． 【详解】解：由题可得是直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：， ∵， ∴， ∴点到点的距离是， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意； B、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意； C、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意； D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握根据等角对等边证明边相等． 结合角平分线的定义和平行线性质可得，等角对等边证明，最后根据即可求解． 【详解】解：平分， ， 中，， ， ， ， ． 故选：． 8．C 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理． 利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由作法得平分， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， , ， ， 是直角三角形，即, , ． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 11．5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵直角的斜边， ∴斜边上的中线， 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 13．菱形 【分析】此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答． 【详解】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分， 故将①展开后得到的平面图形是菱形． 故答案为：菱形． 14． 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等求出，进而求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：140． 15．9 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形和折叠的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，沿直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 16． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 17．24 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】∵菱形中，对角线相交于点，且，， ∴菱形的面积是， 故答案为：24． 18．7.8 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性质求证出四边形是矩形，然后求得，所以是等腰三角形． 【详解】证明：∵是矩形， ∴, ∵， 四边形是平行四边形． ． 四边形是矩形， ． ． 是等腰三角形． 20．见解析 【分析】由矩形的性质，得出，，，再由等腰三角形的性质得到，进而推出结论． 【详解】四边形矩形， ∴，，， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记相关内容是解题关键． 22．证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明是解题的关键．证明，得，即可得出结论． 【详解】证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质．平行四边形的两组对边分别相等可知，可知，，由角角边定理可证明三角形全等，据此可证明． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ． 又，， ， ， ∴． 24．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论； （）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解； 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 25．(1)证明见解析 (2) (3)或，证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，利用中点求出，进而得，然后根据三角形内角和得出结论； （2）根据含的直角三角形的性质，及中线性质，证为等边三角形，在证，根据折叠得； （3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论． 【详解】（1）沿直线翻折得到， ， 是的边上的中线， ， ， ， ， 是直角三角形． （2），， ， ， 是的边上的中线， ， ， 为等边三角形， 沿直线翻折得到， ，， ， （3）①当时， 是的边上的中线， ， ②如图，当时 ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 是的边上的中线， ， ； ③如图当时， ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
2023-2024学年数学八年级平行四边形试题（青岛版） 单元测试 基础卷一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（本题3分）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ） A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和 2．（本题3分）菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等 4．（本题3分）已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列命题为假命题的是（ ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合 C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7．（本题3分）如图，中，，，平分交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A．5 B． C． D． 9．（本题3分）如图所示，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，则的长是( ) A． B． C． D． 10．（本题3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A． B． C． D． 11．（本题3分）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线 ． 12．（本题3分）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ． 13．（本题3分）如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ． 14．（本题3分）在平行四边形中，若，则的度数是 °． 15．（本题3分）如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，则的长是 ． 16．（本题3分）如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 17．（本题3分）如图，在菱形中，对角线相交于点，且，，则菱形的面积是 ． 18．（本题3分）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ． 19．（本题8分）如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 20．（本题8分）如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形． 21．（本题8分）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．（本题10分）如图，四边形中，，对角线交于点，且．求证：四边形是平行四边形． 23．（本题10分）在四边形中，，，，，垂足分别为点，．试说明． 24．（本题10分）如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 25．（本题12分）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，． (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 评卷人得分一、单选题（共30分）评卷人得分二、填空题（共24分）评卷人得分三、解答题（共66分）参考答案： 1．C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可． 【详解】解：延长，交，于点G，H， ∵，， ∴四边形，，为平行四边形， ∴，， ∴图形的周长为， ∴需要知道的长即可， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了求菱形的面积，正确理解菱形的面积求法是解答本题的关键．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.．根据菱形面积的求法，即得答案． 【详解】因为菱形的对角线的长分别是5和8， 所以菱形的面积为． 故选B． 3．B 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答． 【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 故选：B． 4．D 【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， 能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即， 故选D． 5．D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解是解题的关键． 【详解】解：由题可得是直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：， ∵， ∴， ∴点到点的距离是， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意； B、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意； C、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意； D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握根据等角对等边证明边相等． 结合角平分线的定义和平行线性质可得，等角对等边证明，最后根据即可求解． 【详解】解：平分， ， 中，， ， ， ， ． 故选：． 8．C 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理． 利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由作法得平分， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， , ， ， 是直角三角形，即, , ． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 11．5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵直角的斜边， ∴斜边上的中线， 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 13．菱形 【分析】此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答． 【详解】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分， 故将①展开后得到的平面图形是菱形． 故答案为：菱形． 14． 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等求出，进而求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：140． 15．9 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形和折叠的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，沿直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 16． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 17．24 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】∵菱形中，对角线相交于点，且，， ∴菱形的面积是， 故答案为：24． 18．7.8 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性质求证出四边形是矩形，然后求得，所以是等腰三角形． 【详解】证明：∵是矩形， ∴, ∵， 四边形是平行四边形． ． 四边形是矩形， ． ． 是等腰三角形． 20．见解析 【分析】由矩形的性质，得出，，，再由等腰三角形的性质得到，进而推出结论． 【详解】四边形矩形， ∴，，， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记相关内容是解题关键． 22．证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明是解题的关键．证明，得，即可得出结论． 【详解】证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质．平行四边形的两组对边分别相等可知，可知，，由角角边定理可证明三角形全等，据此可证明． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ． 又，， ， ， ∴． 24．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论； （）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解； 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 25．(1)证明见解析 (2) (3)或，证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，利用中点求出，进而得，然后根据三角形内角和得出结论； （2）根据含的直角三角形的性质，及中线性质，证为等边三角形，在证，根据折叠得； （3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论． 【详解】（1）沿直线翻折得到， ， 是的边上的中线， ， ， ， ， 是直角三角形． （2），， ， ， 是的边上的中线， ， ， 为等边三角形， 沿直线翻折得到， ，， ， （3）①当时， 是的边上的中线， ， ②如图，当时 ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 是的边上的中线， ， ； ③如图当时， ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
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