北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件优秀练习

这是一份北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件优秀练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD=12，CD=5，则ED的长度是( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
2.如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是
( )
A. ∠B=∠C
B. ∠AEB=∠ADC
C. AE=AD
D. BE=DC
3.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件，不能使△ABC≌△DCB的是
( )
A. AC=DBB. AB=DCC. ∠A=∠DD. ∠1=∠2
4.如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE，则下列结论错误的是( )
A. ∠A=∠DB. ∠B=∠EC. AB=DED. CD=CE
5.如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为( )
A. 44°
B. 66°
C. 88°
D. 92°
6.在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是( )
A. 图1和图2B. 图1和图3C. 图3D. 图2和图3
7.如图，已知∠1=∠4，添加以下条件，不能判定△ABC≌△CDA的是( )
A. ∠2=∠3
B. ∠B=∠D
C. BC=DA
D. AB=DC
8.如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC=CE，垂足为C，连接BE，若BC=6，则△BCE的面积为( )
A. 92B. 9C. 18D. 36
9.如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为( )
A. 40B. 46C. 48D. 50
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点D是线段AB的中点，将一块锐角为45°的直角三角板△ADE按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，CE与AB交于点F.下列判断正确的有( )
①△ACE≌△DBE；
②BE⊥CE；
③△ADE与△ACE的面积相等．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可)
12.如图，AF=DC，BC/​/EF，只需补充一个条件__________________，就得△ABC≌△DEF．
13.如图所示，▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，BC=12cm，直线l经过点C.点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作MD⊥l于点D，NE⊥l于点E.设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为_______．
14.如图，AB=7cm，∠CAB=∠DBA=60°，AC=5cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动当点PO运动到某处时有△ACP与△BPQ全等，则Q的运动速度是______cm/s．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：AB=BF．
16.(本小题8分)
如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AB // CD，O是BD的中点．
(1)说明：△ABO≌△CDO；
(2)若BC=AC=4，BD=6，求△BOC的周长．
17.(本小题8分)
如图，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1=∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由．
18.(本小题8分)
已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA // FB，EA=FB，AB=CD．
(1)试说明：∠E=∠F；
(2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：四边形EBCD是等腰梯形．
20.(本小题8分)
如图，点A，B，D，E在同一直线上，AC=EF，AC/​/EF，∠C=∠F．
(1)求证：△ABC≌△EDF；
(2)若AD=6，BD=2，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】[分析]
易证∠CAD=∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CE=AD，根据DE=AD−CD，即可解题．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、HL等)和性质(全等三角形的对应边、对应角相等)是解题的关键．
[详解]
解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，又∠CDA=∠BEC=90°,
在△CDA和△BEC中，
∠CDA=∠BEC∠CAD=∠BCEAC=CB,
∴△CDA≌△BEC(AAS)，
∴CE=AD，
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−CD，
∵AD=12，CD=5，
∴DE=12−5=7．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】[分析]
本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.已知AB=AC，∠A是公共角，根据选项逐一进行分析即可得．
[详解]
解：A、添加∠B=∠C可利用ASA证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠AEB=∠ADC可利用AAS证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加AE=AD可利用SAS证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加EB=DC不能证明△ABE≌△ACD，故此选项符合题意，
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法有关知识，本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC=CB，∠ABC=∠DCB，具备了一组边一组角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】
解：A.添加AC=DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故符合题意；
B.添加AB=DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故不符合题意；
C.添加∠A=∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故不符合题意；
D.添加∠1=∠2，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故不符合题意．
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质．
证明△DCE≌△ACB(SAS)可得∠A=∠D， ∠B=∠E， AB=DE，无法得到CD=CE，即可得解．
【解答】
解：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
即∠DCE=∠ACB，
在△DCE和△ACB中
DC=AC∠DCE=∠ACBEC=BC
∴△DCE≌△ACB(SAS)
∴∠A=∠D， ∠B=∠E， AB=DE，
无法得到CD=CE，
故选项D错误．
5.【答案】D
【解析】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=92°，
故选：D．
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】根据角平分线的作法即可进行判断．
解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，根据作法可知：
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
AF=AE∠MAF=∠NAEAM=AN，
∴△AMF≌△ANE(SAS)，
∴∠AMD=∠AND，
∵∠MDE=∠NDF，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
∠MDE=∠NDF∠AMD=∠ANDME=NF，
∴△MDE≌△NDF(AAS)，
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
在图3中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
故选：A．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵在△ABC和△CDA中
∠1=∠4AC=CA∠3=∠2，
∴△ABC≌△CDA(ASA)，故本选项不符合题意；
B、∵在△ABC和△CDA中
∠1=∠4∠B=∠DAC=CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC和△CDA中
BC=DA∠1=∠4AC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，故本选项不符合题意；
D、根据AB=DC，AC=AC和∠1=∠4不能推出△ABC≌△CDA，故本选项符合题意；
故选：D．
全等三角形的判定有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8.【答案】B
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BH=HC，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACH+∠ECF=90°，
∵∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠ECF=∠CAH，
在△ACH与△CEF中，
∠AHC=∠CFE=90°∠CAH=∠ECFAC=CE，
∴△ACH≌△CEF(AAS)，
∴EF=CH=12BC=3，
∴△BCE的面积=12BC⋅EF=12×6×3=9，
故选：B．
过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出AF=AD，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
求出∠ABD=∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD=AF，得出AB=AC=2AD=2AF，求出AF、AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于12BF·AC，代入求出即可．
【解答】
解：∵CE⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
∠BAD=∠CAFAB=AC∠ABD=∠ACF，
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=12，
∴3AF=12，
∴AF=4，
∴AB=AC=2AF=8，
∴△FBC的面积是12BF·AC=12×12×8=48．
故选C．
10.【答案】D
【解析】解：①∵点D是线段AB的中点，
∴BD=AD=12AB，
∵AB=2AC，
∴AC=12AB，
∴BD=AC，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE，∠EDA=∠EAD=45°，
∴∠EDB=180°−45°=135°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC=∠BAC+∠EAD=135°，
在△ACE和△DBE中，
DE=AE∠EDB=∠EACBD=AC，
∴△ACE≌△DBE(SAS)，故①正确，符合题意；
②∵△ACE≌△DBE(SAS)，
∴∠AEC=∠DEB，
∵∠AED=∠AEC+∠DEF=90°，
∴∠BEC=∠DEB+∠DEF=90°，
即BE⊥CE，故②正确，符合题意；
③∵△ACE≌△DBE(SAS)，
∴S△ACE=S△DBE，
∵BD=AD，
∴S△ADE=S△DBE，
∴S△ADE=S△ACE，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
①根据点D是线段AB的中点，得出BD=AD=12AB，根据等腰直角三角形的性质，推出DE=AE，∠EDB=∠EAC=135°，即可求证△ACE≌△DBE(SAS)；②根据全等的性质得出∠AEC=∠DEB，推出∠BEC=∠DEB+∠DEF=90°，即BE⊥CE；③根据全等的性质得出S△ACE=S△DBE，根据三角形中线的性质得出S△ADE=S△DBE，则S△ADE=S△ACE．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，对应边相等，面积相等；三角形中线将三角形面积平均分为两份．
11.【答案】AD=AC(答案不唯一)
【解析】【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【解答】
解：∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，
∴当添加AD=AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D=∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD=∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
当添加∠DBE=∠CBE时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD=AC(答案不唯一)．
12.【答案】BC=EF或者∠A=∠D或者∠B=∠E或者AB/​/ED
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC/​/EF可得∠ACB=∠DFE，然后再加上条件BC=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；加上条件∠A=∠D，可利用ASA定理证明△ABC≌△DEF；加上条件∠B=∠E，可利用AAS定理证明△ABC≌△DEF；加上条件AB/​/ED可得∠A=∠D，可利用ASA定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】
解：∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC/​/EF，
∴∠DFE=∠ACB，
补充条件BC=EF，
∵在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠EFC=∠BCFAC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
补充条件∠A=∠D，
∵在△ABC和△DEF中，
∠A=∠DAC=DF∠ACB=∠DFE,
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
补充条件∠B=∠E，
∵在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E∠ACB=∠DFEAC=DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
补充条件AB/​/ED，
则∠A=∠D，进而可得△ABC≌△DEF(ASA)．
故答案为BC=EF或者∠A=∠D或者∠B=∠E或者AB/​/ED．
13.【答案】 173 或7或10
【解析】【分析】
本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键．
分 0≤t≤5 ， 5【解答】
解：∵ AC=5cm ， BC=12cm ，
M 从 B 运动到 C 需要： 12÷2=6s ，从 C 运动到 A 需要： 5÷2=2.5s ，
∴ M 运动的总时间为： 8.5s ，
N 从 A 运动到 C 需要： 5÷1=5s ，从 C 运动到 B 需要： 12÷1=12s ，
∴ N 运动的总时间为： 17s ，
∴当 0≤t≤5 时： MC=12−2t ， CN=5−t ，
∵ MD⊥l ， NE⊥l ，
∴ ∠MDC=∠NEC=90∘ ，
∵ ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠MCD+∠NCE=∠MCD+∠CMD ，
∴ ∠NCE=∠CMD ，
∴当 MC=NC 时： ▵MDC≌▵CENAAS ，
即： 12−2t=5−t ，
∴ t=7 (不合题意，舍去)；
当： 5当 M,N 重合时，，即： CM=CN ， ▵MDC≌▵CEN ，
∴ 12−2t=t−5 ，解得： t=173 ；
当： 6∵ ∠MDC=∠NEC=90∘ ， ∠NCE=∠CMD=90∘−∠MCD ，
∴当 MC=NC 时： ▵MDC≌▵CENAAS ，
即： 2t−12=t−5 ，解得： t=7 ；
当： 8.5∵ ∠MDC=∠NEC=90∘ ， ∠NCE=∠CMD=90∘−∠MCD ，
∴当 MC=NC 时： ▵MDC≌▵CENAAS ，
即： 5=t−5 ，解得： t=10 ；
综上：当 t 的值为 173 或7或10．
故答案为： 173 或7或10．
14.【答案】2或207
【解析】解：设点Q在射线BD上运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t s，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7−2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt，2t=7−2t
解得：x=207，t=74．
综上，Q的运动速度是2cm/s或207cm/s，
故答案为：2或207．
分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，解决此题的关键是注意分类讨论．
15.【答案】证明：∵EF⊥AC，∴∠F+∠C=90∘．∵∠A+∠C=90∘，∴∠A=∠F.在△FBD和△ABC中，{∠A=∠F,∠FBD=∠ABC=90∘,BD=BC,∴△FBD≌△ABC(AAS),∴AB=BF．
【解析】略
16.【答案】解：(1)证明：因为AB // CD，
所以∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
又因为O是DB的中点，
所以BO=DO．
在△ABO和△CDO中，{∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDOBO=DO
所以△ABO≌△CDO(AAS)．
(2)因为△ABO≌△CDO，
所以AO=CO=12AC=2．
因为BO=12BD=3，
所以△BOC的周长为BC+BO+OC=4+3+2=9．
【解析】略
17.【答案】解：AC=BD．
理由：∵AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，
∴∠CAB=2∠1，∠DBA=2∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DBA．
在△ABC和△BAD中，
{∠2=∠1AB=BA∠CAB=∠DBA
∴△ABC≌△BAD(ASA)，
∴AC=BD．

【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；证明三角形全等是解题的关键．
由∠1=∠2，根据角平分线的定义得出∠CAB=∠DBA，由ASA证明△ABC≌△BAD，得出对应边相等即可．
18.【答案】解：(1)证明：因为EA // FB，
所以∠A=∠FBD．
因为AB=CD，
所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD．
在△EAC和△FBD中，
{EA=FB∠A=∠FBDAC=BD
所以△EAC≌△FBD(SAS)．
所以∠E=∠F．
(2)因为△EAC≌△FBD，
所以∠ECA=∠D=80°．
因为∠A=40°，
所以∠E=180°−∠A−∠ECA=60°．
【解析】略
19.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠BCE=12∠ABC，
在△EBC与△DCB中，
∵∠ABC=∠ACBBC=CB∠BCE=∠DBC，
∴△EBC≌△DCB(ASA)，
∴BE=CD．
∴AB−BE=AC−CD，即AE=AD．
∴AEAB=ADAC，且∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ED/​/BC，
∴∠ABC=∠AED=180°−∠A2，
又∵EB与DC交于点A，
即EB与DC不平行，
∴四边形EBCD是梯形，
∵BE=DC，
∴梯形EBCD是等腰梯形．
【解析】可以先利用全等三角形的判定△EBC≌△DCB，得出BE=CD，再证明四边形EBCD是梯形，这样就得到了四边形EBCD是等腰梯形．
此题主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况，与此同时也考查到了全等三角形的判定方法，做题将两者结合并灵活运用有利于解此题．
20.【答案】(1)证明：∵AC/​/EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中，
∠A=∠EAC=EF∠C=∠F，
∴△ABC≌△EDF(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△EDF，
∴AB=DE，
∴AB+BD=BD+DE，即AD=BE，
∵AD=6，BD=2，
∴AB=AD−BD=6−2=4，
∴DE=4，
∴AE=AD+DE=6+4=10．
【解析】(1)根据ASA即可证明：△ABC≌△EDF；
(2)由(1)可知AB=DE=4，再利用AE=AD+DE即可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．