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【专项练习】全套专题数学八年级上册专题04 勾股定理的应用（解析版）
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这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册专题04 勾股定理的应用（解析版），共23页。
勾股定理的应用 华师版数学八年级上册期末考试，通常用“勾股定理的应用”，作为解答题的第四题。关键是从实际问题中抽象出直角三角形，或将非直角三角形转化为直角三角形。 1．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1)50cm；(2)300cm 【详解】（1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 cm 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 2．如图，两个村子在河的同侧，两村到河的距离分别为，，．现在河边建一水厂分别向两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米． (1)请你在河边上作出水厂位置，使铺设水管的费用最省； (2)求出铺设水管的总费用． 【答案】(1)见解析；(2)100000元 【详解】（1）如图所示，点O就是建水厂的位置， （2）∵，，， ∴，， ， 铺设水管长度为：， ∵铺设水管的工程费用为每千米20000元， ∴铺设水管的总费用为：元． 3．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米；(2)他应该往回收线7米 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 4．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为13米． 【详解】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为13米． 5．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵O是的中点 ∴ ∵ ∴； （2）设，则． ∵， 尺寸 ∴ 解得： ∴． 6．一台拖拉机沿公路以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，m，m，m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响． (1)学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？ (2)学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？ 【答案】(1)学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由如下： ∵m，m，m， ∴， ∴为直角三角形， 过点作交于点， 则：， 即：， ∴， ∴学校C会受到拖拉机的噪音影响． （2）解：设在点左右两侧各有一个，使， 如图所示： 则当拖拉机到达点时，学校开始受到影响，当拖拉机离开点时，学校开始不受影响， ∵， ∴， ∴学校受到影响的时间为：． 答：学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有． 7．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E点应建在距A站10千米处． 【详解】解：设， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得, ∴， 解得． ∴E点应建在距A站10千米处． 8．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问:发生火灾的住户窗口距离地面的高度是多少? 【答案】15米 【详解】解：过点A作，垂足为C，如图所示： 由题意可知：米，米，米； 在中，根据勾股定理，得， 即， ∴， （米）， （米）． 答:发生火灾的住户窗口距离地面的高度为15米． 9．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】该材料符合设计要求，理由见解析 【详解】解：该材料符合设计要求，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该材料符合设计要求． 10．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速？ 【答案】小汽车已超速行驶． 【详解】解：根据题意，得米，米，， 在中，根据勾股定理，(米)， 80米千米， 4秒小时， ， 所以小汽车已超速行驶． 11．如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米． 【答案】船向岸边移动了米 【详解】解：在中： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：船向岸边移动了米． 12．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 13．有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是、、的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由． 【答案】能放得进去；理由见解析 【详解】解：能放得进去；理由如下：如图所示： 根据已知条件得：，，， 连接、， 在中，， 在中，， 故能放得进去． 14．如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m． (1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度； (2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由题意，为直角三角形， 在中，， ∴的长度为； （2）解：梯子的顶端下滑2m到点时，，， 在中，， ∴， ∴此时的长为． 15．今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 【答案】(1)见解析；(2)海港C受台风影响，理由见解析 【详解】（1），， ， 是直角三角形，． （2）海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， 海港会受台风影响． 16．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】30海里/时 【详解】解：根据题意可知：， （海里）， 在中（海里）， 乙船的航速是：（海里/时）， 答：乙船的航速是海里/时． 17．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，求绿地的面积． 【答案】绿地的面积为96 【详解】解：在中，， ∴， 在中，，，， ∴， 绿地的面积 ， 答：绿地的面积为96． 18．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图．已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高的B处救人后，还要从15m高的D处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【答案】3 【详解】解：由题意得：， ∴， 在中：， 在中：， ∴． ∴消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3米． 19．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（）米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（），且显示距离地面米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程． 【答案】能，无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米，相应计算过程见解析 【详解】能，过程如下： 解：如图所示，作，交于点M交于点N， 由题意可得，，米，米， ∴米，米， 设EN为x米，则ME为米， 在中，， 在中，， 由题意可知，，则， ∴， 解得， 则米， 在中，（米）， ∴米， ∵， ∴（米）， 即无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米． 20．今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离． (1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要8小时； (2)A市受台风影响的时间为小时． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ∴， ∴时间为小时， 即台风中心从B点移到D点需要8小时； （2）解：以A为圆心，以40km为半径画弧，交于P、Q， 则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ∵， ∴， ∴， 时间为(小时)． 即A市受台风影响的时间为小时． 21．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)问这片绿地的面积是多少？ (2)小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？ 【答案】(1)这片绿地的面积是；(2)居民从点到点将少走路程 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，即， ，， ， 答：这片绿地的面积是； （2）解：， 答：居民从点到点将少走路程． 22．漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？ 【答案】半个小时之后，两艘轮船相距10海里 【详解】解：如图所示，设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置． 由题可知，，． 在中，，根据勾股定理得 ∴半个小时之后，两艘轮船相距10海里． 23．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求的长； (2)请说明是直角三角形； (3)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：，， ， ，即是直角三角形， （3）解：需要绿化的空地的面积． 24．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ， 解得：， 即； 市场应建在距的20千米处； ，， 在和中， 可得， ∴， 又 ， ∴， ∴ 又， 是等腰直角三角形． 25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某些原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)是否是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)原路比新路多多少千米？ 【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米 【详解】（1）解：是从村庄C到河边最近的路， 理由：在中，千米，千米，千米， ， 是直角三角形，， ∵垂线段最短， 是从村庄C到河边最近的路； （2）解：， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ∴原路比新路多千米． 26．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 27．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？ 【答案】(1)米；(2)4米 【详解】（1）解：（1）由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解：如图示，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴往回收线的长度是（米）． 28．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． (1)判断是不是直角，并说明理由； (2)求四边形ABCD需要铺的草坪的面积． 【答案】(1)是直角，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：是直角，理由： 连接，如图， ， 在中，，， ， 在中，，．， ， 为直角三角形，． （2）解：由（1）知为直角三角形，， ， ∵， ． 答：四边形需要铺的草坪的面积为. 29．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，． (1)求修建的公路的长； (2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 【答案】(1)修建的公路CD的长为；(2)总路程为 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴修建的公路CD的长为； （2）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ∴， ∴总路程为． 30．如图，在长方体中，点E是棱的中点，已知cm，cm，cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离． 【答案】 【详解】解：将面沿展开，如图所示： ∴ 将面沿展开，如图所示： ∴ 将面沿展开，如图所示： ∴ ∵ ∴小虫爬行的最短距离为．
勾股定理的应用 华师版数学八年级上册期末考试，通常用“勾股定理的应用”，作为解答题的第四题。关键是从实际问题中抽象出直角三角形，或将非直角三角形转化为直角三角形。 1．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1)50cm；(2)300cm 【详解】（1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 cm 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 2．如图，两个村子在河的同侧，两村到河的距离分别为，，．现在河边建一水厂分别向两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米． (1)请你在河边上作出水厂位置，使铺设水管的费用最省； (2)求出铺设水管的总费用． 【答案】(1)见解析；(2)100000元 【详解】（1）如图所示，点O就是建水厂的位置， （2）∵，，， ∴，， ， 铺设水管长度为：， ∵铺设水管的工程费用为每千米20000元， ∴铺设水管的总费用为：元． 3．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米；(2)他应该往回收线7米 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 4．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为13米． 【详解】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为13米． 5．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵O是的中点 ∴ ∵ ∴； （2）设，则． ∵， 尺寸 ∴ 解得： ∴． 6．一台拖拉机沿公路以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，m，m，m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响． (1)学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？ (2)学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？ 【答案】(1)学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由如下： ∵m，m，m， ∴， ∴为直角三角形， 过点作交于点， 则：， 即：， ∴， ∴学校C会受到拖拉机的噪音影响． （2）解：设在点左右两侧各有一个，使， 如图所示： 则当拖拉机到达点时，学校开始受到影响，当拖拉机离开点时，学校开始不受影响， ∵， ∴， ∴学校受到影响的时间为：． 答：学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有． 7．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E点应建在距A站10千米处． 【详解】解：设， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得, ∴， 解得． ∴E点应建在距A站10千米处． 8．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问:发生火灾的住户窗口距离地面的高度是多少? 【答案】15米 【详解】解：过点A作，垂足为C，如图所示： 由题意可知：米，米，米； 在中，根据勾股定理，得， 即， ∴， （米）， （米）． 答:发生火灾的住户窗口距离地面的高度为15米． 9．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】该材料符合设计要求，理由见解析 【详解】解：该材料符合设计要求，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该材料符合设计要求． 10．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速？ 【答案】小汽车已超速行驶． 【详解】解：根据题意，得米，米，， 在中，根据勾股定理，(米)， 80米千米， 4秒小时， ， 所以小汽车已超速行驶． 11．如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米． 【答案】船向岸边移动了米 【详解】解：在中： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：船向岸边移动了米． 12．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 13．有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是、、的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由． 【答案】能放得进去；理由见解析 【详解】解：能放得进去；理由如下：如图所示： 根据已知条件得：，，， 连接、， 在中，， 在中，， 故能放得进去． 14．如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m． (1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度； (2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由题意，为直角三角形， 在中，， ∴的长度为； （2）解：梯子的顶端下滑2m到点时，，， 在中，， ∴， ∴此时的长为． 15．今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 【答案】(1)见解析；(2)海港C受台风影响，理由见解析 【详解】（1），， ， 是直角三角形，． （2）海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， 海港会受台风影响． 16．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】30海里/时 【详解】解：根据题意可知：， （海里）， 在中（海里）， 乙船的航速是：（海里/时）， 答：乙船的航速是海里/时． 17．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，求绿地的面积． 【答案】绿地的面积为96 【详解】解：在中，， ∴， 在中，，，， ∴， 绿地的面积 ， 答：绿地的面积为96． 18．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图．已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高的B处救人后，还要从15m高的D处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【答案】3 【详解】解：由题意得：， ∴， 在中：， 在中：， ∴． ∴消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3米． 19．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（）米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（），且显示距离地面米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程． 【答案】能，无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米，相应计算过程见解析 【详解】能，过程如下： 解：如图所示，作，交于点M交于点N， 由题意可得，，米，米， ∴米，米， 设EN为x米，则ME为米， 在中，， 在中，， 由题意可知，，则， ∴， 解得， 则米， 在中，（米）， ∴米， ∵， ∴（米）， 即无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米． 20．今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离． (1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要8小时； (2)A市受台风影响的时间为小时． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ∴， ∴时间为小时， 即台风中心从B点移到D点需要8小时； （2）解：以A为圆心，以40km为半径画弧，交于P、Q， 则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ∵， ∴， ∴， 时间为(小时)． 即A市受台风影响的时间为小时． 21．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)问这片绿地的面积是多少？ (2)小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？ 【答案】(1)这片绿地的面积是；(2)居民从点到点将少走路程 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，即， ，， ， 答：这片绿地的面积是； （2）解：， 答：居民从点到点将少走路程． 22．漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？ 【答案】半个小时之后，两艘轮船相距10海里 【详解】解：如图所示，设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置． 由题可知，，． 在中，，根据勾股定理得 ∴半个小时之后，两艘轮船相距10海里． 23．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求的长； (2)请说明是直角三角形； (3)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：，， ， ，即是直角三角形， （3）解：需要绿化的空地的面积． 24．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ， 解得：， 即； 市场应建在距的20千米处； ，， 在和中， 可得， ∴， 又 ， ∴， ∴ 又， 是等腰直角三角形． 25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某些原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)是否是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)原路比新路多多少千米？ 【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米 【详解】（1）解：是从村庄C到河边最近的路， 理由：在中，千米，千米，千米， ， 是直角三角形，， ∵垂线段最短， 是从村庄C到河边最近的路； （2）解：， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ∴原路比新路多千米． 26．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 27．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？ 【答案】(1)米；(2)4米 【详解】（1）解：（1）由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解：如图示，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴往回收线的长度是（米）． 28．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． (1)判断是不是直角，并说明理由； (2)求四边形ABCD需要铺的草坪的面积． 【答案】(1)是直角，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：是直角，理由： 连接，如图， ， 在中，，， ， 在中，，．， ， 为直角三角形，． （2）解：由（1）知为直角三角形，， ， ∵， ． 答：四边形需要铺的草坪的面积为. 29．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，． (1)求修建的公路的长； (2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？ 【答案】(1)修建的公路CD的长为；(2)总路程为 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴修建的公路CD的长为； （2）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ∴， ∴总路程为． 30．如图，在长方体中，点E是棱的中点，已知cm，cm，cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离． 【答案】 【详解】解：将面沿展开，如图所示： ∴ 将面沿展开，如图所示： ∴ 将面沿展开，如图所示： ∴ ∵ ∴小虫爬行的最短距离为．
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