【专项练习】全套专题数学八年级上册专题03 全等三角形的证明与计算(解析版)
展开全等三角形的证明与计算 逻辑推理是数学核心素养之一。各地期末考试必考几何推理计算。华师版数学八年级上册期末考试,通常用“全等三角形的证明与计算”,作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题,难度不大。关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。 1.如图,相交于点,,.求证:. 【答案】见解析 【详解】证明:在与△BOC中, , ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在与△BAC中, , ∴. 2.如图,点E在上,于点A,于点B,,. (1)说明的理由;(2)求的度数. 【答案】(1)见详解;(2) 【详解】(1)∵, ∴, ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴DE=CE; (2)∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵DE=CE, ∴△DEC是等腰直角三角形, ∴. 3.如图,△ABC中,,两条高和交于.求证:. 【答案】见解析; 【详解】证明:由题意可得: ∴ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 4.如图,E为上一点,,,.求证:. 【答案】见解析 【详解】证明:∵, ∴, ∵,,, ∴, 在△ABC与, , ∴(AAS), ∴. 5.如图,点,,,在直线上(点,之间不能直接测量),点,在的异侧,,,测得. (1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若,,求的长. 【答案】(1)见解析;(2) 【详解】(1)证明:, , 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF (ASA); (2)解:∵△ABC≌△DEF, , , , . 6.如图、已知在同一条直线上,,,,相交于点. 求证:(1);(2)若,,求的度数. 【答案】(1)见解析;(2) 【详解】(1)解:∵, ∴, ∵, ∴,即, 在△ABC与△DEF中, , ∴△ABC≌△DEF (SAS); (2)∵, ∴,, ∴. 7.如图所示,,,.求证:. 【答案】见解析 【详解】解:, ,即, 在和中, , , .(全等三角形的对应角相等) 8.如图,,,,求证:. 【答案】见解析 【详解】解:∵, ∴即 又∵ ∴, 在和中 , ∴, ∴. 9.如图,已知点,,,在一条直线上,,,且. (1)求证:△ABC≌;(2)若,,求的长 【答案】(1)证明见解析;(2)9 【详解】(1)证明:∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ (2)由题意可得: 10.如图,为了测量凹槽的宽度,把一块等腰直角三角板放置在凹槽内,三个顶点分别落在凹槽内壁上,若,测得,,则该凹槽的宽度的长. 【答案】该凹槽的宽度的长为 【详解】解:是等腰直角三角形,,, , , , , 在和中, , , ,, . 故该凹槽的宽度的长为. 11.如图,P为等边的边延长线上一点,,. (1)说明的理由;(2)判别是什么特殊三角形?并说明理由. 【答案】(1)见详解;(2)是等边三角形,理由见详解 【详解】(1)∵是等边三角形, ∴,, ∵, ∴, ∵,, ∴; (2)是等边三角形,理由如下: ∵, ∴,, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴是等边三角形. 12.如图,,相交于点O,且,. (1)求证:;(2)若在直线上截取,求证:. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】(1)∵, ∴. ∵,, ∴. ∴; (2)∵,, ∴,即. ∵,且在(1)中,有, ∴, ∴. ∴. 13.如图,为上任意一点,且,. (1)求证:△BPC≌;(2)求证:. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】(1)证明:在和中, ∴() (2)∵ ∴ 在和中, ∴() 14.已知:如图,△ABC中,平分交于点,且平分,联结并延长交边于点,说明的理由. 【答案】见解析 【详解】解:∵, ∴, ∵平分, ∴, ∴, ∴, ∵平分, ∴, 在和中, ∴ ∴, ∵, ∴ 15.将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置,图②是由它抽象出的几何图形,B、C、E三点在同一直线上,连接DC. (1)请找出图②中的全等三角形,并说明理由. (2)试问:DC与BE的位置关系如何?并说明理由. 【答案】(1),理由见解析;(2),理由见解析 【详解】(1)解:图2中. 理由如下: ∵与均为等腰直角三角形, ∴,,, ∴,即, ∴在和中, , ; (2). 理由如下: 由(1)知, ∴, 又∵, ∴, ∴. 16.如图,在等边三角形中,点为边上任意一点,延长至点,使,连接交于点,于点,交于点. (1)求证:△AMD是等边三角形;(2)求证:; (3)若AB=a,求线段的长(结果用含a的代数式表示). 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【详解】(1)在等边△ABC中,, ∵, ∴, ∴是等边三角形, (2)∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴ , ∵ ∴ 在 和中, , ∴, ∴; (3)∵是等边三角形,且, ∴, ∵, ∴ , ∴, ∵ , ∴. 17.如图,在等腰直角三角形中,,是斜边上任一点,于,交的延长线于,于,交于. 求证:(1);(2). 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】(1)∵等腰直角三角形 ∴, ∵, ∴ ∵, ∴, 在和中, ∴; (2)是等腰直角三角形,, ,. ,, . ,, . 在和中, , . . 18.如图,在△ABC中,已知,,是的平分线,,垂足是E,和的延长线交于点F. (1)在图中找出与全等的三角形,并证明你的结论;(2)证明:. 【答案】(1),见解析;(2)见解析 【详解】(1)解:,证明如下: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴. (2)∵是的平分线, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴为等腰三角形, ∴, ∵, ∴, ∴. 19.如图,在△ABC中,是的中点,于,于点,且,求证:平分. 【答案】见解析 【详解】证明:,, , 是的中点, , 在和中, , , , 于,于点, 平分. 20.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,与相交于点M,与相交于点N.求证:是等边三角形. 【答案】见解析 【详解】证明:∵和都是等边三角形, ∴,,, ∴, ∴, 在和中 , ∴; ∴, ∵,, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形. 21.如图,在△ABC中,是中线,于点E,于点E,于点F,交AD的延长线于点F,求证:. 【答案】见解析 【详解】解:,, , 是中线, , 在和中, , , . 22.如图,,,,,与交于点F. (1)求证:△ACE≌△BCD.(2)求的度数. 【答案】(1)见解析;(2) 【详解】(1)∵,, ∴, ∴,即, 在和中, \ ∴; (2)∵, ∴, 设与交于点O, ∴, ∵ ∴ ∴. 23.如图,与相交于点C,,,,点P从点A出发,沿方向以的速度运动,点Q从点D出发,沿方向以的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为 (1)求证:;(2)写出线段的长(用含t的式子表示), (3)连接,当线段经过点C时,求t的值 【答案】(1)见解析;(2);(3) 【详解】(1)证明:在和中, , ∴, ∴, ∴. (2)∵点P从点A出发,沿方向以的速度运动, ∴. (3)当线段经过点C时,如图: 在和中, , ∴, ∴, ∵点Q从点D出发,沿方向以的速度运动, ∴, ∴, ∴,解得:. 24.如图,在△ABC中,,,直线l经过点A,交BC于点D,于点E,于点F. (1)求证;(2)求的度数. 【答案】(1)见解析;(2)45° 【详解】(1)证明:∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴(AAS), ∴,, ∴; (2)解:∵, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴. 25.如图所示,在△ABC中,于D,于E,与交于点F,且, (1)求证;(2)若,,求的长. 【答案】(1)见解析;(2)11 【详解】(1)解:,, , , , 在和中, , ; (2)解:, ,, ,, , . 26.在等腰△ABC中,,为中线,,. (1)求证:;(2)直接写出4对相等的线段.(不包括) 【答案】(1)见解析;(2),,,. 【详解】(1)证明:∵,为中线, ∴平分, ∵,, ∴; (2)解:由(1)可得, ∵是中线, ∴, 在和中,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴. ∴4对相等的线段分别为:,,,. 27.如图,点C为线段上一点,和是等边三角形. (1)求证:.(2)求证:为等边三角形.(3)求的度数. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【详解】(1)证明:∵和是等边三角形, ∴, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴; (2)证明:, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴为等边三角形; (3)解:∵, ∴, ∵, ∴. 28.如图,,,,,垂足分别为点D,E.求证: (1) △ACD≌△CBE;(2). 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【详解】(1)解:∵,, , , ∴, ∵, , 在△ACD和△CBE中, ∴△ACD≌△CBE; (2)∵, ∴,, ∴, . 29.如图所示,,,,,求证: (1);(2). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【详解】(1)证明:∵,, ∴, 在和中, ∴. (2)证明:由(1)可知, ∴,, ∵, ∴,即, ∴. 30.如图,点A、B、C、D在同一直线上,,作于点C,于点B,且,连接,. (1)求证:且; (2)若将沿方向平移得到图2,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立?说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析 【详解】(1)∵, ,即, ∵,, , ∵, , , , ,, ; (2)成立,理由如下: ∵, ,即, ∵,, , ∵, , , , , .