人教版七年级数学上册同步备课 《第三章》3.4.4 实际问题与一元一次方程(四)电话计费问题（教学设计）

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3.4.4 实际问题与一元一次方程(四)电话计费问题 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.4.4 实际问题与一元一次方程(四)电话计费问题，内容包括：列一元一次方程解决电话计费问题.2.内容解析《数学课程标准》对本章知识的要求是：“能够根据具体情况中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.”从本章知识的安排上来看，对实际问题的讨论是贯穿全章的一条主线，本章中对一元一次方程解法的讨论始终是围绕实际问题进行的，即先列方程，讨论如何解方程，这是本章教材编写的一个特点.而本节内容是在前面两节已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题.本节课是3.4节“实际问题与一元一次方程”的最后一课，选择电话计费这种生活中常见的问题作为探究点，不仅仅是为了探究如何解决这个具体问题，而是想让学生通过这个问题的解决，进一步体验“建模解题”的过程，渗透建模思想；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，激发学生学习数学的兴趣，使学生在分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上得到提高.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.二、目标和目标解析1.目标(1)体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案. (2)进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.2.目标解析掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力.通过探索电话计费问题中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯.三、教学问题诊断分析学生通过之前的学习，比较熟悉在一些典型问题中应用方程模型，而对于“电话计费问题”这样的综合性问题，还缺乏解决问题的经验，容易无所适从或片面理解，学生一般可以发现“计费方式”的选择要依赖于“主叫时间”的变化，要根据时间分类讨论，但缺乏系统有效的分类方法，会出现分类不准确的问题﹔同时学生对于电话计费这种生活化的问题，更习惯于使用生活化的原理和语言去解释，如“计费的多少、增长的快慢”等，而缺乏将实际问题数学化，然后利用数学原理来解释问题的意识.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.四、教学过程设计（一）合作探究问题1：你了解表格中这些数字的含义吗？月使用费固定收；主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费.问题2：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？“与主叫时间相关”问题3：设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.问题4：观察以上列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？列方程：58+0.25(t-150)=88 解得 t=270因此，当t=270min时，按两种方式计费相等，都是88元.问题5：那么当t大于150且小于270和t大于270且小于350时，两种方式计费哪种更省钱呢？如果t大于150且小于270时，按方式一的计费少于按方式二的计费(88元)；如果t大于270且小于350时，按方式一的计费多于按方式二的计费(88元).问题6：当t大于350时，两种方式计费哪种更省钱呢？当t大于350时，58+0.25(t-150)可变形为108+0.25(t-350)即按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费0.25(t-350)，按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费0.19(t-350)，显然按方式二的计费少.问题7：综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可．选一些具体数字，通过计算验证你的发现是否正确.（二）总结提升解决“电话计费问题”的一般思路：（三）考点解析例1.为了倡导和鼓励居民节约用水，某市水务部门对城市居民生活用水采取分段收费办法：规定每月每户居民生活用水标准量为22m3，在标准用水量范围里免收生活污水处理费；超出标准用水量的部分收取一定的生活污水处理费，每月生活用水的收费标准(单位：元/m3)及单价说明如下表所示：(1)某居民用户用水10m3，共缴纳水费23元，求a的值；(2)在(1)的前提下，该居民用户10月份缴纳水费71元，请问该用户10月份的用水量是多少？解：(1)由题意得10a=23，解得a=2.3.(2)因为2.3×22=50.6＜71，所以该居民用户10月份的用水量超过22m3.设该居民用户10月份的用水量为xm3.由题意得 50.6+(2.3+1.1)×(x-22)=71.解得 x=28.答：该用户10月份用水28m3.【迁移应用】1.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户10月份的煤气费为66元，则该用户10月份使用煤气______m3.2.下表是行驶15km以内纯电动出租车的运营价格：(1)请计算路程是12km时乘坐纯电动出租车的费用；(2)老张从家去公司打纯电动出租车上班（路程在15 km以内)，共支付车费22元.老张家到公司的路程是多少千米？解：(1)8+2×(12-3)=26(元) 答：乘坐纯电动出租车的费用为26元.(2)设老张家到公司的路程是xkm.根据题意，得8+2(x-3)=22.解得：x=10.答：老张家到公司的路程是10km.例2.【分类讨论思想】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下：甲班分两次共购买苹果70kg(第二次比第一次多)，共付款189元，乙班一次性购买苹果70kg.(1)乙班比甲班少付款多少钱？(2)甲班第一次和第二次分别购买苹果多少千克？解：(1)乙班付款：70×2=140(元)，189-140=49(元).答：乙班比甲班少付款49元.(2)设甲班第一次购买苹果xkg，则第二次购买苹果(70-x)kg.①当第一次购买苹果不超过30kg，第二次购买苹果在30kg到50kg之间时，3x+2.5(70-x)=189.解得x=28.所以70-x=42.②当第一次购买苹果不超过30kg，第二次购买苹果在50kg以上时，3x+2(70-x)=189.解得x=49.49＞30，不符合题意.③当两次都在30kg到50kg之间时，2.5.x+2.5(70-x)=189，方程无解.综上所述，甲班第一次购买苹果28kg，第二次购买苹果42kg.【迁移应用】1.某超市为促销商品，推出如下优惠方案：一次性购物不超过100元不享受任何优惠；一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；一次性购物超过300元一律8折.李明两次购物，实际付款金额分别为80元、252元，如果李明一次性购买这些物品，那么应付款_____________元.2.某水果批发市场橙子的价格如表：(1)小凯分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出217元，求小凯第一次和第二次分别购买橙子的数量；(2)小坤分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买橙子的单价不相同，共付出436元，请问小坤第一次、第二次分别购买橙子多少千克？（列方程求解)解：(1)设小凯第一次购买xkg橙子，则第二次购买(40-x)kg橙子.由第二次购买的数量多于第一次购买的数量可知，第一次购买橙子不超过20kg，第二次购买橙子在20kg以上但不超过40kg.依题意得6x+5(40-x)=217,解得x=17，所以40-x=23.答：小凯第一次购买17kg橙子，第二次购买23kg橙子.(2)设小坤第一次购买ykg橙子，则第二次购买(100-y)kg橙子.由第二次购买的数量多于第一次购买的数量可知，第一次购买橙子少于50 kg，第二次购买橙子多于50kg.因为两次购买橙子的单价不相同，所以第一次购买的情况有两种：不超过20kg或在20kg以上但不超过40kg.分两种情况讨论：①当第一次购买橙子不超过20kg时，根据题意得 6y+4(100-y)=436，解得y=18.所以100-y=82;②当第一次购买橙子在20kg以上但不超过40kg时，根据题意得5y+4(100-y)=436，解得y=36.所以100-y=64.答：小坤第一次购买18kg橙子，第二次购买82kg橙子或第一次购买36kg橙子，第二次购买64kg橙子.例3.目前施行的个人所得税税率表(部分)如下：(1)赵华每月税前工资为13000元，则他每月应缴纳的个人所得税是多少元？(2)张扬每月缴纳的个人所得税为190元，则他每月税前工资是多少元？(3)李丽每月纳税后的工资为7955元，则李丽每月纳税前的工资为多少元？解：(1)因为8000＜13000＜17000，所以赵华每月应缴纳的个人所得税为(8000-5000)×3%+(13000-8000)×10%=590(元).(2)设张扬每月工资收入是x元.因为(8000-5000)×3%=90，(17000-8000)×10%+90=990,而90＜190＜990，所以8000＜x＜17000.根据题意，得(8000-5000)×3%+(x-8000)×10%=190.解得 x=9000.答：他每月工资收入是9000元.(3)设李丽每月纳税前的工资为y元.分两种情况讨论：①若5000＜y≤8000，则(y-5000)×3%+7955=y，解得y≈8046.不符合5000＜y≤8000，故此种情况不存在.②若8000＜y≤17000，则(8000-5000)×3%+(y-8000)×10%+7955=y，解得y=8050.符合8000