浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】（学生版+教师版）

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专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】 【浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc3198" 【题型1 勾股定理之大树折断模型】  PAGEREF _Toc3198 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3594" 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】  PAGEREF _Toc3594 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc18459" 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】  PAGEREF _Toc18459 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc4349" 【题型4 勾股定理之方向角问题】  PAGEREF _Toc4349 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc30596" 【题型5 勾股定理之梯子问题】  PAGEREF _Toc30596 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc19741" 【题型6 勾股定理之范围影响问题】  PAGEREF _Toc19741 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc2742" 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】  PAGEREF _Toc2742 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc18663" 【题型8 勾股定理应用之其他问题】  PAGEREF _Toc18663 \h 22  【题型1 勾股定理之大树折断模型】 【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 　24　米处折断． 【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解． 【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10 故102+x2＝（50﹣x）2 解得x＝24（米） 故烟囱应从底部向上24米处折断． 故答案为24． 【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．14米 D．16米 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m， ∴BC10（m）， ∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）． 故选：D． 【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度． 【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案． 【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， 故BD5（m）， 即AD＝9m， 则AC15（m）， 故AC+AB＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19米． 【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是 　13　尺． 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13尺． 故答案是：13． 【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m． （1）开始时，船距岸A的距离是 　12　m； （2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 　（12）　m． 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长； （2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m， ∴（m）， 故答案为：12； （2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处， ∴CD＝8（m）， ∴AD（m）， ∴BD＝AB﹣AD＝（12）m． 故答案为：（12）． 【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差． 【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm， 在Rt△ABC中：AC15（cm）， 所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　） A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为10cm， 则AD＝105（cm）． 又因为CD＝AB＝12cm， 所以AC（cm）． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm． 故选：B． 【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【解答】解：将台阶展开，如下图， 因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5， 所以AB2＝AC2+BC2＝169， 所以AB＝13（cm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 　13　． 【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可． 【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为13． 故蚂蚁爬行的最短距离为13． 【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+） cm B． cm C． cm D． cm 【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． 故选：C． 【题型4 勾股定理之方向角问题】 【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　） A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝8海里，OB＝6海里， ∴AB10（海里）． 故选：B． 【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？ 【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度． 【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180， 由勾股定理得BC300， 答：此时两艘海舰相距300海里． 【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由． 【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性质可求解∠CBD＝32°，进而可求解． 【解答】解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的． 理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里， ∵152+202＝252， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°， 由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°， ∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°， 故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的． 【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可； （2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴∠AON＝45°， ∴∠BON＝90°﹣45°＝45°， ∴“海天”号沿西北方向航行； （2）过点F作FD⊥PE于D， OF＝16×2＝32， ∵∠NOF＝60°， ∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°， ∴FD， ∴16÷80＝0.2（小时）， ∵0.2＜0.5， ∴能在半小时内回到海岸线． 【题型5 勾股定理之梯子问题】 【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 　2.2　米． ​​​​​​​ 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2）， ∵AB＞0， ∴AB＝2.5（米）， 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米， ∴BD2+A′D2＝A′B2， 即BD2+22＝2.52（米2）， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5（米）， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）， 故答案为：2.2． 【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？ 【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较． 【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：， 因为4.5， 所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头． 【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？ 【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和2.3米比较即可得到答案． 【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为： 2（米）， 2米＜2.3米， 故这位同学不能拿到衣服； 1.5﹣0.8＝0.7（米）， 2.4（米）， 2.3米＜2.4米， 故如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，此时这位同学能拿到衣服． 【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离． 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：24米； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20， 根据勾股定理得：25， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【题型6 勾股定理之范围影响问题】 【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【解答】解：（1）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟）， 即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． （1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案； （2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H， ∵∠O＝30°，OA＝80米， ∴AHOA＝40米， ∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米； （2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响， 由（1）知AH＝40米， ∴CH30（米）， ∴CN＝2CH＝60（米）， ∴t＝60÷5＝12（秒）， ∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒． 【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（　　） A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里 【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°， 故∠AOB＝90°， ∴AB15（海里）， 答：甲、乙两渔船相距15海里， 故选：D． 【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口， ∵ED（km）， ∴EF＝2ED＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2， 在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：AE＝BE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E应建在距C点13.3km， 即CE＝13.3km． 【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 　312.5　米． 【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可． 【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m． ∴BD400m， 设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m， 根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002， x2＝160000+x2﹣800x+3002， 800x＝250000， x＝312.5． 答：商店与车站之间的距离为312.5米， 故答案为：312.5． 【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　7.5　米． 【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度． 【解答】解：设树的高度为x米． ∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15， ∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x， 在Rt△ACD中根据勾股定理得， CD2+AC2＝AD2， x2+100＝（20﹣x）2， x＝7.5， 故答案为：7.5． 【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝　km　． 【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解即可． 【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°． 在直角三角形ABD中， ∵AB＝3km，AD＝5km， ∴BD4km 设CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， 即x2＝32+（4﹣x）2， 解得：x， ∴BC＝BD﹣CD＝4km． 故答案为：km． 【题型8 勾股定理应用之其他问题】 【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由． 【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案． 【解答】解：∵车宽1.6米， ∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高． 在Rt△OEF中，由勾股定理可得： EF0.6（m）， EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5， ∴卡车能通过此门． 【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？ 【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案． 【解答】解：超速．理由如下： 在Rt△ABC中，AC＝60m，AB＝100m， 由勾股定理可得BC80m， ∴汽车速度为80÷4＝20m/s＝72km/h， ∵72＞60， ∴这辆小汽车超速了． 【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米）， BC＝70﹣20+10＝60（米）， 故终止点与原出发点的距离AB100（米）， 答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m． 【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子． （1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）： ①该屏幕的长＝　16　寸，宽＝　12　寸； ②已知“屏幕浪费比”，求该电视机屏幕的浪费比． （2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：2.2，结果精确到0.1） 【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论； ②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值； （2）根据题意得出，，得PQBC，FGEF．再由S矩形EFGH＝S矩形MNPQ即可得出，进而可得出结论． 【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3， ∴设长为4x，则宽为3x， ∵电视机屏幕为20寸， ∴（4x）2+（3x）2＝202，解得x＝4， ∴4x＝16，3x＝12， ∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸； 故答案为：16；12． ②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）． ∵，解得 a． ∴黑色带子的宽的和＝12． ∴屏幕浪费比； （2）由题意：，，得：PQBC，FGEF． ∵S矩形EFGH＝S矩形MNPQ， ∴BC•BC＝EF•EF． ∴， ∴1.8． 答：这种屏幕的长宽比约为1.8．