北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第40讲+一元一次方程的应用（四）

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第40讲 一元一次方程的应用（四） 目标导航 知识清单 知识点 必备公式或关系式 考点精析 例1 如图，在数轴上有，两个动点，为坐标原点，点，从图中所示位置同时向数轴的负方向运动，点运动速度为每秒个单位长度，点运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． （1）当时，求，两点的距离； （2）为多少时，，两动点相遇． 例2 如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是______，点表示的数是______用含的代数式表示； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 变1 如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动， 同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右 运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t＝0.5时，求点Q表示的数； （2）当t＝2.5时，求点Q表示的数； （3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 变2 数轴上A在原点的左侧，A表示的数是a，距离原点18个单位，B在原点右侧，B所表示的数是b，距离A点24个单位． （1）______，______． （2）P，Q是数轴上的两个动点，P点从A出发，速度2个单位每秒，同时Q点从B点出发，速度1个单位每秒，若两点相向而行，经过一段时间在C点相遇，求出点C表示数． （3）在（2）的条件下，经过几秒钟，P，Q两点相距6个单位长度． 例3 已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（）． （1）直接写出a、b的值，a=_______，b=_______． （2）点P碰到挡板时，t的值为_______． （3）当时，点P表示的有理数为_______；当时，点P表示的有理数为_______； （4）试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时的值；若不能，请说明理由． 例4 探究与发现：表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． （1）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，则数轴上点B 表示的数 ； （2）若，则 ． （3）拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； （4）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4 变3 如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4． （1）A、B间的距离是______；若数轴上点M到点B的距离是4，则点M对应的数为______； （2）若点N也是数轴上的点，点N到点A的距离是点N到原点的距离的，求点N对应的数； （3）若动点P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动，同时另一动点Q从A点出发，以4个单位长度/秒的速度在数轴上运动，若两动点经过t秒时，，求此时点P对应的数是多少？ 变4 如图，在数轴上点A表示的数是；点B在点A的右侧，且到点A的距离是6；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍． （1）点B表示的数是________；点C表示的数是________； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒、在运动过程中．当t为何值时点P与点Q之间的距离为2? （3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为，点Q与点B之间的距离表示为．在运动过程中，是否存在某一时刻使得?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，诮说明理由． 变5 动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后两点相距16个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：3（速度单位：单位长度/秒）． （1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动4秒时的位置； （2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间； （3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动，若点C一直以25个单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度？ 例5 已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=_____，PC=_____． （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，则点P出发17秒后=_____，=_____． （3）在点Q开始运动后， P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 例6 如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为-4，且，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒． （1）当P，Q重合时，求t的值； （2）当MN=AB时，求t的值； （3）当时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值． 变6 已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． （1）与、两点距离相等的点对应的数是________； （2）现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是 ________； （3）若当电子蚂蚁从点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止．同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 变7 在如图所示的不完整的数轴上，相距30个单位长度的点A和点B表示的数互为相反数，将点B 向右移动15个单位长度，得到点C，点P是该数轴上的一个动点，从点C出发，以每秒3个单位长度的速 度匀速向左运动至点A，然后立即返回以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动．设点P的运动时间为t 秒． （1）点A表示的数是 　﹣15　，点C表示的数是 　15　； （2）当点P与点A的距离是点P与点C的距离的2倍时，求点P表示的数及对应t的值； （3）点Q为该数轴上的另一动点，与点P同时开始，以每秒2个单位长度的速度从点A出发匀速向右运动，直接写出P，Q两点之间距离为5个单位长度时的t的值（不写计算过程）． 课后强化 1.如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是、，点P以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动．设点P、Q同时出发． （1）运动2秒时，则点P表示的数为_______，点Q表示的数为_______点P、Q之间的距离是_____ _个单位； （2）运动时间为t秒时，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； （3）经过________秒后，点P、Q重合； （4）试探究：经过 秒后（直接写出答案），点P、Q两点间的距离为4个单位． 2.如图，点A、B和线段都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为、0、2、11． 线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示的长为 ． （2）当时，求t的值； （3）若点A、B与线段同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，和可能相等吗?若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由． 3.已知：数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且满足|a+7|+|c﹣2|＝0，点B对应的数为﹣3． （1）a＝　 　，c＝　 　． （2）若在数轴上有两动点P、Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P，Q两点的距离为3． （3）若在数轴上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离之和为15，请求出点P所对应的值．（要求写详细解答过程） 4.已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-5）2+|a+b|=0，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值：a=　 　，b=　 　，c=　 　． （2）在（1）的条件下，数a，b，c分别在数轴上对应的点A，B，C，有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数 　1　； （3）在（1）的条件下，点a，b，c分别对应点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5.已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0． （1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位，设运动的时间为t（秒）． ①当BP＝3AP时，t的值为　 　； ②当P、Q之间的距离为4时，求点Q对应的数． （2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出线段MN的长度． 6.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足|a+3|+|c﹣9|＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，点B与点C之间的距离表示为BC＝|b﹣c|，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB． （1）a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当|x-a|=3时，x=　 　；当代数式|x-a|+|x-c|取得最小值时，此时最小值为　 　． （3）动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M，N两点之间的距离为2个单位？ 7.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动． （1）Q点出发3秒后所到的点表示的数为_____，此时P、Q两点的距离为_____； （2）问当点Q从点A点出发几秒钟时，能追上点P？ （3）问当点Q从点A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数． 8.如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知，，，P、Q两点同时从原点O出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和b个单位长度的速度运动，且．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动,且P点的速度变为，Q点的速度不变. （1）P、Q两点相遇时，点P前进的路程为 ；Q、P两点相遇前的速度比 ；（用含有x的式子表示） （2）若点B为线段的中点，①此时，点D表示的数x= ； ②相遇后，当点P到达点A处时，点Q在原点O的 (填“左”或“右”)侧，并求出此时点Q在数轴上所表示的数字； （3）在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a，点Q的速度始终不变，这两点在点M处第二次相遇，则点M在数轴上所表示的数字为 . 9.已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是______，点表示的数是______用含的代数式表示； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ （3）若点为中点，点为中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 10.如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向 右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）； 运动时间为t． （1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值． （2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？ （3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值． 课程标准1.掌握数轴上两点间的距离及重点的计算方法； 2.能够运用行程问题解决数轴上的动点问题.类型公式或关系式数轴上两点的距离右-左或两数差的绝对值数轴上两点的中点两数相加÷2