北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第39讲+一元一次方程的应用（三）

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第39讲 一元一次方程的应用（三） 目标导航 知识清单 知识点 必备公式或关系式 考点精析 考点一 分段计费问题 例1 为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如：王女士家6月份用电420度，电费＝180×0.6＋220×0.7＋20×0.9＝280元，实行“阶梯价格”收费以后，居民用电______千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元． 【答案】360 【分析】设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元，分情况讨论得出180＜x＜400，再由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元， ①当居民月用电量0＜x≤180时， ∵0.6＜0.65， ∴x＞180； ②当x＝400时，电费为：180×0.6+220×0.7＝262（元）， 平均电价＝262÷400＝0.655（元/度）， ∴180＜x＜400； 由题意得：180×0.6+（x﹣180）×0.7＝0.65x， 解得：x＝360． 故实行“阶梯价格”收费以后，居民用电360千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元． 故答案为：360． 例2 为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过200度，那么每度按0.5元收费；如果超过200度，那么超过部分按0.8元收费． （1）某户居民在一个月内用电150度，那么他这个月应缴纳电费多少元？ （2）如果该居民在一个月内用电度，那么这个月他应缴纳电费多少元？ （3）如果他这个月缴纳电费148元，则他这个月用电多少度？ 【答案】(1)75元 (2) (3)260度 【分析】（1）如果用户家一个月用电150度．，所以只有一种情况，每度电0.5元，可求解． （2），两种情况都有，先算出200度电用的钱，再算出剩下的度的电用的钱，加起来就为所求． （3），所以所用的电超过了200度电，和2中的情况类似，设此时用电a度，可列方程求解． 【详解】（1）解：（元） 答：这个月应缴纳电费75元； （2）解：， ， ， 答：如果该居民家一个月用电a度，那么这个月应缴纳电费元． （3）解：设此时用电a度， ， ， 解得． 答：如果这个月缴纳电费为148元，那么这个月用电260度． 例3 为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费2元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费2.5元；小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过20吨． （1）如果小红家每月用水15吨，则水费是 元；如果小红家每月用水23吨，则水费是 元． （2）如果字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该如何用x的代数式表示． 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； 当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）； （3）小红家第二季度交纳水费的情况如下： 小红家这个季度共用水多少吨？ 【答案】(1)30，47.5 (2)， (3)54.2吨 【分析】（1）根据所给的两种收费标准进行计算即可得到答案； （2）根据所给的两种收费标准列式即可； （3）由表格数据可知四月和五月的用水量不超过20吨，六月份的用水量超过20吨，由此根据（2）所求建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，如果小红家每月用水15吨，则水费是元；如果小红家每月用水23吨，则水费是元， 故答案为：30，47.5； （2）解：由题意得，当时，每个月的水费为元， 当时，每个月的水费为元， 故答案为：，； （3）解：由题意得， 解得， ∴四月用水13吨； 同理可得，五月份用水17吨； ， 解得， ∴六月份用水24.2吨， ∴这个季度一共用水吨． 例4 国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：（元）． （1）小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ （2）小敏家2019年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． （3）小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解） 【答案】(1)870元 (2)元 (3)小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米 【分析】（1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （2）利用总价=单价×数量，结合阶梯水价，即可得出结论； （3）设2019年用水x立方米，则2020年用水（360-x）立方米．根据两年共缴纳水费2220元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】（1）解：小明家2019年应缴纳水费为： （元）； （2）解：小敏家2019年共用水立方米，则应缴纳的水费为： 元； （3）解：设小慧家2019年用水立方米，则2020年用水立方米， 则，解得， 120<360-x<180, 根据题意得： ． 解得：． 2020年用水量：（立方米）． 答：小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米． 变1 为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． （1）如果小明家6月份用水12立方米，则应缴水费多少元？ （2）如果小明家某月的用水为立方米（），那么这个月应缴水费多少元？（用含m的代数式表示） （3）如果小明家某月的用水为20立方米，，那么这个月应缴水费多少元． 【答案】(1)元 (2)元 (3) 元 【分析】（1）在标准用水范围内，用水量与单价的乘积即可求出答案； （2）用水为立方米（），一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水量与超出的单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案； （3）根据（2）中的代数式，把用水量代入计算，即可求出答案． （1） 解：标准用水是 立方米，收费为1．5元/立方米，实际用水是立方米， ∴（元） ， 故答案是：元． （2） 解：用水为立方米（）， ∴ ， 故答案是：元． （3） 解：根据（2）中的答案，可知 ， ∴应缴水费为：（元）， 故答案是： 元． 变2 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，自来水收费价格见下表． 若某户居民1月用水8吨，则应收水费：2×6+4×（8-6）=20元．（注：水费按月结．） （1）若该户居民2月用水12.5吨，则应收水费多少元？ （2）若该户居民3、4月共用水15吨（4月用水量超过3月），共交水费44元，则该户居民3、4月各用水多少吨？ 【答案】(1)若该户居民2月用水12.5吨，则应收水费48元 (2)该户居民3、4月份各用水4吨和11吨 【分析】（1）根据所给收费标准求解即可； （2）设4月份用水x吨，3月份（15﹣x）吨，然后先确定出3月份的用水量低于6吨，再讨论4月份的用水量超过10吨和不超过10吨求解即可． （1） 解：应收水费2×6+4×（10﹣6）+8×（12.5﹣10）＝48（元）． 答：若该户居民2月用水12.5吨，则应收水费48元； （2） 解：设4月份用水x吨，3月份（15﹣x）吨， 假设3月和4月的用水量都超过6吨，由一共用水15吨可知，3月和4月的用水量都在6-10吨，则应缴费元，不符合题意， ∴3月份的用水量低于6吨， 当4月份的用水量不超过10吨时，由题意得， 解得，不符合题意； 当4月份用水量超过10吨时 2×6+4×4+8×（x﹣10）+2×（15﹣x）＝44， 解得：x＝11， 15﹣x＝15﹣11＝4， 答：该户居民3、4月份各用水4吨和11吨． 变3 电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a20）． （1）若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； （2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 【答案】(1)， (2)方案① (3)先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带 【分析】（1）根据题意分别列出代数式并整理即可得到答案； （2）把分别代入（1）中的两个代数式，求出结果后比较即可； （3）综合运用两种优惠方案，得出更加省钱的方案，即先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，算出费用即可． 【详解】（1）解：按方案①购买需付费为：元； 按方案②购买需付费为：元． （2）解：由题意得当时， 方案①需付费为：元， 方案②需付费为：元， ， 按方案①购买较为合算． （3）解：先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带， 共需费用为：元， ， 当时，此方案更省钱． 例2 为了抗击新冠肺炎疫情，健民药店对消毒液和口罩开展优惠活动．消毒液每桶标价15元，口罩每包标价5元．现在药店有两种优惠方式：①按标价购买时，买一桶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定价的80%付款．现在某单位要到该药店购买消毒液40桶，口罩x包． （1）该单位按优惠方式①购买需要付款________元（用含x的式子表示）；该单位按优惠方式②购买需要付款________元（用含x的式子表示）． （2）试求当x取何值时，方式①和方式②的购买费用一样． （3）当时，通过计算说明按哪个优惠方式购买最合适． 【答案】(1)5x+400，4x+480 (2)x=80时，方式①和方式②的购买费用一样 (3)应选择方式② 【分析】(1)根据题意列代数式，即可得出答案； (2)根据题意列出方程即可求解； (3)根据题意把x=200代入(1)中的代数式计算，即可得出答案． (1) 解：方式①需付费为：40×15+5(x−40)=(5x+400)(元)； 方式②需付费为：(40×15+5x)×0.8=(4x+480)(元)； 故答案为：5x+400，4x+480； (2) 解：根据题意，得：400+5x=480+4x， 解得：x=80， 答：当x=80时，方式①和方式②的购买费用一样； (3) 解：当x=200时， 方式①：5×200+400=1400（元）， 方式②：4×200+480=1280（元）. 1400>1280， 应选择方式②． 例3 某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： （1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）； 按方案二，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）； （2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ （3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目． 【答案】(1)（50x+1500），（40x+2400）； (2)90 (3)能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元． 【分析】（1）根据已知，分方案一、方案二分别列出代数式即可； （2）根据（1）中的代数式列方程，即可解得答案； （3）用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，即可得到共需付款数目． (1) 解：购买裤子30件，T恤x件，按方案一共需付款100×30+50（x﹣30）＝（50x+1500）元， 按方案二共需付款30×100×80%+50x×80%＝（40x+2400）元， 故答案为：（50x+1500），（40x+2400）； (2) 解：根据题意得：50x+1500＝40x+2400， 解得x＝90， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； (3) 解：能给出一种更为省钱的购买方案：用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤， 共需付款 30×100+50×（40﹣30）×80%＝3400（元）， ∴共需付款3400元． 变1 某家具厂生产一种餐桌和椅子，餐桌每张定价为500元，椅子每把定价为100元，厂方在开展促 销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张餐桌就赠送2把椅子； 方案二：餐桌和椅子都按定价的八折付款． 某餐厅计划添置100张餐桌和x把椅子： （1）当x＝200时，若按方案一购买，共需付款　 　元，若按方案二购买，共需付款　 　元； （2）当x＞200时，若按方案一购买，共需付款　 　元，若按方案二购买，共需付款　 　元；（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，按哪种方案购买更省钱？为什么？ 【分析】（1）根据题中给出的两种优惠方案分别把两种方案的费用表示出来即可； （2）根据题中给出的两种优惠方案分别把两种方案的费用表示出来即可； （3）利用（2）中的两个代数式构造方程，求出x的值，即可判断按哪种方案购买更省钱． 【解答】解：（1）当x＝200时， 按方案一购买：∵每买一张餐桌就赠送2把椅子， ∴买100张餐桌就赠送200把椅子， ∴共需付款：500×100＝50000（元）； 按方案二购买：（100×500+100×200）×80%＝56000（元）； 故答案为：50000，56000； （2）按方案一购买：500×100+100（x﹣200）＝（100x+30000）（元）； 按方案二购买：100×500×80%+100x•80%＝（80x+40000）（元）； 故答案为：（100x+30000），（80x+40000）； （3）100x+30000＝80x+40000， 解得：x＝500， ∴当200＜x＜500时，方式一更省钱，x＝500时，两种方案花费相同，x＞500时，方案二更省钱． 变2 我省从2019年开始，体育成绩按一定的原始分计入中考总分．某校为适应中考要求，决定为体育组购置一批体育器材．学校准备订购一批某品牌的足球和跳绳，经市场调查后发现，足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A，B两家商店提出了各自的优惠方案．A商店：买一个足球送一条跳绳；B商店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知学校要购买足球40个，跳绳x条． （1）若在A商店购买，则需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B商店购买，则需付款 元（用含x的代数式表示）． （2）学校购买跳绳多少条时，在A商店购买和在B商店购买付一样的钱？ （3）若学校购买的跳绳是100条，请直接写出一种购买方案，使学校所付的钱最少． 【答案】(1)（4800+30x）；（5400+27x）； (2)学校购买跳绳200条时，在A商店购买和在B商店购买付一样的钱； (3)去A商店购买使学校所付的钱最少为7800元． 【分析】（1）根据足球数×足球单价+优惠后的绳数×绳的单价列出A商店费用代数式，根据足球数×足球单价+绳数×绳的单价的和×九折列出B商店费用代数式即可； （2）根据两店费用相同列方程，解方程即可； （3）先求代数式的值得出A、B两店的费用比较得出结论即可． (1) 解：∵A商店：买一个足球送一条跳绳； ∴40×150+（x-40）×30=4800+30x， ∵B商店：足球和跳绳都按定价的90%付款． ∴(150×40+30x)×90%=5400+27x， 故答案为（4800+30x）；（5400+27x）， (2) 解：根据题意，得4800+30x=5400+27x， 解得x=200， ∴学校购买跳绳200条时，在A商店购买和在B商店购买付一样的钱； (3) 当x=100时，A商店4800+30x=4800+30×100=4800+3000=7800元， B商店5400+27x=5400+27×100=5400+2700=8100元， ∴去A商店购买使学校所付的钱最少为7800元． 变3 七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品，现有甲、乙两家商店出售两种同样品牌的笔记本和钢笔，他们的定价都相同：笔记本定价为每本20元，钢笔定价为每支4元．但优惠方案不同：甲店每买一本笔记本赠一支钢笔，乙店全部按定价的9折优惠，已知七年级需笔记本15本，钢笔x支（不少于15支）． （1）在甲店购买需付款________元（用x的代数式表示）； （2）若x=30，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算； （3）购买钢笔多少支时，两家付款一样多： （4）当时，如何购买最省钱？写出你的购买方法，并算出此时需要付款多少元？ 【答案】(1) (2)在甲商店购买较为合算 (3)当购买钢笔75支时，在两店购买付款一样 (4)在甲店购买15本笔记本与15支钢笔，在乙店购买25支钢笔，此时所需付款金额为390元 【分析】（1）由题意即得在甲店购买需付款15×20+4（x-15）=4x+240； （2）当x=30时，到甲店需付款360，到乙店需付款15×20×90%+30×4×90%=270+108=378，即可得答案； （3）根据题意可得：4x+240=15×20×90%+90%•4x，可解得答案； （4）在甲店购买15本笔记本和15支钢笔，在乙店购买25支钢笔，一共需付款300+90=390元． (1) ∵甲店每买一本笔记本赠一支钢笔， ∴在甲店购买需付款15×20+4（x-15）=300+4x-60=4x+240（元）， 故答案为：（4x+240）； (2) 当x=30时，到甲店需付款4×30+240=120+240=360（元）， 到乙店需付款15×20×90%+30×4×90%=270+108=378（元）， ∵360<378， ∴到甲商店购买较为合算； (3) 根据题意得：4x+240=15×20×90%+90%•4x， 解得x=75， 答：购买钢笔75支时，两家付款一样多； (4) 购买方案是：在甲店购买15本笔记本和15支钢笔，在乙店购买25支钢笔，此时所需付款为： 甲店付款4×15+240=60+240=300（元）， 乙店付款25×4×90%=90（元）， ∴一共需付款300+90=390（元）， 答：在甲店购买15本笔记本和15支钢笔，在乙店购买25支钢笔最省钱，所需付款是390元． 变4 甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： （1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ （2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ （3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可； （3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可； （1） 解：甲超市购物所付的费用为：（元）， 乙超市购物所付的费用为：（元）， ∵， ∴在甲超市更划算； （2） 解：甲超市购买的商品原价：（元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得： ，解得：， ∵280＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； （3） 解：∵， ∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元， ∵，， ∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元， 设第二次购买商品的原价为m元， ①当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元； ②当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元． 考点三 行程问题 类型一 行程问题（1） 例1 甲乙两地相距350千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，3.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是3：2，这两列火车的速度分别是多少？ 【分析】根据时间×（甲的速度+乙的速度）=总路程，列出方程，解出方程，即可． 【详解】解：设快车速度是3x千米/每小时，则慢车速度是2x千米/每小时，得， 3.5（3x+2x）=350， 5x=100， 解得x=20， ∴快车速度：3x=60千米/每小时， 慢车速度：2x=40千米/每小时， 答：慢车速度是40千米/每小时，快车速度是60千米/每小时． 例2 “十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家． （1）若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？ （2）若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？ 【分析】（1）小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出t；（2）设小张的车速为x，则根据两人相遇时所走的路程相等，可列出等式，即可求得小张的车速． 【详解】(1)设经过t小时相遇， 20t=15t+10， 解方程得：t=2， 所以两人经过两个小时后相遇； (2)设小张的车速为x千米，则相遇时小张所走的路程为x+x千米， 小李走的路程为：10×=5千米， 所以有：x +x=5+10， 解得x=18千米． 故小张的车速为18千米每小时． 例3 、两地相距215千米，甲骑自行车从地去地，乙开汽车从地去地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度为　 　千米时． 【分析】设自行车的速度为千米时，则汽车的速度为千米时，根据2小时后两车相距25千米分辆车相遇前、后列出方程，解方程即可． 【解答】解：设自行车的速度为千米时，则汽车的速度为千米时， 根据题意得：或， 解得或， 自行车的速度为19或24千米时， 故答案为：19或24． 变1 甲乙两车分别从相距660km的A、B两地出发，甲车的速度为60km/h，乙车的速度为50km/h，两车同时出发，相向而行．求经过多少小时两车相遇？ 【分析】根据题意可以列出相应的方程，注意甲车的路程+乙车的路程=660km． 【详解】设经过x h两车相遇后相遇， 根据题意得，50x+60x=660， 解得 答：经过h两车相遇后相遇． 变2 两村相距35千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行驶了____小时． 【答案】或 【分析】分甲、乙两人相遇前，相距9千米和甲、乙两人相遇后，相距9千米两种情况，再分别建立方程求解即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当甲、乙两人相遇前，相距9千米时， 设乙行驶了小时， 则， 解得（小时）； （2）当甲、乙两人相遇后，相距9千米时， 设乙行驶了小时， 则， 解得（小时）； 综上，当他们相距9千米时，乙行驶了或小时， 故答案为：或． 变3 、两地相距64千米，甲从地出发，每小时行14千米，乙从地出发，每小时行18千米． （1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？ （2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ （3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 【分析】（1）如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需经过小时两人相遇，即小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题； （2）此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米．但都可以利用相遇问题解决； （3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设小时后乙超过甲10千米，那么小时甲走了千米，乙走了千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题． 【解答】解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过小时两人相遇， 根据题意得：， 解方程得：（小时）． 答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇； （2）设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米， ①当两人没有相遇他们相距16千米， 根据题意得：， 解方程得：（小时）； ②当两人已经相遇他们相距16千米， 依题意得， （小时）． 答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米； （3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则小时后乙超过甲10千米， 根据题意得：， 解方程得：（小时）． 答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米．号类型二 行程问题（2） 例1 一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时，若船速为26千米时，水速为2千米时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（ ） 【分析】轮船沿江从港顺流行驶到港，则由港返回港就是逆水行驶，由于船速为26千米时，水速为2千米时，则其顺流行驶的速度为千米时，逆流行驶的速度为：千米时．根据“轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时”，得出等量关系：轮船从港顺流行驶到港所用的时间它从港返回港的时间小时，据此列出方程即可． 【解答】解：设港和港相距千米，可得方程：． 故选：． 例2 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用2小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用3小时，已知轮船在静水中的速度为30千米时，则水流的速度为　 　千米时． 【分析】设水流的速度为千米时，则顺流行驶的速度为千米时，逆流行驶的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两码头间的路程不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出水流的速度． 【解答】解：设水流的速度为千米时，则顺流行驶的速度为千米时，逆流行驶的速度为千米时， 依题意得：， 解得：， 水流的速度为6千米时． 故答案为：6． 例3 两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米时，水流速度是千米时． （1）4小时后两船相距多远？ （2）若甲船由港到港用了4小时36分钟，再立即由港返回港时，共花10小时，试求水流速度． 【分析】（1）根据两船在静水中的速度及水流的速度，可得出甲船顺水的速度为千米时，乙船逆水的速度为千米时，利用4小时后两船之间的距离甲船顺水的速度时间乙船逆水的速度时间，即可求出结论； （2）根据，两港之间的路程不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）两船在静水中的速度都是50千米时，水流速度是千米时， 甲船顺水的速度为千米时，乙船逆水的速度为千米时， 小时后两船相距（千米）． 答：4小时后两船相距400千米． （2）4小时36分钟小时． 根据题意得：， 解得：． 答：水流速度是4千米时． 变1 一艘轮船在一条河流里航行，轮船先从码头顺流航行至码头，然后逆流航行至码头共用了3小时，已知这艘轮船在静水中的速度是7.5千米小时，水流速度是2.5千米小时，码头至码头的航程比码头至码头的航程少3千米，问这艘轮船一共走了多少千米？ 【分析】设码头至码头的航程为千米，则码头至码头的航程为千米，根据时间共3小时列出方程可得答案． 【解答】解：设码头至码头的航程为千米，则码头至码头的航程为千米， 轮船在静水中的速度是7.5千米小时，水流速度是2.5千米小时， 轮船顺流速度是10千米小时，逆流速度是5千米小时， 依题意得，， 解得， 从码头到码头，再从码头到码头一共（千米）， 答：这艘轮船一共走了21千米． 变2 某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若，两地的距离为10千米，求，两地的距离． 【分析】设，两地的距离为千米，则，两地的距离为千米或千米，利用时间路程速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出，两地的距离． 【解答】解：设，两地的距离为千米，则，两地的距离为千米或千米， 依题意得：或， 解得：或． 答：，两地的距离为20千米或千米． 变3 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． （1）后两船相距多远？ （2）后甲船比乙船多航行多少千米？ （3）一艘小快艇送游客在两个码头问往返，若去程是逆水，则回程是顺水．其中去程的时间是回程时间的3倍，则小快艇在静水中的速度与水流速度的关系是　 　．（用数学表达式直接写出与的数量关系） 【分析】（1）根据速度时间路程，然后计算路程和即可； （2）根据速度时间路程，然后计算路程差即可； （3）设顺水时间为，则逆水时间为，根据往返路程相等列方程求出与的关系式即可． 【解答】解：（1）由题意可得， （千米）， 答：后两船相距200千米； （2）由题意可得， （千米）， 答：后甲船比乙船多航行千米； （3）设顺水时间为，则逆水时间为， 由题意知 解得， 故答案为：． 类型三 行程问题（3） 例1 已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是（　　） 【答案】C 【分析】设火车的速度是x米/秒，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到火车的速度，再根据车长=火车的速度×火车从开始上桥到完全通过所用的时间-桥长，可得到火车的车长． 【详解】设火车的速度是x米/秒， 根据题意得： 800﹣40x＝60x﹣800， 解得：x＝16， 即火车的速度是16米/秒， 火车的车长是：60×16﹣800＝160（米）， 故选：C． 例2 已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米． 【答案】200 【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设这列火车的长为x米， 根据题意得， ， 解得， ∴这列火车的长为200米． 故答案为：200 变1 一列火车匀速通过长500m隧道，若火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒，而整列火车完全在隧道里的时间是20秒，求这列火车的长为________． 【答案】100m 【分析】设火车的长度为xm，可用火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用30秒和整列火车完全在隧道里的时间是20秒表示火车的速度列方程求解． 【详解】解：设火车的长度为xm，根据题意得： 解得：x=100， 所以这列火车的长是100m． 故答案为：100m 变2 桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度． 【分析】设火车车身长为xm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设火车车身长为xm，根据题意，得： ， 解得：x＝300， 所以． 答：火车的长度是300m，车速是30m/s． 课后强化 1.某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费.如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费． （1）若该城市A用户6月份用水18吨，该户6月份水费是多少？ （2）设B用户某月用水量为x吨（），应缴水费为y元，求出y关于x的函数关系式． （3）若C用户8月份水费为83元，求C用户8月份用水量． 【答案】(1)45元 (2) (3)30吨 【分析】(1)根据用水量，单价计算即可． (2)设某户某月用水量为x吨（），超出20吨的水量为吨，按照题意计算如下． (3)先判断用水量，再代入计算． 【详解】（1）根据题意：该户用水18吨，按每吨2．5元收费， （元）， 答：该户6月份水费是45元． （2）设某户某月用水量为x吨（），超出20吨的水量为吨， 则该户20吨的按每吨2.5元收费，吨按每吨3.3元收费， 所以应缴水费，整理后得：， 答：y关于x的函数关系式为． （3）若用水量为20吨，则收费为：（元）， ∵50元＜83元， ∴该用户用水超过20吨， 将代入， ∴， 解得x＝30， ∴该用户8月份用水量为30吨． 2.某地自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示 （1）若张老师家6月份的用水量是12吨，则张老师应付水费多少元？ （2）若张老师家7月份的用水是22吨，则张老师应付水费多少元？ （3）若张老师家8月份用水量为a吨（a不超过30），则张老师应付水费多少元？（用含a的代数式表示）； （4）若张老师家9月份付水费82元，求张老师家9月份的用水量． 【答案】(1)6月份需交水费为30元； (2)7月份张老师需交水费61元； (3)①当a≤16时，需交水费2.5a元；②当16＜a≤30时，需交水费（3.5a-16）元； (4)张老师家9月份的用水量是28吨． 【分析】（1）首先得出6月份的用水量12吨，应分一段交费，再利用已知表格中数据求出答案； （2）根据题意，7月份的用水是22吨应分两段交费，利用已知表格中数据求出答案； （3）分两种情况讨论，①当a≤16时，②当1682>40， ∴应该分两段交费， 设9月份所用水量为a吨，依据题意可得：3.5a-16=82；                        解得：a=28； 答：张老师家9月份的用水量是28吨． 3.为鼓励居民节约用电，国家发改委发布文件在全国实行“阶梯电价”收费，福清市政府为响应节能与循环经济的号召，决定对居民用电电费调整如下： （1）小杰家今年2月份用电量是300度，缴费160元，请求出a的值； （2）小杰家今年8月份用电量增大，8月份的平均电价为0.7元/度，请求出他家8月份的月电量是多少度? 【答案】(1)a的值为0.6元 (2)他家8月份的用电量是1200度 【分析】（1）根据表格中的信息列出关于a的方程，进行计算即可； （2）先根据平均电费超过0.6元/度，得出用电量应该超出500度，设他家8月份的用电量是x度，根据等量关系列出方程，解方程即可． （1） 解：， 解得：， 答：a的值为0.6元． （2） 解：∵平均电费超过0.6元， ∴用电量应该超出500度， 设他家8月份的用电量是x度，由题意得： ， 解得：， 答：他家8月份的用电量是1200度． 4.周末，某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两个优惠方案可选择： 方案1：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票． （1）七年级二班有48名学生，他该选择哪个方案比较省钱？请说明理由； （2）一班班长思考一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的”．请求出一班的人数． 【答案】(1)方案1比较省钱，详见解析 (2)一班的人数为45人，详见解析 【分析】（1）根据题意，直接进行计算即可； （2）设一班的人数为a人，根据所付钱数一样，可列方程：，解方程即可． （1） 解：由题意可知，方案1费用为：（元）， 方案2费用为：（元）， 综上所述，方案1比较省钱； （2） 设一班的人数为a人， 由题意列方程为：， 解得：a=45， 答：一班的人数为45人． 5.这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，每张票价60元．由各班班长负责买票，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打8折； 方案二：若打9折，有6人可以免票． （1）一班班长思考了一会儿，说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问一班有几人？ （2）如果二班有58人，二班应该选择哪种优惠方案更省钱．说明理由． 【答案】(1)54人 (2)选择方案二更省钱，理由见解析 【分析】（1）设一班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，列出方程求解即可； （2）根据两种方案分别得出总费用，比较即可得出答案． （1） 解：设一班有x人，根据题意，得 60x×0.8=60(x-6)×0.9 解得：x=54， 答：一班有54人； （2） 解：∵方案一：58×60×0.8=2784(元)， 方案二：（58-6）×60×0.9=2808(元)， 又∵2808元>2784元， ∴选择方案二更省钱． 6.2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． （1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）； 若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）． （2）若x=40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算： （3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 【答案】(1)，； (2)按方案A购买合算； (3)购买运动棉袜60双时两种方案付款相同． 【分析】（1）按方案A购买，需付款元；按方案B购买，需付款元；计算即可； （2）计算出两种方案所花费的价钱，比较大小即可； （3）令，求解即可． （1）解：由题意可知：按方案A购买，需付款元；按方案B购买，需付款元；故答案为：， （2）解：若x＝40，则按方案A购买，需付款元；按方案B购买，需付款元；∵，∴按方案A购买合算； （3）解：令，解得，∴购买运动棉袜60双时两种方案付款相同． 7.某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，盈利50%；乙种商品每件进价50元，售价80元． （1）甲种商品每件的进价为____元，每件乙种商品盈利_____%． （2）该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，若全部销售完获得总利润为1200元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲乙两种商品进行如下图优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华第一次购买甲商品花了352元，第二次购买乙商品花了682元，请你帮忙计算如果甲、乙两种商品合超来一次性购买，是否更节省？若更节省请算一算节省多少钱？若不节省，请说明理由． 【答案】(1)40，60 (2)30件 (3)一次性购买更节省，节省了70.4元 【分析】（1）设甲的进价为a元/件，根据甲的利润率为50%，求出a的值即可，乙的利润率根据乙的利润和成本即可求解； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（500-x）件，再由总进价是1200元，列出方程求解即可； （3）根据题意可知：小华第一次购买甲种商品不享受优惠，第二次购买乙商品超过600元，然后根据题意列方程求解即可． （1）解：设每件甲的进价为a元，可得60－a＝50%a解得a＝40每件乙的利润率为：（80－50）50＝故答案为：40；60 （2）设购进甲种商品件，乙商品（）件，由题意得解得答：购进甲种商品30件． （3）由题意知：小华第一次购买甲种商品不享受优惠，第二次购买乙商品超过600元．设乙商品的原价为元，由题意得解得联合购买应花费：（元）（元）答：一次性购买更节省，节省了70.4元． 8.甲乙两人骑自行车同时从相距48千米的两地相向而行，1.5小时相遇，若甲比乙每小时多骑2千米，则乙每小时行驶（ ） 【分析】本题属于相遇问题，等量关系为：甲走的路程乙走的路程，甲路程甲速甲用的时间，乙路程乙速乙用的时间．依此列出方程． 【解答】解：设乙每小时骑千米，甲每小时骑千米， 由题意列方程：， 解得：． 故选：． 9.甲、乙两人在跑道上练中长跑，甲每分钟跑，乙每分钟跑，两人同地、同时同向起跑，后第一次相遇，等于（ ） 【分析】此题是追及问题，利用追及问题的解决方法，列方程即可．不过要注意当甲、乙两人第一次相遇时，甲比乙多跑了400米． 【解答】解：根据题意列方程得：， 解得， 故选：． 10.某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以的速度从学校出发，后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用才能追上队伍，那么可列出的方程是（ ） 【分析】由小王比队伍晚出发，可得出小王追上队伍时队伍出发了，利用路程速度时间，结合小王追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：小王比队伍晚出发，且小王要用才能追上队伍， 小王追上队伍时，队伍出发了． 依题意得：． 故选：． 11.一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少．已知船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两地之间的距离为（ ） 【分析】设船逆水航行从乙地到甲地需小时，根据题意可得等量关系：顺水速度顺水行驶时间逆水速度逆水行驶时间，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：设船逆水航行从乙地到甲地需小时， 根据题意，得， 解得：， ． 答：甲、乙两地之间的距离为． 故选：． 12.两村相距35千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行驶了　 　小时． 【分析】设乙行了小时，甲、乙两人相距9千米．有两种情况： ①两人没有相遇相距9千米，那么两人共同走了千米，根据题意可以列出方程，解方程即可求解； ②两人相遇后相距9千米，那么两人共同走了千米，根据题意可以列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设乙行了小时．有两种情况： ①两人没有相遇相距9千米， 根据题意得到：， ； ②两人相遇后相距9千米， 根据题意得到：， ； 答：乙行了或小时． 13.一艘船从甲码头到乙码头顺流而下，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时，已知水流速度是3千米小时，求船在静水中的平均速度，设船在静水中的平均速度是千米小时，则可列方程为　 　． 【分析】根据等量关系：甲码头到乙码头的路程是一定的． 【解答】解：依题意有：， 故答案为：． 14.某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了．整列火车完全在桥上的时间共．则火车的长度为（ ） 【答案】B 【分析】设火车长度是，用桥长加上火车长，就是火车从开始上桥到完全过桥所走的路程，用桥长减去火车出，就是火车完全在桥上所走的路程，通过速度相等列出方程求解． 【详解】解：设火车长度是， 列式：，解得． 故选：B． 15.一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要______秒. 【答案】75 【分析】从火车上桥到离开的路程：桥长＋车身＝1200＋300＝1500米，然后根据时间＝路程÷速度列式可得结果． 【详解】解：设火车从上桥到离开需要x秒， 则20x＝1200＋300， 解得：x＝75（秒）， 则火车从上桥到离开需要75秒． 故答案为75． 16.，两地相距150千米，甲车从地匀速行驶前往地，每小时行驶40千米；乙车从地匀速行驶前往地，每小时行驶60千米． （1）甲、乙两车同时出发，　 　小时相遇． （2）甲、乙两车同时出发，　 　小时两车相距10千米． （3）若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？ 【分析】（1）设甲、乙两车同时出发，小时相遇，依据时间路程速度列出方程即可解答， （1）分两种情况：相遇前两车相距10千米和相遇后两车相距10千米． （2）设甲车出发小时后两车相遇，根据、两地距离是150米列出方程并解答． 【解答】解：（1）设甲、乙两车同时出发，小时相遇， 依题意得：， 解得， 即甲、乙两车同时出发，1.5小时相遇， 故答案为：1.5； （2）设甲、乙两车同时出发，小时后两车相距10千米， ①相遇前两车相距10千米， 依题意得：， 解得， 即甲、乙两车同时出发，1.4小时后两车相距10千米； ②相遇后两车相距10千米， 依题意得：， 解得 即甲、乙两车同时出发，1.6小时后两车相距10千米； 综上所述，甲、乙两车同时出发，1.4或1.6小时后两车相距10千米， 故答案为：1.4或1.6； （3）设甲车出发小时两车相遇，根据题意，得 ． 解得． 甲车出发1.2小时两车相遇． 课程标准1.掌握一元一次方程的应用的一般步骤； 2.掌握各类应用题的列方程的方法.类型公式或关系式销售问题利润=售价-进价；工程问题工作总量=工作效率×工作时间行程问题路程=速度×时间顺水逆水问题顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速阶梯电量电价一档0~180度0.6元/度二档181~400度0.7元度三档400度及以上0.9元/度月份四月份五月份六月份交费金额（单位：元）263450.5类别水费价格 （元/立方米）污水处理费 （元/立方米）综合水价 （元/立方米）第一阶梯≤120（含）立方米3.51.55第二阶梯120~180（含）立方米5.251.56.75第三阶梯>180立方米10.51.512每月用水量单价不超过6吨的部分2元/吨超过6吨不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨档次月用电量电价（元/度）第1档不超过240度的部分a第2档超过240度但不超过400度的部分0.65第3档超过400度的部分a+0.3甲超市乙超市消费金额（元）优惠活动消费金额（元）优惠活动0～100（包含100）无优惠0～200（包含200）无优惠100～350（包含350）一律享受九折优惠大于200超过200元的部分享受八折优惠大于350一律享受八折优惠A．B．C．D．A．20米/秒，200米B．18米/秒，180米C．16米/秒，160米D．15米/秒，150米月用水量不超过16吨的部分超过16吨不超过30吨的部分超过30吨的部分收费标准（元/吨）2.53.54.0每户每月用电量电费价格（单位：元/度）不超过200度（含）0.5超过200度且不超过500度的部分a超过500度的部分0.8按原价一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按原价的九折超过600元其中600元部分仍按九折优惠，超过600元的部分打八折优惠A．12.5千米B．15千米C．17千米D．20千米A．10B．15C．20D．30A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．