高中8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案

课程目标

学科素养

A.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．

B．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．

C．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。

1.数学抽象：平面的概念；

2.逻辑推理：三个基本事实；

3.数学运算：点、直线、平面的关系；

4.直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境引入

 教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？

二、探索新知

1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.

2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面在空间是无限延伸的.

(1)平展性  (2)无限延展性   (3)没有厚度

练习：

判断下列各题的说法正确与否：

（1）、一个平面长 4 米，宽 2 米；              (         )

（2）、平面有边界；                            (         )

（3）、一个平面的面积是 25 cm 2；              (         )

（4）、菱形的面积是 4 cm 2；                   (         )

（5）、一个平面可以把空间分成两部分.           （        ）

【答案】（1）×  （2） ×  （3）×    （4） √  （5）  √

3.   平面的画法：

当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的2倍。

(1)水平放置的平面：

(2)垂直放置的平面：

4.平面的表示

  常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．

记作：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD

思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？

【答案】过不共线三点

基本事实1   过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

图形语言：

作用：确定平面的主要依据。

5.点与直线、平面的位置关系

   直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．

图形语言：

符号语言：                       

思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？

【答案】直线与平面的关系：

            直线在平面外               直线在平面内    

图形：         

符号语言：                          

基本事实2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

图形语言：

符号语言：

作用：判断直线是否在平面内的依据．

思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

【答案】交于一点直线。

基本事实3   如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

图形语言：

符号语言：

作用：①判断两个平面相交的依据．

     ②判断点在直线上．

6.两个相交平面的画法：

注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．

7.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论

推论1  经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2  经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3  经过两条平行直线,有且只有一个平面。

作用：确定一个平面。

例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

解：

例2.   如图，已知

求证：。

证明：　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.

∴直线a⊂β，点 P∈β.

∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.

又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.

通过观察图片，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过练习，巩固平面的概念及特征，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，引入基本事实1，提高学生分析问题、概括能力。

通过讲解，让学生明白点与直线、平面关系的数学符号表示，教给学生数学语言的运用。

通过思考，引入基本事实2，提高学生分析问题的能力。

通过思考，引入基本事实3，了解两个相交平面交于一条直线。

通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实3，提高学生的数学素养。

通过例题讲解，让学生进一步熟悉用数学语言表示点、直线、平面之间的关系，提高学生数学语言的运用能力。

通过例题的讲解，让学生会证明直线与平面的位置关系，提高学生解决与分析问题的能力。

三、达标检测

1．判断正误

(1)平面是处处平的面．(　　)

(2)平面是无限延展的．(　　)

(3)平面的形状是平行四边形．(　　)

(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)

【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．下列空间图形画法错误的是(　　)

　A　　　　B　　　　 C　　　　　D

【答案】D　

【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.

3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)

A．A⊂a，a⊂α，B∈α

B．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂α

D．A∈a，a∈α，B∈α

【答案】B　

【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.

4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．

证明：　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 三个基本事实的内容；

2.三个基本事实的的作用；

3.三个推论。

五、作业

习题3.1   6,7,9题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。