高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程导学案，共17页。

前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？
知识点 直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．
直线与二元一次方程有何关系？
提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示．( )
(2)垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0(A≠0)．( )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB．( )
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
类型1 直线的一般式方程
【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)斜率是－12，经过点A(8，－2)的直线的点斜式方程是y＋2＝－12(x－8)，
化为一般式得x＋2y－4＝0.
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴的直线方程是y＝2，
化为一般式得y－2＝0.
(3)在x轴和y轴上的截距分别为32，－3的直线的截距式方程是x32＋y-3＝1，
化为一般式得2x－y－3＝0.
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是y+2-4+2＝x-35-3，
化为一般式得x＋y－1＝0.
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是3，且经过点A(5，3)；
(2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4，2)，且平行于y轴．
[解] (1)斜率是3，且经过点A(5，3)的直线的点斜式方程是y－3＝3(x－5)，
化为一般式得3x－y＋3－53＝0.
(2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)的直线的两点式方程是y-5-1-5＝x+12+1，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)在x轴，y轴上的截距分别是－3，－1的直线的截距式方程是x-3＋y-1＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4，2)，平行于y轴的直线方程为x＝4，
化为一般式得x－4＝0.
类型2 利用一般式研究直线的平行与垂直
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] (1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
②若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－2m+1，k2＝－m3，若l1∥l2时，k1＝k2，即－2m+1＝－m3，解得m＝2或m＝－3，经验证，m＝2或m＝－3符合条件，所以m的值为2或－3.
法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2，所以m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a+21-a，k2＝－a-12a+3，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即-a+21-a·-a-12a+3＝－1，
所以a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：由直线l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
[跟进训练]
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解] 法一：l的方程可化为y＝－34x＋3，
∴l的斜率为－34.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－34.
又∵l′过点(－1，3)，
由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为43，
又l′过点(－1，3)，
由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
类型3 直线的一般式方程的应用
【例3】 (源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R.
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为π4，求m的值．
[解] (1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，
所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝12.
故m的值为12.
(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0.
所以直线l的方程可化为斜截式y＝m1-mx－1m-1.
由m1-m＝0，可得m＝0.
故m的值为0.
(3)由(2)可知直线l的斜率为m1-m，又倾斜角为π4，
所以由斜率与倾斜角的关系可得m1-m＝tan π4，即m1-m＝1.解得m＝12.
故m的值为12.
[母题探究]
1．对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
[解] ∵直线l与y轴平行，
∴m≠0， m-1=0，∴m＝1.
2．对于本例中的直线l的方程，若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求m的值．
[解] 由题意知，|m|＝|m－1|，解得m＝12.
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0(A2＋B2≠0)．
(2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0.令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0.
(1)求直线l的斜率；
(2)求直线l与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
[解] (1)将直线的一般式方程化为斜截式，
得到y＝－34x＋3.因此，直线l的斜率k＝－34.
(2)法一：如图所示，设直线l交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)．
对于直线方程3x＋4y－12＝0，令y＝0，得x＝4；令x＝0，得y＝3.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝12|ab|＝12×4×3＝6.
法二：将直线的一般式方程3x＋4y－12＝0化为截距式，
得到x4＋y3＝1.
于是得a＝4，b＝3.
因此S△ABO＝12|ab|＝12×4×3＝6.
1．直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是( )
A．1 B．－1 C．－12 D．12
C [当y＝0时，x＝－12，所以直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是－12，故选C．]
2．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C．]
3．若直线的截距式xa＋yb＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________．
6 [由xa＋yb＝1，得y＝－bax＋b，
一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－ba＝－2，－ab＝－8，即b=2a，ab=8.
解得a=2，b=4或a=-2，b=-4.因为a>0，
所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6．]
4．若直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为________．
±2 [因为l1∥l2，所以4-m2=0，2-6m≠0，
解得m＝±2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的一般式方程．
提示：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)与x轴重合；(3)平行于y轴；(4)与y轴重合．
提示：当A＝0时，方程变为y＝－CB，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－CA，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合．
3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴，y轴上的截距？
提示：法一：将直线方程化为斜截式和截距式，
可求直线的斜率和在x轴，y轴上的截距．
法二：斜率k＝－AB，令x＝0，可得直线在y轴的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距．
课时分层作业(十五) 直线的一般式方程
一、选择题
1．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是( )
A．3x4－y2＝1 B．x43＋y-2＝1
C．x13－y12＝4 D．34x－y-2＝1
B [由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即34x－24y＝1，即x43＋y-2＝1，所以直线的截距式方程为x43＋y-2＝1．]
2．(2022·北京牛栏山一中高二期中)已知直线l经过点(2，1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x－y＝0
A [因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以直线l的斜率为－12，所以直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0，故选A．]
3．过点M(－3，2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0
D [直线x＋2y－9＝0的斜率k＝－12，则所求直线的斜率k1＝－12，所求直线的点斜式方程为y－2＝－12(x＋3)，
即x＋2y－1＝0，故选D．]
4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
A [法一：由题意得-AB=5， A-2B+3C=0，
所以A=-5B，C=73B，
所以直线方程为－5x＋y＋73＝0，
即15x－3y－7＝0.
法二：由A－2B＋3C＝0得13A－23B＋C＝0，
则直线Ax＋By＋C＝0过点13，-23，
其方程为y＋23＝5x-13，即15x－3y－7＝0.
故选A．]
5．(多选)(2022·泉州高二月考)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－12
D．若l1⊥l2，则m＝12
BD [由l1∥l2，得3－m(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝3，
当m＝－1时，l1与l2重合，故A错误，B正确．
由l1⊥l2，得(m－2)＋3m＝0，解得m＝12，故C错误，D正确．故选BD．]
二、填空题
6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
－415 [由题意知a＋2≠0，即a≠－2，令y＝0得x＝2aa+2，则2aa+2＝3，解得a＝－6，则直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
即4x－45y－12＝0，
令x＝0得y＝－415．]
7．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
25 [由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.
又a，b为正数，
所以2a＋3b＝(2a＋3b)·2a+3b
＝13＋6ab＋6ba≥13＋26ab·6ba＝25，
当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25．]
8．已知点A(3，1)，点B在直线l：2x＋y－2＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
x－2y－1＝0 [当线段AB最短时，AB⊥l，又kl＝－2，∴kAB＝12，把A(3，1)代入点斜式方程，得y－1＝12(x－3)，化为一般式方程为x－2y－1＝0．]
三、解答题
9．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
[解] (1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝12.
所以若方程表示一条直线，则m≠－1，
即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．
(2)由(1)，易知当m＝12时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝43.
(3)依题意，得2m-6m2-2m-3＝－3，
所以3m2－4m－15＝0，
又m2－2m－3≠0，所以m＝－53.
(4)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率为1，
所以－m2-2m-32m2+m-1＝1，2m2＋m－1≠0，
解得m＝43，
所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝43.
10．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
D [直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，斜率为2，
∵所求直线过点A且斜率为－12，
∴所求直线的方程为y＋2＝－12x，
即x＋2y＋4＝0.故选D．]
11．设A(－2，2)，B(1，1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )
A．-∞，-32∪[2，＋∞)
B．-32，2
C．(－∞，－2]∪32，+∞
D．-2，32
C [由ax＋y＋1＝0，得y＝－ax－1，因此直线l过定点P(0，－1)，
若直线l斜率存在，则斜率k＝－a.
如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意．
易得kPB＝1--11-0＝2，kPA＝2--1-2-0＝－32，结合图形知，－a≥2或－a≤－32，解得a≤－2或a≥32.故选C．]
12．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－2 B．－4
C．10 D．8
A [由已知得2m-4=0， m+4p-2=0，2-p+n=0， 解得n＝－2．]
13．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为12，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
－12 x＋y－5＝0 [由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－12；又因为PA的直线为x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3，即直线PB过(2，3)，故PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0．]
14．已知直线l1：x＋3y－5＝0，l2：3kx－y＋1＝0.若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k＝________．
±1 [如图所示，直线l1：x＋3y－5＝0分别交x轴、y轴于A，B两点，
直线l2：3kx－y＋1＝0过定点C(0，1)．
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点，且∠BCD＋∠BAD＝180°.
①由l1⊥l2知，1×3k＋3×(－1)＝0，解得k＝1.
②由∠BCD＋∠BAD＝180°，得∠BAD＝∠OCD．
设直线l1的倾斜角为α1，l2的倾斜角为α2，则α1＝180°－∠BAD，α2＝90°＋∠OCD，∴α1＝180°－∠BAD＝180°－∠OCD＝180°－(α2－90°)⇒α1＝270°－α2⇒tan α1＝tan (270°－α2)＝tan (90°－α2)
＝sin90°-α2cs90°-α2＝csα2sinα2＝1tanα2⇒tan α1·tan α2＝1，
∴－13×3k＝1⇒k＝－1.综上所述，k的值为±1．]
15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
[解] 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1)．
又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为x+12，2．
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，
∴x+12－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5，1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
学习
任务
1．探索并掌握直线的一般式方程．(数学抽象)
2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(数学抽象)
3．会进行直线方程的五种形式之间的互化．(逻辑推理)