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人教版数学九年级上册 第二十三章 旋转 学案
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旋转复习 ——半角模型的应用 人民教育出版社 初中数学 九年级上册 第二十三章 【课堂实录】 1、环节：推送导学·自主学习 2、环节：复习旧知·检测反馈 （1）复习旧知 师：最近我们学习了旋转有关的概念，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为什么？ 生：旋转中心 师：转动的角称为什么？ 生：旋转角 师：转动的方向称为什么？ 生：旋转方向 师：旋转方向有几类？ 生：两类，顺时针、逆时针 师：很好，这就是我们经常强调的旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向。（板书） 师：此外，我们还学习了旋转的基本性质，大家观察这个图，将△ABC绕点O顺时针旋转一定的角度得到△，请问，在这个变换中，有什么结论呢？ 生： 师：用文字怎么描述呢？ 生：对应点到旋转中心的距离相等 师：很好，那么角度上有什么结论呢？ 生： 师：用文字怎么描述呢？ 生：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 师：很好，那么图形上有什么结论呢？ 生：旋转前、后的图形全等。 师：很好，也就是哪两个图形全等？ 生：△△ 师：很好，既然有全等，那么我们就对应边相等、对应角相等。今天我们就继续学习旋转的应用。 （2）讲评课前导学 师：这是昨天“家校帮”导学单里的一道习题，老师看到88.2%的同学都回答正确了，但还是有一部分同学回答错误，现在请XX同学，你来回答一下，昨晚你选的是C，今天你能自我纠正一下吗？ 生：不是旋转角 师：为什么不是呢？ 生：因为点C与B不是对应点 师：那么C的对应点是哪个点？ 生：点E 师：所以哪个角是旋转角？ 生： 师：非常好，那么还有哪个角也是旋转角？ 生： 检测反馈 师：这是两个等边三角形同一个顶点重合，其实就是我们很熟悉的手拉手模型，那么图中可以看作是旋转关系的是哪一对三角形呢？现在我们用随机抽人的方式完成这道题。（板书：等边三角形） 生：选C 师：很好，你能不能进一步告诉大家，此时的旋转角是多少度？ 生：60° 师：为什么呢： 生：因为它是等边三角形 师：等边三角形与旋转角又有什么关系呢？ 生：因为B与C是对应点，所以是旋转角，而它是60° 师：非常好，接着大家看这道题，这是两个等腰三角形同一个顶点重合，且顶角相等，请大家拿起 遥控器，做出选择。 （学生做出选择） 师：好的，大部分同学都选择正确了，大家告诉老师，这是为什么呀？ 生：因为全等 师：哪一对全等？ 生：△△ 师：根据哪个判定？ 生：SAS 师：很好，那么夹角是哪一对？ 生： 师：很好，那么要注意用已知条件的角减去哪个角？ 生：公共角 师：很好，接着，我们再看这道题目，两个直角三角形，同一个顶点重合，将△ADN绕点A顺时针旋转90°后，能与△ABE重合，如果AN=4，那么EN等于多少？现在，请同学们按下遥控器，进行抢答。 （某学生获得抢答权） 生：因为旋转，所以AE=AN=4，而，因此利用勾股定理，就得到 师：非常好。 环节：组织交流·释疑拓展 （1）组织交流 师：刚才我们的研究都是在三角形背景下，现在老师将这道题稍微做一些变化，延长EB、DN，相交于点C，这个时候的四边形ABCD就是一个什么图形？ 生：正方形 师：很好，因为∠BAD=∠D=∠ABC=90°，而AB=AD，可以证明它是正方形。 现在，老师再添一条射线AM，使∠MAN=45°，于是，就在这个图形里出现了45°与90°，这就是我们今天要研究的半角模型，这其实是半角模型里非常特殊的一类，45°与90°。 那么，大家知道BM、MN、DN三者的数量关系是什么吗？ 生：BM+DN=MN 师：很好，说明大家昨天有认真地预习这个微课视频，结论都记得，那么怎么证明呢？ 生：将三角形ADN绕点A顺时针旋转90°， 师：很好，那么为什么你会选择这样的旋转呢？ 生：因为我们有三条线段，这样做，可以让我们要它转化到两个两个三角形里面，然后利用它们对应边相等去证明。 师：很好，他其实已经想得很远了，这里涉及到三条线段，那么我们如果能够把这两条线段转移到一条直线上，就可以了，那么这样的旋转，这三点一定共线吗？ 生：因为旋转，那两个对应角相等，所以这两个角相加等于180° 师：很好，因为旋转的辅助线经常涉及到三点共线，大家又经常忘记，所以我们以前常用什么辅助线添加方法？ 生：截长补短 师：很好，准确说是截长补短中的补短，那么补短的目的是为了什么？ 生：构造全等 师：那么如何证明全等呢？ 生：SAS 师：然后呢？ 生：因为这对全等，所以，∠1=∠2，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠2+∠3=45°，∴∠1+∠3=45°， 师：很好，这是一个难点，接着证明哪个全等？ 生：证明△≌△ 师：很好，他已经把大概的方法说出来了，一开始用的是旋转的方法，那么一定要交代三点共线，为了避免这个问题，我们可以采取截长补短，关键是构造这两个三角形全等。现在请大家打开学案的第2页，完成第1题。 如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A顺时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 猜想：_________________________ 证明：延长CB至点，使________，连接 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°∴ 在△和△中， 第1题图 ∴△≌△（______）， ∴，∠1=∠____， ∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠2+∠3=____°，∴∠1+∠3=____°， ∴， 在△和△中， ∴△≌△（______），∴， 又， 完成学案，教师点评 释疑拓展 师：刚才的这个方法是将红色的三角形进行旋转，那么还可以怎么旋转呢？ 生：旋转绿色的三角形。 师：很好，准确地应该怎么说？ 生：将△ABM绕点A逆时针旋转90° 师：那么用旋转又要涉及三点共线，我如果要避开旋转，应该怎么说？ 生：延长CD至点，使=BM 师：很好，这个思路与刚才类似，现在请大家拿起遥控器，完成这道题。 学生选择，然后教师请选择正确的同学来解释。 师：请X号，你来告诉大家，为什么第1个结论是正确的？ 生：因为可以证△≌△，就可以得到结论 师：很好，那么第2个结论为什么正确呢？ 生：因为∠1=∠2，∠1+∠3=45°，所以∠2+∠3=45°，就可以证得第2个结论 师：很好，现在请X号来解释第3个结论 生：接下来，可以证明△≌△，就可以得到，等量代换，就可以得到第3个结论 师：非常好，刚才的两种辅助线都是在补短，那么本题可以截长吗？ 生：可以 师：如果可以，应该怎么截？ 生：在MN上截取ME=BM 师：可以构造全等吗？条件够吗？ 生：不够 师：因此，请大家注意，截长补短因题而异 环节：变式教学·检测反馈 变式教学 师：现在，老师将这个图形再做变化，将∠MAN绕点A继续逆时针旋转，此时角的一边AM与CB的延长线相交，另一边与CB和DC的延长线都相交，我将与CB的交点命名为P，我用几何画板演示与P有关的线段，他们有数量关系吗？ 生：没有 师：既然没有特别关系，那我们就不再研究了，我们依然研究BM、MN、DN的数量关系，现在请大家拿起刻度尺，测量一下这三条线段，它们有没有特殊的关系？ 学生度量，并写出猜想。 生：BM+MN=DN 师：很好，老师还是先用几何画板看看是否成立。 几何画板初步验证结论 师：那么，应该如何证明呢？你能否从刚才得到结论？ 生：旋转三角形ABM，绕点A逆时针旋转90° 师：很好，那么辅助线应该怎么写？ 生：在DN上截取， 师：很好，现在请三四两组的同学完成这个证明。一二两组的同学，请思考，还能旋转哪个三角形，也能证明结论？ 生：△ADN，绕点A顺时针旋转90° 师：很好，辅助线应该怎么写？ 生：延长CB至点，使得 师：很好，请一二两组的同学，完成这个证明，这个问题有点难，请大家四人小组为单位，讨论一下，并写出你大概的证明思路。 （2）检测反馈 学生花5分钟讨论，并写出证明思路，教师请学生上台，阐述自己的证明思路： 方法一、 生：在DC上取点，使 师：很好，那么第一次是哪个全等？ 生： 师：哪个判定？ 生：SAS 师：那么这个全等可以得到什么结论？ 生：∠1=∠2， 师：那么∠1+∠3=45° 生：所以∠2+∠3=45°，所以 师：很好，这个难点他突破了，接下来证哪个全等？ 生： 师：很好，基本思路都对了，大家掌声鼓励。 方法二、 生：延长CB至点，使 师：证得哪对全等？ 生： 师：用哪个判定？ 生：SAS 师：由这个全等得到什么结论？ 生： 师：接下来角度上有什么结论？ 生： 师：而∠DAN+∠BAN=90° 生：所以，即 而∠MAN=45°，所以 师：很好，接下来证哪一对全等？ 生： 师：很好，基本思路都对了，大家掌声鼓励。 刚才的图形是将这个45°的角绕点A顺时针旋转，如果老师将其逆时针旋转，能得到类似的结论吗？这道题作为课后的思考题，老师用“家校帮”推送给大家，请大家课后完成。 环节：归纳总结·拓展提升 拓展提升 师：刚才所有的研究都是在正方形的背景之下，那么对于矩形和菱形，等我们学习完相似后，再进行研究。现在我们来看这个更加一般的图形，没有了45°与90°，但是依然有半角关系，你能否给这个四边形增加条件，使得BM+MN=DN这个结论依然成立？能否由刚才的旋转得到启发？ 生：AB=AD 师：很好，这个条件对于四边形而言，可以描述为什么？ 生：邻边相等 师：很好，那么角度上有没有要求呢？ 生：∠B+∠D=180° 师：用文字语言怎么描述？ 生：对角互补 师：因此，我们得到半角模型的三个条件：半角、邻边相等、对角互补，只要具备了这些条件，我们就能用上今天的方法。 归纳总结 师：当我们从原来对正方形的研究上升到对一般四边形的研究，这体现了什么数学思想？ 生：从特殊到一般 师：很好，那么在解题中，我们利用旋转，构造全等，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这又体 现了什么数学思想？ 生：转化思想 环节：云端补救·布置作业 （1）登录“家校帮”，观看课堂实录和微课，进行复习，完成推送的思考题和检测题． （2）完成学案上的练习． 【教学反思】 基于智慧课堂的初中数学高效教学的实践研究 在移动互联网时代，“智慧课堂”是以建构主义学习理论为依据，利用大数据分析、教育云端、物联网等新一代信息技术打造的智能、高效的课堂，而《新课标》指出数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，在本堂课的教学中，我将智慧课堂与初中数学教学相结合，应用“336教学模式”，以学生为中心，以学定教，具体流程如下： 本堂课主要围绕“半角模型的应用”展开旋转复习，复习课是所有课型里比较难上的一种，所以在教学设计上，我主要采取变式教学，由易到难，从特殊到一般，让学生层层深入，体会旋转这一重要方法的运用，教学中也不断渗透从特殊到一般、转化等数学思想，同时，在课堂的组织教学中，也通过抢答、分组讨论、几何画板演示、学生讲题等多种形式调动学生的积极性，增强学生的自我探究能力。在教学模式上，围绕着“基于智慧课堂的初中数学高效教学的实践研究”这一课题，积极探索以学定教、提高课堂效率的方式，采用了“336教学模式”，将智慧课堂的课前推送、课中即时反馈，课后云端补救和检测等融入到授课环节中。 课前，我通过网络空间的教学助手推送导学单，让学生事先观看微课并完成检测，能让教师在授课前就较全面地了解学情，以学定教。课中，通过动手操作、分组讨论，引导学生利用旋转，构造全等，几何画板的动画演示，让学生直观感受了旋转在此类题型中的重要作用，有效突出了重点，突破了难点。此外，HITEACH TBL2的IRS即时反馈系统、抢答和互动课堂“移动讲台”的拍照功能，都能让我在授课中及时了解学情，以便迅速调整教学策略。课后，我通过教学助手推送“课堂实录”、微课、课堂思考题、课后检测习题，并让学生登录家校帮，根据自身情况及时观看课堂实录和微课，不断复习并检测，也能让教师及时了解到学生的学习效果，从而为后续的教学制定教学策略，实现以学定教的目的。 整堂课的教学中，我应用“336教学模式”，将信息技术与初中数学教学恰倒好处地结合，无论是课前推送的导学单、课中的即时反馈，还是课后的云端补救和检测等，都是以学生为中心，及时根据学情制定和调整教学策略，以学定教，实现了智慧课堂与初中数学教学的融合，从而提高了教学的有效性和针对性，促进了数学高效课堂的形成。 【点评】 翁希凡老师的这节课教学目标明确具体，知识目标达成很清晰，教师的教态自然大方、语言规范准确，讲解到位，采用“336教学模式”，以学定教，以学生为主体，重视学生学习方法的培养，重视探究能力的培养，重视逻辑思维的发展，题型设置从易到难，采用变式教学循序渐进，根据教学内容和学生实际恰当地选择教学手段和教学媒体，将网络空间、智慧教室、几何画板等信息化工具，有机结合，融入到数学课堂中，学生能积极主动参与各环节，参与度高，课堂衔接流畅，教学效果良好。 课前让学生观看微课、完成习题，有助于培养学生的自主学习能力，也可以让教师提前了解学情，以学定教。在课中对“课前预习”的习题讲评，让学生的预习效果得到进一步巩固和提升。同时，授课教师采用动手操作、分组讨论、学生讲题等教学形式，培养了学生的自主探究能力，教师注重对学生的引导，善于激发学生的学习热情。几何画板的动画演示，突出了重点，突破了难点。随机抽人、IRS即时反馈、抢答、互动课堂的拍照展示等，都很好地展示了学生的学习情况，教师能根据学情及时调整教学策略，面向全体学生反馈信息。在习题设置中，采取变式教学，层层递进，渗透了从特殊到一般、转化等数学思想，有利于学生养成良好的逻辑思维习惯。课后的及时推送，可以让学生观看到课堂实录等，让学生根据自身情况进行复习，课后的检测也可以让教师及时了解到学生的掌握情况，从而有的放矢地进行下节课的教学。 翁希凡老师的这节课主要是围绕“半角模型的应用”进行旋转复习，教师能根据教学目标，采用“336教学模式”，从学生学情出发，熟练地运用信息技术，以学定教，整个教学过程井然有序，实现了智慧课堂与初中数学教学的融合，提高了课堂教学的高效性，教学效果良好。 点评：叶蓉 教材分析“旋转变换”是初中图形变换中的一个重要内容，本节课是在学生学完了第二十三章《旋转》后的复习课，旨在帮助学生进一步理解旋转的概念和性质，并能用旋转变换深入理解“半角模型”。学情分析学生已经学习了平移变换、轴对称变换、旋转变换这三个重要的图形变换，对几何图形已经具备了一定的认识，但是还缺乏一定的动态认识，对于在复杂图形中利用旋转变换解决问题，还存在一定难度。教学目标知识与技能复习旋转的概念与性质； 掌握利用旋转，构造全等的解题思路。过程与方法1、在问题的探讨中，通过一题多解，培养分析问题，多角度看待问题的能力； 2、借助智慧课堂（网络空间的“教学助手”“互动课堂”“家校帮”、Hiteach软件、几何画板)等信息技术的使用，提高教与学的有效性、高效性。情感、态度与价值观在分组讨论、合作交流中，培养学生善于观察、勇于探索和勤于思考、合作交流的能力； 体会从特殊到一般、转化等数学思想。教学重点复习旋转的概念与性质简述解决重、难点的措施课前推送微课和习题，让学生复习旋转的概念与性质，并完成自我检测，课堂复习环节，进一步通过检测形式，让学生继续复习旋转的概念与性质，突出重点。教学难点掌握利用旋转，构造全等的解题思路。借助几何画板演示旋转动画，让学生直观感受旋转变换，突破难点，通过HITEACH的即时反馈、网络空间的拍照展示等功能，及时了解学情，进一步突破难点。教学环境云端一体互动课堂（“教学助手”课前推送导学单、“互动课堂”进行授课、“教学助手”课后推送课堂实录、思考题、课后检测题，学生登录“家校帮”观看微课、完成课前导学和课后思考题及检测。）教学方法 自主合作探究与启发引导相结合 教学过程教学环节教师活动学生活动媒体作用及分析推送导学自主学习 （前一天晚上+课前）（0′06″—0′27″）课前推送导学单（微课、课前检测题），提前了解学情，以学定教。 通过观看微课，复习旋转的概念与性质，并且初步认识半角模型的解题思路，完成习题，进行自我检测。 通过网络空间的“教学助手”推送导学单（微课、课前检测题）,提前了解学情，以调整教学策略，实现以学定教的目的。复习旧知 检测反馈 （0′28″—10′16″）复习旋转概念与性质 讲评课前导学情况； 如图，△ABC和△ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ）． △ABC和△ADE B．△ABC和△ABD C．△ABD和△ACE D．△ACE和△ADE 4、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠DAE= ∠BAC，若∠DBA=25°，则∠ECA=（ ）． A．30° B．25° C．20° D．5° 5、如图，△ADN是直角三角形，将△ADN绕点A顺时针旋转90°后，能与△ABE重合，如果AN=4，那么EN=______． 第4题图 第3题图 第5题图 根据图形，复习旋转的概念和性质。 让学生进行自我纠正。 使用互动课堂的随机挑人功能，检测基本知识点的掌握情况。 用HITEACH TBL2的IRS即时反馈，检测学生的知识运用情况。 5、使用抢答功能，进一步巩固旧知。 让学生对导学单里的题目进行自我纠正，进一步加深学生对旋转概念、性质的理解； 互动课堂的随机挑人，可以保证所有学生都有机会被抽到，能较客观地反映学生对基础知识的掌握情况； IRS即时反馈，能及时检测学生的知识运用情况，便于教师及时调整教学策略； 使用抢答功能，进一步巩固旧知的同时，也能激发学生的学习兴趣。 组织交流 释疑拓展 （10′17″—24′34″） 1、如图，在正方形ABCD 中，∠MAN=45°，当 ∠MAN绕点A顺时针 旋转到如图的位置时，它的 的两边分别交CB，DC于点 M，N．线段BM，DN和M DN之间有怎样的数量关 关系？写出猜想，并给 第1题图 予证明． 几何画板演示旋转动 画，并提示学生是否有其 他做法？ 2、将第二种证法设置成选择题，及时检测学生对 “半角模型”解题方法的理解程度。 如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN的两边分别交BD于点M，N．延长CD至点，使，连接，下列结论： ① ② ③BM+DN=MN ④AN=AM，其中正确的是：（ ）． A．①② B．②④ C．①②③ D．①④ 第2题图 3、提问：可以截长吗？阶段小结：解题思路：利用旋转，构造全等。学生阐述解题思路，并完成学案；而后展示学案，教师点评，学生订正。 在教师的启发和几何画板的动画演示下，类比第一种方法，迅速找到第二种方法。 用IRS即时反馈系统，做出选择。1、互动课堂的“移动讲台”功能，及时拍照，展示学生的学案。 2、几何画板的动画演示，直观形象，较好地突出了重点，突破了难点。 3、IRS即时反馈系统，一题多解，通过将第二种证法设置成选择形式，以便及时检测学生对“半角模型”解题方法的理解程度。 变式教学检测反馈 （24′35″—41′37″）（变式1）如图，正 方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A顺时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC的延长线于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 引导学生动手测量（测量前，几何画板演示AN与BC的交点的情况），得到猜想，接着类比前两种方法进行解题，同时用几何画板演示动画演示突破难点。 2、（变式2·课后思考） 如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A逆时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC的反向延长线于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 第一、二两组的同学采用第一种方法进行证明； 四两组的同学采用第二种方法进行证明。 四人讨论，学生上台讲题，培养学生合作交流、自主探究的能力。 学生在课后完成这道思考题。用几何画板演示图形的变化过程，进行变式教学，让整堂复习课脉络清晰。 互动课堂的“移动讲台”功能，及时将学生的解题思路拍照上传，学生上台利用互动课堂进行白板放大和书写，方便清晰，效果很好。 利用家校帮推送这道思考题，及时有效。 归纳总结 拓展提升 （41′38″—44′35″） 1、如图，在四边形ABCD中， ，要使BM+DN=MN，还需要增加哪些条件？ 引导学生总结半角模型的重要条件、解题思路、本节课所涉及的数学思想（从特殊到一般、转化思想）。 半角 模型 学生在前两题的启发下，利用旋转，得到半角模型的条件：半角、邻边相等、对角互补。 在教师的启发引导下，学生对本堂课及其数学思想进行总结。 几何画板动画演示，再次给学生以启发，容易让学生得到结论。 云端补救布置作业 （44′36″—44′59″）1、登录“家校帮”，观看课堂实录和微课，进行复习，完成推送的思考题和检测题． 2、完成学案上的练习． 3、选做题 （1）如图，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠ MAN的两边分别交BD 于点M，N．求证： ． （2）如图，在Rt△ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD，点M、N均在边BD上，且∠MAN=45°． 求证： 学生课后登录“家校帮”，可以看到这节课的课堂实录，同时可以继续观看微课，根据自身情况，不断复习基本模型，并完成家校帮推送的课后检测习题，并完成学案。 使用“教学助手”推送本堂课的课堂实录、微课、思考题、检测题，学生可以登录“家校帮”，根据自身情况，不断观看课堂实录和微课，不断复习基本模型。同时，教师可以通过习题的完成情况，了解学情，为后续的教学提供依据。教学流程图
旋转复习 ——半角模型的应用 人民教育出版社 初中数学 九年级上册 第二十三章 【课堂实录】 1、环节：推送导学·自主学习 2、环节：复习旧知·检测反馈 （1）复习旧知 师：最近我们学习了旋转有关的概念，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为什么？ 生：旋转中心 师：转动的角称为什么？ 生：旋转角 师：转动的方向称为什么？ 生：旋转方向 师：旋转方向有几类？ 生：两类，顺时针、逆时针 师：很好，这就是我们经常强调的旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向。（板书） 师：此外，我们还学习了旋转的基本性质，大家观察这个图，将△ABC绕点O顺时针旋转一定的角度得到△，请问，在这个变换中，有什么结论呢？ 生： 师：用文字怎么描述呢？ 生：对应点到旋转中心的距离相等 师：很好，那么角度上有什么结论呢？ 生： 师：用文字怎么描述呢？ 生：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 师：很好，那么图形上有什么结论呢？ 生：旋转前、后的图形全等。 师：很好，也就是哪两个图形全等？ 生：△△ 师：很好，既然有全等，那么我们就对应边相等、对应角相等。今天我们就继续学习旋转的应用。 （2）讲评课前导学 师：这是昨天“家校帮”导学单里的一道习题，老师看到88.2%的同学都回答正确了，但还是有一部分同学回答错误，现在请XX同学，你来回答一下，昨晚你选的是C，今天你能自我纠正一下吗？ 生：不是旋转角 师：为什么不是呢？ 生：因为点C与B不是对应点 师：那么C的对应点是哪个点？ 生：点E 师：所以哪个角是旋转角？ 生： 师：非常好，那么还有哪个角也是旋转角？ 生： 检测反馈 师：这是两个等边三角形同一个顶点重合，其实就是我们很熟悉的手拉手模型，那么图中可以看作是旋转关系的是哪一对三角形呢？现在我们用随机抽人的方式完成这道题。（板书：等边三角形） 生：选C 师：很好，你能不能进一步告诉大家，此时的旋转角是多少度？ 生：60° 师：为什么呢： 生：因为它是等边三角形 师：等边三角形与旋转角又有什么关系呢？ 生：因为B与C是对应点，所以是旋转角，而它是60° 师：非常好，接着大家看这道题，这是两个等腰三角形同一个顶点重合，且顶角相等，请大家拿起 遥控器，做出选择。 （学生做出选择） 师：好的，大部分同学都选择正确了，大家告诉老师，这是为什么呀？ 生：因为全等 师：哪一对全等？ 生：△△ 师：根据哪个判定？ 生：SAS 师：很好，那么夹角是哪一对？ 生： 师：很好，那么要注意用已知条件的角减去哪个角？ 生：公共角 师：很好，接着，我们再看这道题目，两个直角三角形，同一个顶点重合，将△ADN绕点A顺时针旋转90°后，能与△ABE重合，如果AN=4，那么EN等于多少？现在，请同学们按下遥控器，进行抢答。 （某学生获得抢答权） 生：因为旋转，所以AE=AN=4，而，因此利用勾股定理，就得到 师：非常好。 环节：组织交流·释疑拓展 （1）组织交流 师：刚才我们的研究都是在三角形背景下，现在老师将这道题稍微做一些变化，延长EB、DN，相交于点C，这个时候的四边形ABCD就是一个什么图形？ 生：正方形 师：很好，因为∠BAD=∠D=∠ABC=90°，而AB=AD，可以证明它是正方形。 现在，老师再添一条射线AM，使∠MAN=45°，于是，就在这个图形里出现了45°与90°，这就是我们今天要研究的半角模型，这其实是半角模型里非常特殊的一类，45°与90°。 那么，大家知道BM、MN、DN三者的数量关系是什么吗？ 生：BM+DN=MN 师：很好，说明大家昨天有认真地预习这个微课视频，结论都记得，那么怎么证明呢？ 生：将三角形ADN绕点A顺时针旋转90°， 师：很好，那么为什么你会选择这样的旋转呢？ 生：因为我们有三条线段，这样做，可以让我们要它转化到两个两个三角形里面，然后利用它们对应边相等去证明。 师：很好，他其实已经想得很远了，这里涉及到三条线段，那么我们如果能够把这两条线段转移到一条直线上，就可以了，那么这样的旋转，这三点一定共线吗？ 生：因为旋转，那两个对应角相等，所以这两个角相加等于180° 师：很好，因为旋转的辅助线经常涉及到三点共线，大家又经常忘记，所以我们以前常用什么辅助线添加方法？ 生：截长补短 师：很好，准确说是截长补短中的补短，那么补短的目的是为了什么？ 生：构造全等 师：那么如何证明全等呢？ 生：SAS 师：然后呢？ 生：因为这对全等，所以，∠1=∠2，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠2+∠3=45°，∴∠1+∠3=45°， 师：很好，这是一个难点，接着证明哪个全等？ 生：证明△≌△ 师：很好，他已经把大概的方法说出来了，一开始用的是旋转的方法，那么一定要交代三点共线，为了避免这个问题，我们可以采取截长补短，关键是构造这两个三角形全等。现在请大家打开学案的第2页，完成第1题。 如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A顺时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 猜想：_________________________ 证明：延长CB至点，使________，连接 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°∴ 在△和△中， 第1题图 ∴△≌△（______）， ∴，∠1=∠____， ∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠2+∠3=____°，∴∠1+∠3=____°， ∴， 在△和△中， ∴△≌△（______），∴， 又， 完成学案，教师点评 释疑拓展 师：刚才的这个方法是将红色的三角形进行旋转，那么还可以怎么旋转呢？ 生：旋转绿色的三角形。 师：很好，准确地应该怎么说？ 生：将△ABM绕点A逆时针旋转90° 师：那么用旋转又要涉及三点共线，我如果要避开旋转，应该怎么说？ 生：延长CD至点，使=BM 师：很好，这个思路与刚才类似，现在请大家拿起遥控器，完成这道题。 学生选择，然后教师请选择正确的同学来解释。 师：请X号，你来告诉大家，为什么第1个结论是正确的？ 生：因为可以证△≌△，就可以得到结论 师：很好，那么第2个结论为什么正确呢？ 生：因为∠1=∠2，∠1+∠3=45°，所以∠2+∠3=45°，就可以证得第2个结论 师：很好，现在请X号来解释第3个结论 生：接下来，可以证明△≌△，就可以得到，等量代换，就可以得到第3个结论 师：非常好，刚才的两种辅助线都是在补短，那么本题可以截长吗？ 生：可以 师：如果可以，应该怎么截？ 生：在MN上截取ME=BM 师：可以构造全等吗？条件够吗？ 生：不够 师：因此，请大家注意，截长补短因题而异 环节：变式教学·检测反馈 变式教学 师：现在，老师将这个图形再做变化，将∠MAN绕点A继续逆时针旋转，此时角的一边AM与CB的延长线相交，另一边与CB和DC的延长线都相交，我将与CB的交点命名为P，我用几何画板演示与P有关的线段，他们有数量关系吗？ 生：没有 师：既然没有特别关系，那我们就不再研究了，我们依然研究BM、MN、DN的数量关系，现在请大家拿起刻度尺，测量一下这三条线段，它们有没有特殊的关系？ 学生度量，并写出猜想。 生：BM+MN=DN 师：很好，老师还是先用几何画板看看是否成立。 几何画板初步验证结论 师：那么，应该如何证明呢？你能否从刚才得到结论？ 生：旋转三角形ABM，绕点A逆时针旋转90° 师：很好，那么辅助线应该怎么写？ 生：在DN上截取， 师：很好，现在请三四两组的同学完成这个证明。一二两组的同学，请思考，还能旋转哪个三角形，也能证明结论？ 生：△ADN，绕点A顺时针旋转90° 师：很好，辅助线应该怎么写？ 生：延长CB至点，使得 师：很好，请一二两组的同学，完成这个证明，这个问题有点难，请大家四人小组为单位，讨论一下，并写出你大概的证明思路。 （2）检测反馈 学生花5分钟讨论，并写出证明思路，教师请学生上台，阐述自己的证明思路： 方法一、 生：在DC上取点，使 师：很好，那么第一次是哪个全等？ 生： 师：哪个判定？ 生：SAS 师：那么这个全等可以得到什么结论？ 生：∠1=∠2， 师：那么∠1+∠3=45° 生：所以∠2+∠3=45°，所以 师：很好，这个难点他突破了，接下来证哪个全等？ 生： 师：很好，基本思路都对了，大家掌声鼓励。 方法二、 生：延长CB至点，使 师：证得哪对全等？ 生： 师：用哪个判定？ 生：SAS 师：由这个全等得到什么结论？ 生： 师：接下来角度上有什么结论？ 生： 师：而∠DAN+∠BAN=90° 生：所以，即 而∠MAN=45°，所以 师：很好，接下来证哪一对全等？ 生： 师：很好，基本思路都对了，大家掌声鼓励。 刚才的图形是将这个45°的角绕点A顺时针旋转，如果老师将其逆时针旋转，能得到类似的结论吗？这道题作为课后的思考题，老师用“家校帮”推送给大家，请大家课后完成。 环节：归纳总结·拓展提升 拓展提升 师：刚才所有的研究都是在正方形的背景之下，那么对于矩形和菱形，等我们学习完相似后，再进行研究。现在我们来看这个更加一般的图形，没有了45°与90°，但是依然有半角关系，你能否给这个四边形增加条件，使得BM+MN=DN这个结论依然成立？能否由刚才的旋转得到启发？ 生：AB=AD 师：很好，这个条件对于四边形而言，可以描述为什么？ 生：邻边相等 师：很好，那么角度上有没有要求呢？ 生：∠B+∠D=180° 师：用文字语言怎么描述？ 生：对角互补 师：因此，我们得到半角模型的三个条件：半角、邻边相等、对角互补，只要具备了这些条件，我们就能用上今天的方法。 归纳总结 师：当我们从原来对正方形的研究上升到对一般四边形的研究，这体现了什么数学思想？ 生：从特殊到一般 师：很好，那么在解题中，我们利用旋转，构造全等，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这又体 现了什么数学思想？ 生：转化思想 环节：云端补救·布置作业 （1）登录“家校帮”，观看课堂实录和微课，进行复习，完成推送的思考题和检测题． （2）完成学案上的练习． 【教学反思】 基于智慧课堂的初中数学高效教学的实践研究 在移动互联网时代，“智慧课堂”是以建构主义学习理论为依据，利用大数据分析、教育云端、物联网等新一代信息技术打造的智能、高效的课堂，而《新课标》指出数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，在本堂课的教学中，我将智慧课堂与初中数学教学相结合，应用“336教学模式”，以学生为中心，以学定教，具体流程如下： 本堂课主要围绕“半角模型的应用”展开旋转复习，复习课是所有课型里比较难上的一种，所以在教学设计上，我主要采取变式教学，由易到难，从特殊到一般，让学生层层深入，体会旋转这一重要方法的运用，教学中也不断渗透从特殊到一般、转化等数学思想，同时，在课堂的组织教学中，也通过抢答、分组讨论、几何画板演示、学生讲题等多种形式调动学生的积极性，增强学生的自我探究能力。在教学模式上，围绕着“基于智慧课堂的初中数学高效教学的实践研究”这一课题，积极探索以学定教、提高课堂效率的方式，采用了“336教学模式”，将智慧课堂的课前推送、课中即时反馈，课后云端补救和检测等融入到授课环节中。 课前，我通过网络空间的教学助手推送导学单，让学生事先观看微课并完成检测，能让教师在授课前就较全面地了解学情，以学定教。课中，通过动手操作、分组讨论，引导学生利用旋转，构造全等，几何画板的动画演示，让学生直观感受了旋转在此类题型中的重要作用，有效突出了重点，突破了难点。此外，HITEACH TBL2的IRS即时反馈系统、抢答和互动课堂“移动讲台”的拍照功能，都能让我在授课中及时了解学情，以便迅速调整教学策略。课后，我通过教学助手推送“课堂实录”、微课、课堂思考题、课后检测习题，并让学生登录家校帮，根据自身情况及时观看课堂实录和微课，不断复习并检测，也能让教师及时了解到学生的学习效果，从而为后续的教学制定教学策略，实现以学定教的目的。 整堂课的教学中，我应用“336教学模式”，将信息技术与初中数学教学恰倒好处地结合，无论是课前推送的导学单、课中的即时反馈，还是课后的云端补救和检测等，都是以学生为中心，及时根据学情制定和调整教学策略，以学定教，实现了智慧课堂与初中数学教学的融合，从而提高了教学的有效性和针对性，促进了数学高效课堂的形成。 【点评】 翁希凡老师的这节课教学目标明确具体，知识目标达成很清晰，教师的教态自然大方、语言规范准确，讲解到位，采用“336教学模式”，以学定教，以学生为主体，重视学生学习方法的培养，重视探究能力的培养，重视逻辑思维的发展，题型设置从易到难，采用变式教学循序渐进，根据教学内容和学生实际恰当地选择教学手段和教学媒体，将网络空间、智慧教室、几何画板等信息化工具，有机结合，融入到数学课堂中，学生能积极主动参与各环节，参与度高，课堂衔接流畅，教学效果良好。 课前让学生观看微课、完成习题，有助于培养学生的自主学习能力，也可以让教师提前了解学情，以学定教。在课中对“课前预习”的习题讲评，让学生的预习效果得到进一步巩固和提升。同时，授课教师采用动手操作、分组讨论、学生讲题等教学形式，培养了学生的自主探究能力，教师注重对学生的引导，善于激发学生的学习热情。几何画板的动画演示，突出了重点，突破了难点。随机抽人、IRS即时反馈、抢答、互动课堂的拍照展示等，都很好地展示了学生的学习情况，教师能根据学情及时调整教学策略，面向全体学生反馈信息。在习题设置中，采取变式教学，层层递进，渗透了从特殊到一般、转化等数学思想，有利于学生养成良好的逻辑思维习惯。课后的及时推送，可以让学生观看到课堂实录等，让学生根据自身情况进行复习，课后的检测也可以让教师及时了解到学生的掌握情况，从而有的放矢地进行下节课的教学。 翁希凡老师的这节课主要是围绕“半角模型的应用”进行旋转复习，教师能根据教学目标，采用“336教学模式”，从学生学情出发，熟练地运用信息技术，以学定教，整个教学过程井然有序，实现了智慧课堂与初中数学教学的融合，提高了课堂教学的高效性，教学效果良好。 点评：叶蓉 教材分析“旋转变换”是初中图形变换中的一个重要内容，本节课是在学生学完了第二十三章《旋转》后的复习课，旨在帮助学生进一步理解旋转的概念和性质，并能用旋转变换深入理解“半角模型”。学情分析学生已经学习了平移变换、轴对称变换、旋转变换这三个重要的图形变换，对几何图形已经具备了一定的认识，但是还缺乏一定的动态认识，对于在复杂图形中利用旋转变换解决问题，还存在一定难度。教学目标知识与技能复习旋转的概念与性质； 掌握利用旋转，构造全等的解题思路。过程与方法1、在问题的探讨中，通过一题多解，培养分析问题，多角度看待问题的能力； 2、借助智慧课堂（网络空间的“教学助手”“互动课堂”“家校帮”、Hiteach软件、几何画板)等信息技术的使用，提高教与学的有效性、高效性。情感、态度与价值观在分组讨论、合作交流中，培养学生善于观察、勇于探索和勤于思考、合作交流的能力； 体会从特殊到一般、转化等数学思想。教学重点复习旋转的概念与性质简述解决重、难点的措施课前推送微课和习题，让学生复习旋转的概念与性质，并完成自我检测，课堂复习环节，进一步通过检测形式，让学生继续复习旋转的概念与性质，突出重点。教学难点掌握利用旋转，构造全等的解题思路。借助几何画板演示旋转动画，让学生直观感受旋转变换，突破难点，通过HITEACH的即时反馈、网络空间的拍照展示等功能，及时了解学情，进一步突破难点。教学环境云端一体互动课堂（“教学助手”课前推送导学单、“互动课堂”进行授课、“教学助手”课后推送课堂实录、思考题、课后检测题，学生登录“家校帮”观看微课、完成课前导学和课后思考题及检测。）教学方法 自主合作探究与启发引导相结合 教学过程教学环节教师活动学生活动媒体作用及分析推送导学自主学习 （前一天晚上+课前）（0′06″—0′27″）课前推送导学单（微课、课前检测题），提前了解学情，以学定教。 通过观看微课，复习旋转的概念与性质，并且初步认识半角模型的解题思路，完成习题，进行自我检测。 通过网络空间的“教学助手”推送导学单（微课、课前检测题）,提前了解学情，以调整教学策略，实现以学定教的目的。复习旧知 检测反馈 （0′28″—10′16″）复习旋转概念与性质 讲评课前导学情况； 如图，△ABC和△ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ）． △ABC和△ADE B．△ABC和△ABD C．△ABD和△ACE D．△ACE和△ADE 4、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠DAE= ∠BAC，若∠DBA=25°，则∠ECA=（ ）． A．30° B．25° C．20° D．5° 5、如图，△ADN是直角三角形，将△ADN绕点A顺时针旋转90°后，能与△ABE重合，如果AN=4，那么EN=______． 第4题图 第3题图 第5题图 根据图形，复习旋转的概念和性质。 让学生进行自我纠正。 使用互动课堂的随机挑人功能，检测基本知识点的掌握情况。 用HITEACH TBL2的IRS即时反馈，检测学生的知识运用情况。 5、使用抢答功能，进一步巩固旧知。 让学生对导学单里的题目进行自我纠正，进一步加深学生对旋转概念、性质的理解； 互动课堂的随机挑人，可以保证所有学生都有机会被抽到，能较客观地反映学生对基础知识的掌握情况； IRS即时反馈，能及时检测学生的知识运用情况，便于教师及时调整教学策略； 使用抢答功能，进一步巩固旧知的同时，也能激发学生的学习兴趣。 组织交流 释疑拓展 （10′17″—24′34″） 1、如图，在正方形ABCD 中，∠MAN=45°，当 ∠MAN绕点A顺时针 旋转到如图的位置时，它的 的两边分别交CB，DC于点 M，N．线段BM，DN和M DN之间有怎样的数量关 关系？写出猜想，并给 第1题图 予证明． 几何画板演示旋转动 画，并提示学生是否有其 他做法？ 2、将第二种证法设置成选择题，及时检测学生对 “半角模型”解题方法的理解程度。 如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN的两边分别交BD于点M，N．延长CD至点，使，连接，下列结论： ① ② ③BM+DN=MN ④AN=AM，其中正确的是：（ ）． A．①② B．②④ C．①②③ D．①④ 第2题图 3、提问：可以截长吗？阶段小结：解题思路：利用旋转，构造全等。学生阐述解题思路，并完成学案；而后展示学案，教师点评，学生订正。 在教师的启发和几何画板的动画演示下，类比第一种方法，迅速找到第二种方法。 用IRS即时反馈系统，做出选择。1、互动课堂的“移动讲台”功能，及时拍照，展示学生的学案。 2、几何画板的动画演示，直观形象，较好地突出了重点，突破了难点。 3、IRS即时反馈系统，一题多解，通过将第二种证法设置成选择形式，以便及时检测学生对“半角模型”解题方法的理解程度。 变式教学检测反馈 （24′35″—41′37″）（变式1）如图，正 方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A顺时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC的延长线于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 引导学生动手测量（测量前，几何画板演示AN与BC的交点的情况），得到猜想，接着类比前两种方法进行解题，同时用几何画板演示动画演示突破难点。 2、（变式2·课后思考） 如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，当∠MAN绕点A逆时针旋转到如图的位置时，它的两边分别交CB，DC的反向延长线于点M，N．线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并给予证明． 第一、二两组的同学采用第一种方法进行证明； 四两组的同学采用第二种方法进行证明。 四人讨论，学生上台讲题，培养学生合作交流、自主探究的能力。 学生在课后完成这道思考题。用几何画板演示图形的变化过程，进行变式教学，让整堂复习课脉络清晰。 互动课堂的“移动讲台”功能，及时将学生的解题思路拍照上传，学生上台利用互动课堂进行白板放大和书写，方便清晰，效果很好。 利用家校帮推送这道思考题，及时有效。 归纳总结 拓展提升 （41′38″—44′35″） 1、如图，在四边形ABCD中， ，要使BM+DN=MN，还需要增加哪些条件？ 引导学生总结半角模型的重要条件、解题思路、本节课所涉及的数学思想（从特殊到一般、转化思想）。 半角 模型 学生在前两题的启发下，利用旋转，得到半角模型的条件：半角、邻边相等、对角互补。 在教师的启发引导下，学生对本堂课及其数学思想进行总结。 几何画板动画演示，再次给学生以启发，容易让学生得到结论。 云端补救布置作业 （44′36″—44′59″）1、登录“家校帮”，观看课堂实录和微课，进行复习，完成推送的思考题和检测题． 2、完成学案上的练习． 3、选做题 （1）如图，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠ MAN的两边分别交BD 于点M，N．求证： ． （2）如图，在Rt△ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD，点M、N均在边BD上，且∠MAN=45°． 求证： 学生课后登录“家校帮”，可以看到这节课的课堂实录，同时可以继续观看微课，根据自身情况，不断复习基本模型，并完成家校帮推送的课后检测习题，并完成学案。 使用“教学助手”推送本堂课的课堂实录、微课、思考题、检测题，学生可以登录“家校帮”，根据自身情况，不断观看课堂实录和微课，不断复习基本模型。同时，教师可以通过习题的完成情况，了解学情，为后续的教学提供依据。教学流程图
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