第06讲 拓展一 一元二次（分式）不等式解法（含参数讨论问题，4类题型）（精讲）-2023-2024学年高一数学同步学精讲精练（人教A版必修第一册）

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第06讲 拓展一 一元二次（分式）不等式解法 （含参数讨论问题） 一、知识清单 知识点01：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点02：四个二次的关系 1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 知识点03：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点04：解分式不等式 1、分式不等式定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 二、题型精讲 题型01一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为正） 【典例1】（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________. 【典例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）的解集是_______. 【典例3】（2023·高一课时练习）不等式的解集为______． 【变式1】（2023·上海长宁·统考一模）不等式的解集为___________ 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为______. 题型02一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为负） 【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）不等式的解集为___________ 【典例2】（2023秋·北京顺义·高一统考期末）不等式的解集是__________. 【典例3】（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）不等式的解集为___________. 【变式1】（2023·上海·高三统考学业考试）一元二次不等式的解集为______________ 【变式2】（2023·江西九江·校考模拟预测）不等式的解集为______． 【变式3】（2023秋·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）不等式的解为___________. 题型03分式不等式 【典例1】（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）不等式的解集为__________. 【典例2】（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）不等式的解集为________． 【典例3】（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）不等式的解集是________． 【典例4】（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）不等式的解集是__________. 【变式1】（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）不等式的解集是___________. 【变式2】（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______. 【变式3】（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）（1）解不等式； 题型04一元二次不等式（含参）的求解 （两根大小不确定从两根相等开始讨论） 【典例1】（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）求关于x的不等式的解集． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：． 【典例3】（2023秋·山东泰安·高一统考期末）已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值： (2)若，解不等式． 【典例4】（2023秋·山东淄博·高一统考期末）已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式1】（2023·高一单元测试）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【变式2】（2023春·辽宁沈阳·高二新民市高级中学校考阶段练习）已知不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 题型05一元二次不等式（含参）的求解 （首项系数含参从0开始讨论） 【典例1】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式. 【典例2】（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【典例3】（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）已知，解关于的不等式． 【典例4】（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 【变式2】（2023秋·山东济宁·高一济宁一中校考期末）已知不等式的解集为或， (1)求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式． 题型06一元二次不等式（含参）的求解 （不可因式分解型） 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：（）； 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．判别式二次函数(的图象一元二次方程 ()的根有两个不相等的实数根，()有两个相等的实数根没有实数根()的解集()的解集