第05讲 空间向量的概念及其运算、空间向量法和几何法求空间角和空间距离（9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

2024高考数学一轮复习 第05讲 空间向量的概念及其运算 空间向量法和几何法求空间角和空间距离 （核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-12分 【备考策略】1.掌握空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会运用空间两点间的距离公式 2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，会求平面法向量 4.熟练掌握空间中点线面的位置关系，会运用空间向量证明平行、垂直关系 5.会运用空间向量求空间距离及空间角 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般在解答题中考查线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性质，考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习. 知识讲解 1．空间向量及其有关概念 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2). (2)空间向量的坐标运算： 3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，eq \f(π,2)]，公式为cos θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|) 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|). 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))〉． 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 考点一、空间向量的基本概念及其运算 1．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（    ） A． B． C． D． 3．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北十堰·统考二模）（多选）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）以下四组向量在同一平面的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（    ）. A． B． C． D． 3．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）下列命题是真命题的有(    ) A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点，是平面α的法向量，则u+t＝1 考点二、空间中的距离求解 1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为 .    3．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和： . 3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 考点三、异面直线所成角 1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点E在射线PD上，F，G分别是BC，PC的中点，则异面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 考点四、线面角 1．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 2．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2020·海南·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 4．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． (1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； (2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：； 条件②：∠PED＝60°； 条件③：PM＝3ME： 条件④：PE＝3ME． 5．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 1．（2021·浙江·统考高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，. (1)求证：平面平面； (2)若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值. 考点五、二面角 1．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．      (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 3．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 4．（2023·河北·模拟预测）如图，在五边形中，四边形是矩形，，将沿着折起，使得点到达点的位置，且平面平面，点，分别为线段，的中点，点在线段上，且.    (1)当时，证明：平面； (2)设平面与平面的夹角为，求的最大值及此时的值. 5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点． (1)求证：； (2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值． 1．（2023·福建三明·统考三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.    (1)当时，证明并求四棱锥的体积； (2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是平行六面体中线段上一点，且．    (1)证明：平面； (2)已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值． 3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 4．（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 5．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，面，， (1)证明：； (2)若棱台的体积为，，求二面角的余弦值． 考点六、体积综合 1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，点在平面内的投影落在棱上，． (1)求证：平面平面； (2)若，，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 3．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面． (1)求证：； (2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为? 1．（2023·河北保定·统考二模）如图，四棱台的底面是菱形，且，平面，，，.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，. (1)求证：平面； (2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积. 3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．      (1)求证：； (2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积． 考点七、立体几何小题综合 1．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时， ①点在空间形成的轨迹为圆 ②三棱锥的体积最大值为 ③的最大值为2 ④与平面所成角的正切值的最大值为 上述结论中正确的序号为（    ）． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 多选题 2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（    ）    A．当时， B．，使得平面 C．，使得平面 D．当时，与平面所成角为 3．（2023·全国·模拟预测）如图，正四棱锥的所有棱长均为1，E为BC的中点，M，N分别为棱PB，PC上的动点，设，，，则（    ） A．AM不可能垂直于BN B．的取值范围是 C．当时，平面平面ABCD D．三棱锥的体积为定值 4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（    ）    A．的最小值为2 B．四面体的体积为 C．有且仅有一条直线与垂直 D．存在点，使为等边三角形 5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）正四棱柱，底面边长为，侧棱长为2，则下列结论正确的（    ） A．点到平面的距离是． B．四棱锥内切球的表面积为． C．平面与平面垂直． D．点为线段上的两点，且，点为面内的点，若，则点的轨迹长为． 6．（2023·广东广州·统考二模）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ） A．若取得最小值，则 B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D．直线到平面的距离为 7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面，为线段上的动点，分别为线段中点，则下列命题中正确的是（    ）    A．三棱锥的外接球体积的最大值为 B．直线与所成角的余弦值的取值范围是 C．当为中点时，三棱锥的体积为 D．存在点，使得 8．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（    ） A． B．二面角的大小为 C．点到平面距离的取值范围是 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（    ） A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为 B．若，三棱锥的体积不是定值 C．若，有且仅有一个点P，使得平面 D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是 多选题 2．（2023·山东·校联考二模）如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线与是异面直线 C．直线与可能垂直 D．若，则二面角的大小为 3．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最小值为； C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是 D．若，则 4．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（    ）    A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，若平面，则的最大值为 C．当时，若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 6．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）    A．直线可能与平面相交 B．三棱锥与三棱锥的体积之和为 C．的周长的最小值为 D．当点是的中点时，与平面所成角最大 7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则 D．当时，若点满足，则的取值范围是 8．（2023·安徽黄山·统考二模）如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（    ） A．存在唯一的点，使得 B．若，则点的轨迹长为4 C．若，则四面体的外接球的表面积为 D．若，则点的轨迹长为 考点八、等体积转化求点面距 1．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折得到四面体，且. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小. 2．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求点D到平面的距离； (2)若，求二面角的大小. 1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面， (1)求到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的正弦值. 考点九、几何法求空间角 1．（2023·山东·校联考二模）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，. (1)证明：四边形MNFD为矩形； (2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值. 2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点.    (1)求证：PB平面AEC； (2)设PA=AB=1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值. 3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且. (1)求证：面ABC； (2)若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值. 4．（2022秋·湖北·高三校联考期中）如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 5．（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图①，，将图①中左右两个三角形沿着翻折成为图②所示的三棱锥，棱上的点满足. (1)过点作截面平面，写出作法并证明； (2)当二面角的大小为时，求直线与（1）中平面所成角的正切值. 1．（2023秋·山东临沂·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，．    (1)证明；平面平面； (2)设P为上的一个动点，是否存在点P使得与平面所成角为30°，若存在，求，若不存在，说明理由． 2．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）如图三棱柱中，是边长为2的正三角形，，二面角的余弦值为.      (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，点分别是的中点，点是线段上一点，且平面．    (1)求证：点是线段的中点； (2)求二面角的余弦值． 4．（2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面.    (1)求证：直线平面； (2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角. 5．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台中，，，为中点，在上，.    (1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【基础过关】 一、单选题 1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 4．（2023·福建·统考一模）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得∥平面 C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为 D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为 5．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C． D．与夹角的余弦值为 三、解答题 6．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． 7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，且，，且，且，平面，． (1)求平面与平面的夹角； (2)求直线到平面的距离． 8．（2023·云南大理·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点． (1)求证：； (2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值． 9．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. (1)证明：. (2)设二面角的平面角为，且，求的值. 10．（2023·全国·校联考模拟预测）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2． (1)证明：图2中C，D，E，G四点共面； (2)求图2中二面角的平面角的余弦值． 【能力提升】 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，若三棱锥的体积等于时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 4．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为，为棱的中点，点满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时，三棱锥的体积是定值 D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的取值范围是 5．（2023·福建宁德·校考二模）在棱长为1的正方体中，，，分别为线段，，上的动点（，，均不与点重合），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，，，使得平面 B．存在点，，，使得 C．当平面时，三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为 D．记，，与平面所成的角分别为，，，则 三、解答题 6．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．    (1)证明：； (2)求二面角的平面角的余弦值． 7．（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．    (1)求侧棱的长； (2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 8．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，． (1)证明：． (2)若，点到平面的距离为，求二面角的余弦值． 9．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面. (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 10．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面． (1)求点到平面的距离； (2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值． 【真题感知】 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、解答题 3．（2020·江苏·统考高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 4．（2020·天津·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 6．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 7．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 8．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 9．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 10．（全国·统考高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第18题,12分空间位置关系的向量证明 面面角的向量求法 已知面面角求其他量无2023年新Ⅱ卷，第20题,12分证明线面垂直 线面垂直证明线线垂直面面角的向量求法2022年新I卷，第9题,5分求异面直线所成的角 求线面角无2022年新I卷，第19题,5分求点面距离 面面角的向量求法无2022年新Ⅱ卷，第20题,12分面面角的向量求法证明线面平行2021年新I卷，第12题,5分求空间向量的数量积 空间向量的坐标表示垂直关系2021年新I卷，第20题,12分由二面角大小求线段长度或距离锥体体积的有关计算 线面垂直证明线线垂直 面面垂直证线面垂直2021年新Ⅱ卷，第19题,12分面面角的向量求法证明面面垂直2020年新I卷，第20题,12分线面角的向量求法证明线面垂直2020年新I卷，第20题,12分线面角的向量求法证明线面垂直概念语言描述共线向量 (平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \o(OP, \s\up7(―→))＝xeq \o(OA, \s\up7(―→))＋yeq \o(OB, \s\up7(―→))＋zeq \o(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))