2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第八章第三节空间点、线、面之间的位置关系

第三节空间点、线、面之间的位置关系

1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)两条异面直线不能确定一个平面．
(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
[熟记常用结论]
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的2个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)
(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、选填题
1．下列说法正确的是(　　)
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
答案：D
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：选D　依题意，直线b和c的位置关系可能相交、平行或异面．
3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b⊂α B.b∥α
C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析：选D　b与α相交或b⊂α或b∥α都可能．
4．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号)．
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
答案：③④
5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．
解析：通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．
答案：7

考点一 平面的基本性质及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点．
[解题技法]
1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[过关训练]
　如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG为平行四边形；
(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC.
所以四边形BCHG为平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：
因为BE綊AF，G为FA的中点，所以BE綊FG.
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
考点二 空间两直线位置关系的判定 [师生共研过关]
[典例精析]
(1)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的序号是__________．

(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为________对．

[解析]　(1)图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，
但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，
但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．
所以在图②④中，GH与MN异面．
(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，
显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，
而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．
故互为异面直线的有3对．
[答案]　(1)②④　(2)3
[解题技法]
异面直线的判定方法

[过关训练]
1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：选D　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
2.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案：③④
考点三 求异面直线所成的角 [师生共研过关]
[典例精析]
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
[答案]　D
　　
1．(变条件)将本例条件“AA1＝2AB＝2”变为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
解析：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，得AA1＝1.
此时正四棱柱变为正方体ABCD­A1B1C1D1.
由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1或其补角，连接A1C1，
则△A1BC1为等边三角形，
∴∠A1BC1＝60°，∴cos∠A1BC1＝，
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
答案：
2．(变条件、变结论)将本例条件“AA1＝2AB＝2”变为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，其他条件不变，则的值为________．
解析：设＝t，则AA1＝tAB.
∵AB＝1，∴AA1＝t.
∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝＝.
∴t＝3，即＝3.
答案：3
[解题技法]
用平移法求异面直线所成的角的三步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，
所以cos ∠DB1F＝.
2．(2019·西安质检)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角．依题意得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝－，所以cos θ＝.

一、题点全面练
1．下列四个命题：
①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；③正确；④正确．故选C.
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．必要不充分条件 B.充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.
3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：选B　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
4．(2019·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC；　　②BD与GC是异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN；　　④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的个数是(　　)

A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选B　将平面展开图还原成正方体(如图所示)．
对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；
对于②，BD与GC显然是异面直线．如图，连接EB，ED，则EB∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；
对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；
对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．
5．如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

A．A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
解析：选A　连接A1C1，AC，因为A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
6．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个．
答案：1或4
7．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．
解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
答案：60°
8．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，

且＝＝，有以下四个结论．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
其中正确结论的序号为________．
解析：如图所示．连接EH，FG，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：④
9.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：
如图，连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，
所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)D1B与CC1是异面直线．理由如下：
因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，
所以B，C，C1，D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．
所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
10.已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1­BCA1的体积．
解：(1)因为AA1∥CC1，
所以异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点．
因为点O是正三角形ABC的中心，
且A1O⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，BC⊥A1O，
因为AD∩A1O＝O，
所以BC⊥平面ADA1.
所以BC⊥AA1，又因为AA1∥CC1，
所以CC1⊥BC，BC＝CC1＝B1C1＝BB1＝2，
即四边形BCC1B1为正方形，
所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.
(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以可求得AD＝，AO＝AD＝，
A1O＝＝.
所以VABC­A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，
VA1­BCC1B1＝VABC­A1B1C1－VA1­ABC＝，
所以VC1­BCA1＝VA1­BCC1＝VA1­BCC1B1＝.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是(　　)
A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行
B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直
C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直
解析：选D　对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面α内，边AC，BC可以与平面α都成30°角，故B错误；C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D正确．故选D.
2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(　　)
A．不存在 B.有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
解析：选D　如图，在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时，确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
3.如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为________．
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝PC.故∠ADE为异面直线PC，AD所成的角或其补角．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.故DE＝PC＝.在Rt△PAB中，PB＝＝＝2.又PD＝DB，所以AD＝PB＝.在Rt△EAB中，AE＝＝＝.在△DAE中，cos∠ADE＝＝＝－.故异面直线PC，AD所成角的余弦值为.
答案：
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是________(填序号)．
解析：借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．

答案：①④
(二)素养专练——学会更学通
5．[直观想象]如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是(　　)
A．4π B.π
C．2π D.
解析：选D　连接DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，半径R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S＝×4πR2＝.
6．[直观想象、逻辑推理](2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，
∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
答案：②③
7.[直观想象、逻辑推理、数学运算]如图所示，AC是圆O的直径，B，D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，PA⊥圆O所在的平面，PA＝，点M在线段BP上，且BM＝BP.
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：作ME⊥AB于点E，连接CE，则ME∥AP.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，
所以AD⊥DC，AB⊥BC，
所以∠BAC＝∠CAD＝30°，
∠BCA＝∠DCA＝60°，
AB＝AD＝，
因为BM＝BP，所以BE＝BA＝，
tan∠BCE＝＝，
所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，
所以EC∥AD.
又ME∩CE＝E，PA∩DA＝A，
所以平面MEC∥平面PAD，
又CM⊂平面MEC，CM⊄平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于点G，作BF∥CG交AG于点F，连接PF，
则∠PBF或其补角为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ.
易知AF＝1，BP＝，BF＝2，PF＝2，
故cos θ＝＝＝.
即异面直线BP与CD所成角的余弦值为.