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- 第03讲 空间中点、线、面位置关系与空间中的平行关系（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 2 次下载
- 第05讲 空间向量的概念及其运算、空间向量法和几何法求空间角和空间距离（9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 2 次下载
- 第七章 空间向量与立体几何（模块综合调研卷）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
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第04讲 空间中的垂直关系（4类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
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这是一份第04讲 空间中的垂直关系（4类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共5页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用
2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习.
知识讲解
空间中的垂直关系
线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
线面垂直的判定定理
线面垂直的性质定理
面面垂直的判定定理
面面垂直的性质定理
考点一、线面垂直判定定理
1．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．
5．（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，在多面体中，上底面与下底面平行，且都是正方形，该多面体各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等．已知，垂足为点，三棱锥的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，点M在棱PD上，且，．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求BM与平面所成角的余弦值．
3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
考点二、线面垂直性质定理
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
2．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
4．（2023·河北·校联考模拟预测）在三棱台中，平面，，分别是的中点，是棱上的动点.
(1)求证：；
(2)若是线段的中点，平面与的交点记为，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.
(1)证明：；
(2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值.
1．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．
(1)求证：；
(2)若点到直线的距离为，求的值．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2023·山东日照·三模）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知图1是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，，．将三角形沿折起，使得平面平面（如图2）．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.
(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
考点三、面面垂直判定定理
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
4．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
(1)证明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.
5．（2020·全国·统考高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
1．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，在上且满足.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.
(1)求证：平面平面；
(2)当二面角的二面角为60°时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求C点到面ABD的距离.
3．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若，点为的中点，求二面角的余弦值．
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．
(1)求证：平面平面PAE；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的大小．
考点四、面面垂直性质定理
1．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.
(1)求证：平面
(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.
3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
1．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.
2．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
3．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，.
(1)求证：；
(2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离.
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
【基础过关】
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，已知，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB．
(1)证明：；
(2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值．
3．（2023·云南大理·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
4．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.
5．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
6．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角形，E，F分别是棱上的点，且满足．
(1)求证：；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
8．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
9．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2023·广东惠州·统考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
【能力提升】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.
(1)证明：；
(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）如图，在三棱柱中，平面 .
(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
4．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
5．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.
6．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的取值范围.
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
8．（2023·云南·统考模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
9．（2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测）已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，，平面平面.
(1)证明：；
(2)三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
10．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
【真题感知】
1．（2020·全国·统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
2．（2020·江苏·统考高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
3．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
5．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
6．（山东·高考真题）在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面分别为的中点,且
(1)求证:平面平面;
(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比.
7．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
8．（福建·高考真题）如图，正三棱柱的所有棱长都为
， 为 中点．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面 的距离．
9．（全国·高考真题）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（1）证明：；
（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
10．（浙江·高考真题）如图，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影为的中点， 为的中点.
（1）证明：D 平面；
（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
面面角的向量求法
2021年新I卷，第20题,12分
线面垂直证明线线垂直
面面垂直证线面垂直
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或距离
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
求异面直线所成的角
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分
证明面面垂直
面面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面角的向量求法
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言
符号语言
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言
符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直
（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言
符号语言
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言
符号语言
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用
2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习.
知识讲解
空间中的垂直关系
线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
线面垂直的判定定理
线面垂直的性质定理
面面垂直的判定定理
面面垂直的性质定理
考点一、线面垂直判定定理
1．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．
5．（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，在多面体中，上底面与下底面平行，且都是正方形，该多面体各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等．已知，垂足为点，三棱锥的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，点M在棱PD上，且，．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求BM与平面所成角的余弦值．
3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，已知，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
考点二、线面垂直性质定理
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
2．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
4．（2023·河北·校联考模拟预测）在三棱台中，平面，，分别是的中点，是棱上的动点.
(1)求证：；
(2)若是线段的中点，平面与的交点记为，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.
(1)证明：；
(2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值.
1．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．
(1)求证：；
(2)若点到直线的距离为，求的值．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2023·山东日照·三模）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知图1是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，，．将三角形沿折起，使得平面平面（如图2）．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.
(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
考点三、面面垂直判定定理
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
3．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
4．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.
(1)证明：平面平面.
(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.
5．（2020·全国·统考高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
1．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，在上且满足.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.
(1)求证：平面平面；
(2)当二面角的二面角为60°时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求C点到面ABD的距离.
3．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若，点为的中点，求二面角的余弦值．
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．
(1)求证：平面平面PAE；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的大小．
考点四、面面垂直性质定理
1．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.
(1)求证：平面
(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.
3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，D，E分别为，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点F，使得平面与平面的夹角为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
1．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.
2．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
3．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，.
(1)求证：；
(2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离.
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
【基础过关】
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，已知，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB．
(1)证明：；
(2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值．
3．（2023·云南大理·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
4．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.
5．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
6．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，为正三角形，E，F分别是棱上的点，且满足．
(1)求证：；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
8．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
9．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2023·广东惠州·统考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
【能力提升】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.
(1)证明：；
(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）如图，在三棱柱中，平面 .
(1)求证:;
(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
4．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
5．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.
6．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的取值范围.
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
8．（2023·云南·统考模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.
9．（2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测）已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，，平面平面.
(1)证明：；
(2)三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
10．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.
【真题感知】
1．（2020·全国·统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
2．（2020·江苏·统考高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
3．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
5．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
6．（山东·高考真题）在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面分别为的中点,且
(1)求证:平面平面;
(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比.
7．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
8．（福建·高考真题）如图，正三棱柱的所有棱长都为
， 为 中点．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面 的距离．
9．（全国·高考真题）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（1）证明：；
（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
10．（浙江·高考真题）如图，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影为的中点， 为的中点.
（1）证明：D 平面；
（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
面面角的向量求法
2021年新I卷，第20题,12分
线面垂直证明线线垂直
面面垂直证线面垂直
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或距离
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
证明线面垂直
线面垂直证明线线垂直
求异面直线所成的角
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分
证明面面垂直
面面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分
证明线面垂直
线面角的向量求法
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言
符号语言
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言
符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直
（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言
符号语言
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言
符号语言
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