初中第四章 平行四边形4.2 平行四边形优秀巩固练习

这是一份初中第四章 平行四边形4.2 平行四边形优秀巩固练习，共23页。试卷主要包含了下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。


1．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．5
3．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）
A．2B．C．6D．
6．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．
A．48B．24C．12D．6
7．如图，点E，F分别在的边上，，连接．请问下列条件中不能使为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A．34B．36C．40D．100
9．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
10．如图，正方形的边长为，，，连结，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法中，正确的有（ ）
（1）对角线相等的平行四边形是菱形；（2）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）对角线相等且垂直的四边形是正方形（5）对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是 ．
13．菱形的周长是 24，两邻角比为1∶2，较长的对角线长为 ．
14．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别相等；b一组对边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式 ：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号）
15．矩形ABCD中平分交BC于平分交AD于F．
（1）说明四边形AECF为平行四边形；
（2）求四边形AECF的面积．
16．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
17．如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为 _______．
18．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求矩形的面积．
19．如图，四边形为平行四边形，对角线，交于点，E，F分别在，上，，．
(1)当时，判断四边形的形状并证明；
(2)当四边形为菱形时，求平行四边形的周长．
20．如图，在中，点D是边的中点，点F，E分别是及其延长线上的点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当满足____________条件时，四边形为菱形．（填写序号）
①．②，③，④．
21．如图，在四边形中，平分．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)过点作，交的延长线于点，若
①求菱形的面积．
②求四边形的周长．
22．如图，菱形的对角线和交于点，分别延长，至点，点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求．
23．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系，并说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且，．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
26．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线 AC上一点，连接DE，BE．
(1)求证∶BE=DE；
(2)如图2过点E作EF⊥DE，交边 BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证∶矩形DEFG是正方形；
②若正方形 ABCD的边长为9，CG=3，求正方形 DEFG的边长．
27．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2．A
【分析】由可得点F为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∵，
∴，
∴点F为中点，
又∵点E为边的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
3．D
【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案．
【详解】解：A．有一个角为直角的平行四边形是矩形，故A错误；
B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形．
4．B
【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
，于点，于点，
四边形是矩形，，
，与互相平分，
点是的中点，
，
当时，最小
∵
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据菱形是中心对称图形，可得点与点关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论．
【详解】解：四边形是菱形，且对角线交于原点O，
∴点与点关于原点成中心对称
，
故选：D
【点睛】本题考查了中心对称，相关知识点有：菱形的性质、中心对称的性质等，熟记相关性质是解题关键．
6．C
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积即可解答．
【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称、菱形的性质等知识点，判得阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
7．B
【分析】添加，证，得，再由菱形的判定即可得出结论；添加，证，得，再由菱形的判定即可得出结论；添加，可以由菱形的判定即可得出结论，从而得出答案．
【详解】证明：添加，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形，A选项不符合题意；
添加，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形，C选项不符合题意；
添加，
∵四边形是平行四边形，
∴为菱形，D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
8．C
【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积，进行计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为8，在各边上顺次截取，
∴，
∴四边形的面积为：；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质．熟练掌握正方形的性质，正确的识图，利用割补法求面积，是解题的关键．
9．D
【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数．
【详解】解：过点作，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转化角度是解决问题的关键．
10．B
【分析】如图所示（见详解），过点作于，可得，是直角三角形，可证明，求出的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵正方形的边长为，，，
∴，，
∴，是直角三角形，
∴，，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴在中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，三角形全等，直角三角形的综合，掌握正方形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11．A
【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐个判定即可得出答案．
【详解】解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形，故（1）错误；
（2）一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故（2）错误；
（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（3）错误；
（4）对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故（4）错误；
（5）对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故（5）正确．
所以正确的只有（5）一个，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
12．AB=BE（答案不唯一）
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=DC，
又∵AD=DE，
∴，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，则DC=BE，
∴▱DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形；
添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
13．
【分析】作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为，从而判断出是等边三角形，再根据勾股定理求出，然后根据菱形对角线互相平分可得．
【详解】解：如图，
菱形的周长是 24，
菱形的边长，
菱形的两邻角之比为，
较小的内角，
是等边三角形，
，
在菱形中，，，，
，
在中，
，
较长的对角线．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的基本性质，等边三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
14．①②
【分析】由a和b都可断为平行四边形，①②③中至少有一个a或者b，所以在平行四边形的基础上判定正方形，根据需要加条件．
【详解】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
15．（1）见解析；（2）30cm2
【详解】试题分析：
（1）由四边形ABCD是矩形可得AD∥BC（即AF∥CE），AB∥CD，由此可得∠BAC=∠ACD，结合AE平分∠BAC，CF平分∠ACD可得∠EAC=∠FCA，即可得到AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形；
（2）如图，过点E作EO⊥AC于点O，结合∠B=90°及AE平方∠BAC可得EO=EB，证Rt△ABE≌Rt△AOE可得AO=AB=6，在Rt△ABC中由勾股定理易得AC=10，从而可得OC=4，设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，这样在Rt△OEC中由勾股定理建立方程，解方程即可求得CE的值，这样就可求出四边形AECF的面积了.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC（即AF∥CE），AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴∠EAC=∠FCA，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）过点E作EO⊥AC于点O，
∵∠B=90°，AE平分∠BAC，
∴EO=BO，
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE，
∴AO=AB=6，
∵在Rt△ABC，AC=,
∴OC=AC-AO=4（cm）,
设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，
∴在Rt△OEC中由勾股定理可得：，解得：，
∴EC=5，
∴S四边形AECF=CE·AB=5×6=30（cm2）.
点睛：本题第2小题的解题关键是：通过作EO⊥AC于点O，证得EO=BE，AO=AB，即可在Rt△CEO中由勾股定理建立方程解得CE的长，这样就可由S平行四边形AECF=CE·AB来求出其面积了.
16．（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 为平行四边形，再根据即可得证；
（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为；．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2），，证是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，得出，得出，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)四边形是平行四边形；证明见解析．
(2)
【分析】（1）由已知易得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可，
（2）根据四边形为菱形时，可得，利用勾股定理即可求出菱形边长
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，∵四边形是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴
又∵，，
∴，
∴行四边形的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质、的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形、菱形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)见详解
(2)①，理由见详解
【分析】（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【详解】（1）证明：在中，D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）满足条件①时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
∵为中线，
∴，
即，
由（1）知，，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：①．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的判定方法，且证得得到是解决问题的关键．
21．(1)见解析
(2)①，②
【分析】(1)根据平行线的性质可知角相等，再根据角相等即可求得边平行且相等，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求得结论；
(2) ①根据余角的性质可知角相等，再根据勾股定理求出，最后根据面积关系求出四边形的面积；②根据①的结果直角求出四边形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形 是菱形．
（2）解：①∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
② ∵，，，
∴四边形的周长：，
【点睛】本题考查了菱形的判定性质，余角的性质，勾股定理，正确运用菱形判定和性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题；
（2）根据菱形的性质和勾股定理可得的长，进而可得到答案．
【详解】（1）证明：四边形是菱形
，，，
，
，
即，
，且，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质与判定．
23．（1）证明见解析；（2）OE=2．
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24．DM＝MN；理由见详解
【分析】取AD的中点H，连接HM，则BM＝HD，由已知可推出∠DHM＝∠MBN，∠BMN＝∠HDM，从而利用ASA判定△DHM≌△MBN，从而得到DM＝MN．
【详解】DM＝MN，理由如下：
取AD的中点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM＝HD＝AM＝AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM＝135°，
∵BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN＝135°，
∴∠DHM＝∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
又∵∠HDM+∠AMD＝90°，
∴∠BMN＝∠HDM，
，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM＝MN．
【点睛】此题主要考查了学生对角平分线的定义，正方形的性质及全等三角形的判定等知识点的综合运用．关键是添加合适的辅助线，构造全等三角形．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据AE=AF，可得∠AFE=∠AEF，再由∠CEF=45°，可得∠CFE=∠CEF=45°，从而得到∠AFC=∠AEC，进而得到∠AFD=∠AEB，可证得ΔABE≌ΔADF，从而得到AB=AD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∵∠CEF=45°，∠C=90°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFC=∠AEC，
∴∠AFD=∠AEB，
∴ΔABE≌ΔADF（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知：，
又，，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）由正方形得，可证得，可证得结果；
（2）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，利用角平分线的性质得EQ=EP，再利用ASA证明△EQF≌△EPD，即可得出EF=ED，从而证明结论；②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得DE的长．
【详解】（1）∵在正方形中，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①如图，作于点P，于点Q，
∵在正方形中，
∴，
∴和均为等腰直角三角形，由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
②∵在正方形，正方形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形，
根据勾股定理得，
∴，
∴，即正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性．
27．（1）45；（2）①见解析；②DF的长为2；（3）
【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝6，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝3，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，得出MG＝DG＝MP＝PH＝6，GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．