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苏科版八年级上册数学第2章轴对称（B卷）含解析答案
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这是一份苏科版八年级上册数学第2章轴对称（B卷）含解析答案，共36页。
第2章�轴对称（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如右图所示，则这时的实际时间应是（ ）．
A．3:20 B．3:40 C．4:40 D．8:20
2．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．图，，，，点为线段上一点，将线段沿折叠，点的对应点落在四边形外侧，连接，若，，则为( )
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
7．如图，在△ABC中．AB＝AC,BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．13
8．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1.5
9．在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②当时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
评卷人
得分
二、填空题
11．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
12．如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点，使得，得到第一个三角形；在射线上取一点，使得；得到第二个三角形；在射线上取一点C3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为 ．
13．如图，在RtABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且 MN平分∠AMC，若AN=2，则 BC的长为
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，∠ABC=3∠C，则BE= ．
15．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ ．
16．如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为 ．
17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上）
18．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）
评卷人
得分
三、解答题
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
20．在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．
21．如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)t为多少时，是等边三角形？
(2)P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠A=60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
(1)求∠BPC的度数；
(2)连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
23．已知BO，CO分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线．
(1)在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数．
(2)连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线．
(3)在图2中，已知＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积．
24．△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．
(1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
(2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
(3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．
25．已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，连接EC．
(1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
(2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
26．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的性质，即可得到答案．
【详解】∵镜中看到的图形，为时钟显示的镜像，即左右镜像
又∵从镜中看到时针在8点到9点之间
∴实际时钟的时针在3点到4点之间
∵从镜中看到分针显示为20分
∴实际时钟的分针显示为40分
∴实际时间应是：3:40
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质并运用到生活中的实际问题，从而完成求解．
2．B
【分析】根据轴对称的定义求解即可．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
【详解】①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，选项正确，符合题意；
②线段是轴对称图形，选项正确，符合题意；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在直线对称，选项错误，不符合题意；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，选项错误，不符合题意．
∴正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
3．C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CDAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【详解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如图，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
4．B
【分析】根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：如图，
由折叠得，∠
∵∠
又∠
∴∠故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；
由折叠得，∠
又
∴
∵
∴
∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，∠
∵
∴
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
5．D
【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
解得，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．B
【分析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，根据角平分线的性质可知：AD也是一条角平分线，则有DE=DF=DG，根据MDN平分△ABC的面积以此来列等式即可求解．
【详解】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则＋＝＋＋，
∵＝BM•DE，＝AM•DE，＝AC•DF，＝NC•DG，＝BN•DG，
∴BM•DE＋BN•DG＝AM•DE＋AC•DF＋NC•DG，
∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，
∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，
即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1；
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解答本题的关键．
7．C
【分析】利用轴对称的性质把CM＋DM转化为AM＋DM，利用两点之间线段最短即可得出AD为所求线段，通过面积求高即可．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM＋DM＝AM＋DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM＋DM的值最小，
∴AD的长为CM＋MD的最小值；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称在求最短距离上的应用，熟练的运用轴对称转化问题，并能利用面积求高是解题关键．
8．A
【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝O＝O＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠＝2×60°＝120°，
∴∠＝∠＝30°，
∵OP＝2，OC⊥，
∴OC＝O＝1；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
10．C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到 ，再证得，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．
【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝−∠OBA−∠OAB＝−∠CBA−∠CAB
＝−（−∠C）＝＋∠C，故①正确；
∵∠C＝，由①知：∠AOB＝＋∠C，
∴∠AOB＝，
∴∠AOF＝，
∴∠BOE＝，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝−−＝，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确；
综上可知，①②③正确，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质和判定、角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到是解决问题的关键．
11．12：51
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故答案为：12：51．
【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】∵直线L为线段AB的垂直平分线，
，，…
∵，，
∴，，即，
∴，，
∴，
同理，∴＝＝×，
∴＝＝××，
∴＝＝×××，
…
∴＝＝；
故答案为：
【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．
13．12
【分析】由角平分线的性质得到，结合，得到，继而证明是等腰三角形，再由含30°角直角三角形的性质解得，据此解答．
【详解】解：平分∠ACB，MN平分∠AMC，
是等腰三角形，
故答案为：12．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．
【分析】如图，延长 交于 证明 可得 再求解 再证明： 可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，延长 交于
AD平分∠BAC，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．14
【分析】AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，证明△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，证出△PGH是等边三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
【详解】解：把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14.
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、多边形内角和定理等知识；证明△PGH为等边三角形是解题的关键．
16．/
【分析】由“AAS”可证，设BD=CG=x，BC=GE=AB，由“AAS”可证，可得，求比值即可．
【详解】解：∵AD＝3BD，
∴设BD＝x，则AD＝3x，
∴AB＝4x，
∵ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，
∵，
∴∠A＝∠G＝60°，
∴∠ABC＝∠G＝60°，
∵∠ACE＝∠ADC，
∴∠BDC＝∠GCE，
在BCD和GEC中，
∴BCD≌GEC（AAS），
∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，
∴AG＝AC＋CG＝5x，
在ABF和GEF中，
∴ABF≌GEF（AAS），
∴AF＝FG＝x，
∴FC＝x，
∴＝；
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明ABF≌GEF是解题的关键．
17．①②④⑤
【分析】首先证明，推出，说明①正确；证明，推出，又，可得△CPQ为等边三角形，故④正确；证明，推出，故结论②正确；通过，得出⑤正确；现有条件不足以证明，故③错误．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，，，
，
，结论①正确；
，
，
又，
，
，
在和中，，，，
，
，，
又，
是等边三角形，结论④正确；
，
，结论②正确；
，
，
，
故结论⑤正确；
现有条件不足以证明，故③错误；
综上，正确的结论有4个，分别是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和应用、平行线的判定等，熟练掌握等边三角形的性质，从图中找出全等的三角形是解决问题的关键．
18．①②③④
【分析】连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌OCPE，可得AO=CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△A BD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【详解】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
19．（1）∠C＝35°；（2）DC＝6cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE=∠AED，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝ ，
∴∠C∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝12cm，
即2DE+2EC＝12cm，
∴DE+EC＝DC＝6cm．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
20．见解析
【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE．
【详解】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，
∴AD＝DF，AB＝AF，
∵AE⊥BD，
∴BE＝EF＝BF，
∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，
∴AC＝2BE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．
21．(1)
(2)或6，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得AP=2tcm，BQ=tcm，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=24cm，从而得到PB=24-2t，然后根据等边三角形的性质可得关于t的方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当∠BPQ=90°时，当∠PQB=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t为8时，是等边三角形；
（2）解：当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
综上所述，当t为或6时，是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．(1)120°
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义，三角形内角和即可得出答案；
（2）在BC上截取BD=BF，连接PD，可证得：△BPF≌△BPD，故PF=PD，∠BPF=∠BPD．再证得△DCP≌△ECP，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．
∴∠PBC+∠PCB=60°．
∴∠BPC=120°．
（2）证明：在BC上截取BD=BF，连接PD．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，．
∵,
∴△BPF≌△BPD．
∴PF=PD，∠BPF=∠BPD．
∵∠BPC=120°，
∴∠BPF=60°．
∴∠BPD=∠CPD=∠CPE=60°．
∵∠DCP=∠ECP，CP=CP，
∴△DCP≌△ECP．
∴PD=PE．
∴PF=PE．
∴△EFP是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等的性质和判定，等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和，掌握以上知识点是解题的关键．
23．(1)50°
(2)证明见解析
(3)20
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠BAC=∠ACE-∠ABC，根据角平分线的定义解答．
（2）如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．证明OM=ON，可得结论．
（3）利用三角形面积公式求出OT，再根据，求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC，
∵CO是∠ACE的角平分线，
∴∠OCE＝∠ACE，
∵OB是∠ABC的角平分线，
∴∠OBE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC
＝2∠OCE−2∠OBE
＝2（∠OCE−∠OBE）
＝2∠O＝50°；
（2）证明：如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．
∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE，
∴ON＝OT，
∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE，
∴OM＝OT，
∴OM＝ON，
∴AO平分∠CAD．
（3）解：如图2，
∵＝•BC•OT＝16，BC＝4，
∴OT＝8，
∴OM＝ON＝OT＝8，
∴
＝16＋×6×8−×5×8
＝16＋24−20
＝20．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题．
24．(1)见解析
(2)
(3)AC＋CD＝AM，理由详见解析
【分析】（1）欲证BE＝AD，只要证明△ACD≌△BCE即可；
（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，先根据三角形的内角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性质以及（1）中结论即可求解；
（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根据等腰三角形的判定与性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，
∵BF⊥AD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）解：如图2，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）知：BE＝AD＝5，
∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB＝AE，
∴BF＝BE＝；
（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：
如图3，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）可得△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵BF⊥AD，
∴，
∵AF平分∠EAM，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠M＝∠E，
∴AM＝AE＝AC＋CE，
∴AC＋CD＝AM．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)
(2)AC−CE＝CM，证明过程详见解析
【分析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝CM，进而判断出，即可得出结论；
（2）如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出，再判断出，判断出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
∵，AB＝AC，
∴，
∴在中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴；
（2）AC−CE＝CM，理由如下：
如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝CM．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．(1)；
(2)成立，；
(3)，见解析
【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等边三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，从而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求证；
（3）在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证得△MDN≌△M1DN，即可求证．
【详解】（1）解：BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BDC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，
故答案为：BM+NC＝MN；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）NC−BM=MN，理由如下：
证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
第2章�轴对称（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如右图所示，则这时的实际时间应是（ ）．
A．3:20 B．3:40 C．4:40 D．8:20
2．下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．图，，，，点为线段上一点，将线段沿折叠，点的对应点落在四边形外侧，连接，若，，则为( )
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
7．如图，在△ABC中．AB＝AC,BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．13
8．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1.5
9．在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②当时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
评卷人
得分
二、填空题
11．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
12．如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点，使得，得到第一个三角形；在射线上取一点，使得；得到第二个三角形；在射线上取一点C3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为 ．
13．如图，在RtABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且 MN平分∠AMC，若AN=2，则 BC的长为
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，∠ABC=3∠C，则BE= ．
15．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ ．
16．如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为 ．
17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上）
18．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）
评卷人
得分
三、解答题
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
20．在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．
21．如图，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)t为多少时，是等边三角形？
(2)P、Q在运动过程中，的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠A=60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
(1)求∠BPC的度数；
(2)连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
23．已知BO，CO分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线．
(1)在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数．
(2)连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线．
(3)在图2中，已知＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积．
24．△ABC中，，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．
(1)如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
(2)如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
(3)如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．
25．已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，连接EC．
(1)如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
(2)如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
26．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的性质，即可得到答案．
【详解】∵镜中看到的图形，为时钟显示的镜像，即左右镜像
又∵从镜中看到时针在8点到9点之间
∴实际时钟的时针在3点到4点之间
∵从镜中看到分针显示为20分
∴实际时钟的分针显示为40分
∴实际时间应是：3:40
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质并运用到生活中的实际问题，从而完成求解．
2．B
【分析】根据轴对称的定义求解即可．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
【详解】①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，选项正确，符合题意；
②线段是轴对称图形，选项正确，符合题意；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在直线对称，选项错误，不符合题意；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，选项错误，不符合题意．
∴正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．轴对称：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这两个图形成轴对称．
3．C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CDAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【详解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如图，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
4．B
【分析】根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：如图，
由折叠得，∠
∵∠
又∠
∴∠故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；
由折叠得，∠
又
∴
∵
∴
∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，∠
∵
∴
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
5．D
【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
解得，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．B
【分析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，根据角平分线的性质可知：AD也是一条角平分线，则有DE=DF=DG，根据MDN平分△ABC的面积以此来列等式即可求解．
【详解】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则＋＝＋＋，
∵＝BM•DE，＝AM•DE，＝AC•DF，＝NC•DG，＝BN•DG，
∴BM•DE＋BN•DG＝AM•DE＋AC•DF＋NC•DG，
∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，
∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，
即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1；
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解答本题的关键．
7．C
【分析】利用轴对称的性质把CM＋DM转化为AM＋DM，利用两点之间线段最短即可得出AD为所求线段，通过面积求高即可．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM＋DM＝AM＋DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM＋DM的值最小，
∴AD的长为CM＋MD的最小值；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称在求最短距离上的应用，熟练的运用轴对称转化问题，并能利用面积求高是解题关键．
8．A
【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝O＝O＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠＝2×60°＝120°，
∴∠＝∠＝30°，
∵OP＝2，OC⊥，
∴OC＝O＝1；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
10．C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到 ，再证得，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．
【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝−∠OBA−∠OAB＝−∠CBA−∠CAB
＝−（−∠C）＝＋∠C，故①正确；
∵∠C＝，由①知：∠AOB＝＋∠C，
∴∠AOB＝，
∴∠AOF＝，
∴∠BOE＝，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝−−＝，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确；
综上可知，①②③正确，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质和判定、角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到是解决问题的关键．
11．12：51
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故答案为：12：51．
【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】∵直线L为线段AB的垂直平分线，
，，…
∵，，
∴，，即，
∴，，
∴，
同理，∴＝＝×，
∴＝＝××，
∴＝＝×××，
…
∴＝＝；
故答案为：
【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．
13．12
【分析】由角平分线的性质得到，结合，得到，继而证明是等腰三角形，再由含30°角直角三角形的性质解得，据此解答．
【详解】解：平分∠ACB，MN平分∠AMC，
是等腰三角形，
故答案为：12．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．
【分析】如图，延长 交于 证明 可得 再求解 再证明： 可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，延长 交于
AD平分∠BAC，
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．14
【分析】AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，证明△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，证出△PGH是等边三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
【详解】解：把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14.
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、多边形内角和定理等知识；证明△PGH为等边三角形是解题的关键．
16．/
【分析】由“AAS”可证，设BD=CG=x，BC=GE=AB，由“AAS”可证，可得，求比值即可．
【详解】解：∵AD＝3BD，
∴设BD＝x，则AD＝3x，
∴AB＝4x，
∵ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，
∵，
∴∠A＝∠G＝60°，
∴∠ABC＝∠G＝60°，
∵∠ACE＝∠ADC，
∴∠BDC＝∠GCE，
在BCD和GEC中，
∴BCD≌GEC（AAS），
∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，
∴AG＝AC＋CG＝5x，
在ABF和GEF中，
∴ABF≌GEF（AAS），
∴AF＝FG＝x，
∴FC＝x，
∴＝；
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明ABF≌GEF是解题的关键．
17．①②④⑤
【分析】首先证明，推出，说明①正确；证明，推出，又，可得△CPQ为等边三角形，故④正确；证明，推出，故结论②正确；通过，得出⑤正确；现有条件不足以证明，故③错误．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，，，
，
，结论①正确；
，
，
又，
，
，
在和中，，，，
，
，，
又，
是等边三角形，结论④正确；
，
，结论②正确；
，
，
，
故结论⑤正确；
现有条件不足以证明，故③错误；
综上，正确的结论有4个，分别是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和应用、平行线的判定等，熟练掌握等边三角形的性质，从图中找出全等的三角形是解决问题的关键．
18．①②③④
【分析】连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌OCPE，可得AO=CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△A BD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【详解】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
19．（1）∠C＝35°；（2）DC＝6cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE=∠AED，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝ ，
∴∠C∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝12cm，
即2DE+2EC＝12cm，
∴DE+EC＝DC＝6cm．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
20．见解析
【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE．
【详解】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，
∴AD＝DF，AB＝AF，
∵AE⊥BD，
∴BE＝EF＝BF，
∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，
∴AC＝2BE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．
21．(1)
(2)或6，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得AP=2tcm，BQ=tcm，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=24cm，从而得到PB=24-2t，然后根据等边三角形的性质可得关于t的方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当∠BPQ=90°时，当∠PQB=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等边三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t为8时，是等边三角形；
（2）解：当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
综上所述，当t为或6时，是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22．(1)120°
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义，三角形内角和即可得出答案；
（2）在BC上截取BD=BF，连接PD，可证得：△BPF≌△BPD，故PF=PD，∠BPF=∠BPD．再证得△DCP≌△ECP，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．
∴∠PBC+∠PCB=60°．
∴∠BPC=120°．
（2）证明：在BC上截取BD=BF，连接PD．
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，．
∵,
∴△BPF≌△BPD．
∴PF=PD，∠BPF=∠BPD．
∵∠BPC=120°，
∴∠BPF=60°．
∴∠BPD=∠CPD=∠CPE=60°．
∵∠DCP=∠ECP，CP=CP，
∴△DCP≌△ECP．
∴PD=PE．
∴PF=PE．
∴△EFP是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等的性质和判定，等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和，掌握以上知识点是解题的关键．
23．(1)50°
(2)证明见解析
(3)20
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠BAC=∠ACE-∠ABC，根据角平分线的定义解答．
（2）如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．证明OM=ON，可得结论．
（3）利用三角形面积公式求出OT，再根据，求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC，
∵CO是∠ACE的角平分线，
∴∠OCE＝∠ACE，
∵OB是∠ABC的角平分线，
∴∠OBE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠ACE−∠ABC
＝2∠OCE−2∠OBE
＝2（∠OCE−∠OBE）
＝2∠O＝50°；
（2）证明：如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．
∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE，
∴ON＝OT，
∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE，
∴OM＝OT，
∴OM＝ON，
∴AO平分∠CAD．
（3）解：如图2，
∵＝•BC•OT＝16，BC＝4，
∴OT＝8，
∴OM＝ON＝OT＝8，
∴
＝16＋×6×8−×5×8
＝16＋24−20
＝20．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题．
24．(1)见解析
(2)
(3)AC＋CD＝AM，理由详见解析
【分析】（1）欲证BE＝AD，只要证明△ACD≌△BCE即可；
（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，先根据三角形的内角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性质以及（1）中结论即可求解；
（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根据等腰三角形的判定与性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，
∵BF⊥AD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）解：如图2，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）知：BE＝AD＝5，
∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB＝AE，
∴BF＝BE＝；
（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：
如图3，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）可得△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵BF⊥AD，
∴，
∵AF平分∠EAM，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠M＝∠E，
∴AM＝AE＝AC＋CE，
∴AC＋CD＝AM．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)
(2)AC−CE＝CM，证明过程详见解析
【分析】（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，先判断出∠FMA＝∠CME，再判断出FM＝CM，进而判断出，即可得出结论；
（2）如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，先判断出，再判断出，判断出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
∵，AB＝AC，
∴，
∴在中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴；
（2）AC−CE＝CM，理由如下：
如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，
∴，
∴，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转，得到线段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），
∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC−CE＝AC−AF＝CF＝CM．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．(1)；
(2)成立，；
(3)，见解析
【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等边三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，从而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求证；
（3）在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证得△MDN≌△M1DN，即可求证．
【详解】（1）解：BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BDC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，
故答案为：BM+NC＝MN；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）NC−BM=MN，理由如下：
证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
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