苏科版八年级上册数学第2章轴对称（A卷）含解析答案

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第2章�轴对称（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．熊猫“冰墩墩”和灯笼“雪容融”是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”简笔画是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列图形不是轴对称图形的是（  ）
A．线段 B．长与宽不相等的长方形 C．三角形 D．圆
3．下面图形中，对称轴最少的是（    ）
A．正方形 B．长与宽不相等的长方形 C．等边三角形 D．圆
4．如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点处，折痕为，如图②，如果为AB的中点，的面积为1，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简，（    ）

A． B． C． D．
6．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（    ）

A．0 B．3 C．4 D．5
8．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（    ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
9．如图，已知ÐO ，点 P 为其内一定点，分别在ÐO 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（    ）
A． B．
C． D．
10．如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（    ）．

A．60° B．70° C．80° D．100°

评卷人
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二、填空题
11．如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，的位置，与AD边相交于点G，若，则 ．

12．在中，DE、MN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、M，若，，则 ．
13．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝ °．

14．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为 ．
15．如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是 .

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为 .

17．等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ．

18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，点D为AB的中点，则CD的值是 cm.

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝ cm.


评卷人
得分



三、解答题
20．如图，点B，C分别在的两边上，点D是内一点，，，垂足分别为E，F，且，求证：．

21．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.

(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.
22．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．

23．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E.，F 分别在AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，BD=CE
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）求证：∠B=∠DEF；
（3）当∠A=40°时，求∠DFE 的度数．

24．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD．求证；BD是∠ABC的角平分线．

25．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．

26．如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点.求证：DE⊥MN.


参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2．C
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【详解】A．线段是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．长与宽不相等的长方形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．三角形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．圆是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．B
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
B．长与宽不相等的长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
C．等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；
D．圆是轴对称图形，有无数条对称轴．
∴长与宽不相等的长方形的对称轴最少．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟知轴对称图形的对称轴的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据翻折变换的性质可得＝1，再利用全等三角形的判定与性质得出＝1，最后利用得出结果．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠C＝∠＝＝90°，
由折叠的性质得：△BCD≌△，
∴＝1，
∵为AB的中点，
∴，
∵∠＝＝90°，，
∴（SAS），
∴＝1，
∴＝3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，得出，是解题的关键．
5．C
【分析】根据图形的变化面积随之变化，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可求解
【详解】解：观察图形的变化可知：
，
，
，

，
第2022次对折后，剩下部分的面积为，
所以，
故选择：C
【点睛】本题考查了翻折变换，规律型：图形的变化类，解决本题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
6．B
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．
【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，

∵和的角平分线交于点O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周长是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
7．B
【分析】分别连接OP1，OP2，P1P2，由三角形三边的关系及对称的性质，可确定P1P2的范围，根据这范围即可确定答案．
【详解】解：分别连接OP1，OP2，P1P2，如图所示，

则，
由对称知：，
∴，
∵，
∴．
∴A、C、D三个选项中提供的数值均不在上述范围内．
故选：B．
【点睛】本题考查了对称的性质，三角形三边的不等关系：任两边之和大于第三边，掌握此关系是关键．
8．C
【分析】首先求得点M关于直线的对称点M’，连接M’N，即可求得答案．
【详解】解：如图，点M’是点M关于直线的对称点，连接M’N，则M’N与直线的交点，即为点P，此时PA＋PB最短，
∵M’N与直线交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．

【点睛】此题考查了最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
9．D
【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.
【详解】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.
故选D.
【点睛】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.
10．C
【分析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，最小周长为A′B′，再根据三角形和四边形的内角和即可求出答案．
【详解】
作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴OM垂直平分A′P，ON垂直平分B′P，
∴A′A=AP，B′B=BP，
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′=180°，
∴∠A′PB′=180°-50°=130°，
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-130°=50°，
∴∠A′PA+∠BP B′=50°，
∴∠APB=130°-50°=80°，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线和轴对称的相关知识，两点之间线段最短，还考到了三角形和四边形的内角和，灵活使用垂直平分线的性质并能作出辅助线是解决问题的关键．
11．22°/22度
【分析】根据折叠的性质得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，再根据平行线的性质及直角三角形的两锐角互余求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，
∵长方形ABCD中，ADBC，
∴∠FEC＋∠EFD＝180°，∠GFE＝∠FEC，
∵∠FEC＝56°，
∴∠EFD＝124°，∠GFE＝56°，
∴∠EFD′＝124°，
∴∠GFD′＝∠EFD′−∠GFE＝68°，
∴∠D′GF＝90°−∠GFD′＝22°，
∴∠AGC'＝∠D′GF＝22°，
故答案为：22°．
【点睛】此题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质是解题的关键．
12．7或3/3或7
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，AM=CM，然后利用等线段转化AD+AM= BC+DM或BC-DM即可．
【详解】解：当BD与CM有公共点时
∵DE是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AM=CM，
∴AD+AM=BD+CM=BD+CD+DM=BC+DM=5+2=7．


当BD与CM没有公共点时
AD+AM=BD+CM=BC-DM=5-2=3
故答案为:7或3．

【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，线段和差计算，掌握线段垂直平分线性质，线段和差计算是解题关键．
13．100
【分析】延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【详解】解：连接AP，延长BP交AC于D，

∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．65°或115°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，
即顶角的度数为65°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案为：65°或115°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
15．14
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出EB＝ED，FD＝FC，即可得出答案．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，熟练掌握相关图形的性质是解本题的关键．
16．8
【分析】由等腰三角形的性质得到△ABC是△ACD的面积的两倍，然后用等面积法求得DE和CF的关系，进而得到CF的长．
【详解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴＝2××DE•AC＝DE•AC，
∵，
∴AB•CF＝DE•AC，
∵AC＝AB，
∴CF＝DE，
∵DE＝4，
∴CF＝8；
故答案为：8
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高．
17．8
【分析】由为等边三角形，得到三条边相等，三个角相等都为60°，再由两直线平行同位角相等及等边三角形的判定得到与为等边三角形，表示出四边形AEDF周长，等量代换即可求出所求．
【详解】解：为等边三角形，


四边形AEDF为平行四边形，
和为等边三角形，


∴四边形AEDF周长为：

故答案为：8．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．3
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3cm.
故答案为：3．
【点睛】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
19．7
【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，根据等腰三角形的性质得出AN⊥BC，BN＝CN，然后证明△BEM和△EFD为等边三角形，结合含30°直角三角形的性质求出BN的长，进而得出答案．
【详解】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝ME＝BM=4cm，
∵DFBC，
∴∠EFD＝∠EBC＝60°＝∠E，
∴△EFD为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵ME＝4cm，DE＝3cm，
∴DM＝1cm，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝DM＝cm，
∴BN＝BM−NM＝4－＝cm，
∴BC＝2BN＝7cm，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、含30°直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
20．证明见解析
【分析】连接AD，先利用条件证明≌，即可证明
【详解】连接AD，
，，，
，

在和中
，
≌，，
．
【点睛】本题考查了证明三角形全等的方法，熟练掌握即可解题.
21．(1)证明见解析；
(2)15

【分析】（1）根据AAS证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，再根据等腰三角形的性质即可得证；
（2）根据△AED≌△AFD可得DE＝DF，再根据△ABC的面积＝AB·DE＋AC·DF求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵△AED≌△AFD，DE＝3，
∴DF＝DE＝3，
∵AB＋AC＝10，
∴△ABC的面积＝AB·DE＋AC·DF＝（AB＋AC）·DE＝15．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，证明△AED≌△AFD是解题的关键．
22．见解析
【详解】试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小
试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．

23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得证；
（3）先根据三角形的内角和定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】证明：（1），
，
在和中，，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）已证：，
，
，
；
（3）在中，，
，
由（2）已证：，
，
由（1）已证：是等腰三角形，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
24．证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点F，利用ASA即可证出△DBC≌△FAC，从而得出BD=AF，结合题意可得BE垂直平分AF，根据垂直平分线的性质可得BA=BF，利用三线合一即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点F

∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC＋∠F=90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中

∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE＝BD
∴AE＝AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和三线合一是解题关键．
25．（1）30°；（2）证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，然后根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据等边三角形的判定可证△EDC是等边三角形，从而求出DC=EC，然后根据等角对等边可得EC=CF，从而证出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=∠B=60°
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
证明：（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴∠DEC=60°
∴△EDC是等边三角形
∴DC=EC
∵∠F=30°
∴∠CEF=∠ACB－∠F=30°=∠F
∴EC=CF
∴DC＝CF．
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质是解题关键．
26．证明见解析
【分析】连接DM，DN，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DM＝DN，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】证明：如图，连接DM，DN，

∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DM＝BC，DN＝BC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关性质定理，证得DM=DN是解题的关键．