2.1不等式性质应记知识要点 高中数学人教A版（2019）必修第一册

不等式性质应记要点

1、实数的基本性质

在研究不等式的性质,解不等式和证明不等式时,经常要用到实数的一些基本性质,这些基本性质可概括为8条公理.

公理1  a是正数a > 0；b是负数b<0；a >0且b<0 >a > b.

公理1可表述为:正数大于零,负数小于零,正数大于负数.

公理2若a > 0, b > 0,则l a l>l bl a > b；若a<0,b <0,则l a l>l bl a< b.

公理2可表述为:正(负)数中,绝对值较大的数其数值较大(小),反之亦然.

公理3 a > 0- a<0，

a<0 - a >0.

公理3 可表述为:正(或负)数的相反数是负(或正)数.

公理4 a - b > 0a > b；a - b = 0a = b，a - b<0a< b.

公理4可表述为:两数之差大于零,则被减数大于减数;两数之差等于零,则两数相等;两数之差小于零,则被减数小于减数,反之亦然.这是实数的三歧性.

公理4是实数的基本出发点,是实数大小比较的依据,通过“作差”并确定差的符号是实现两个实数比较大小的基本方法.

公理5 a>0且b>0>a+b > 0；a<0且b<0>a + b <0.

公理5可表述为:两个正(或负)数的和仍是正(或负）数.

公理6可表述为:同号(或异号)两数相乘或相除,其积或其商为正数(或负数),反之亦然.

公理7若a > 0,且b > 0,则:

公理7可表述为:两正数之商大于1,则被除数大于除数;两正数之商等于1,则被除数等于除数;两正数之商小于1,则被除数小于除数,反之亦然.

公理7是作商法的理论依据.

公理8  .

公理8可表述为:任何一个实数的平方都不小于零,反之亦然.

此外,还有:除零外,任何实数与它的倒数同号;两个正数,较大的倒数较小;正数的全量大于它的任一部分……

2.不等式的基本性质

由实数的基本性质可顺利地推出不等式的11条基本性质.

性质1 a > bb<a.

性质1是不等式的对称性,其证明要用到公理1.公理3,公理4.

性质2 a > b且b >Ca> c.

性质2是不等式的传递性,其证明要用到公理4、公理5.关于性质2,要正确处理带等号的问题:在传递性的两个不等式中,如果只有一个带等号,那么等号是传递不过去的，例如a ≥ b,b > ca > c,而a ≥ b,b≥ c不一定可推出a = c ,可能是a ≥ c ,也可能是a > c.当且仅当a = b且b= c时才会有a = c.

性质3  a > ba+c > b+ c.

性质3可由公理4证明,是不等式的不等量加等量法则.

性质3可表述为:不等式的两边同时加上或减去同一个数,所得不等式与原不等式同向.

推论:a + b > c< a> c - b.

性质3的推论是不等式的移项法则,该推论可表述为:不等式中任何一项,可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.

性质5  a > b,且c >da+c > b + d.

性质5是不等式的同向不等式可加原则,可表述为:同向不等式两边分别相加,所得的不等式与原不等式同向,简称为“同向不等式可以相加,不等号不变”.

性质5可推广为:两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向,其证明只需用到公理4,公理5.

性质5的补充  a > b,c < da-c > b - d.

性质5的补充是不等式的异向不等式可减原则,可表述为:两个异向不等式的两边分别相减,所得不等式与被减不等式同向.简称为:“两个异向不等式可以相减,不等号与被减不等式同向.”

性质4 若c > 0则a > b<ac > bc ，

若c <0则a > b ac < bc .

性质是不等式的不等量乘等量法则,可表述为:不等式的两边同时乘以同一个正数,所得不等式与原不等式同向;不等式的两边同时乘以同一个负数,所得不等式与原不等式异向.

性质4的证明要用到公理4和公理6.

性质6  a > b > 0,c > d > 0ac > bd.

性质6 是不等式的同向不等式可乘原则,必须注意:不等式两边相乘时,不等式两边必须是正数,性质6可表述为:两边都是正数的同向不等式,两边分别相乘,所得不等式与原不等式的不等号同向,简称为:“两边都是正数的同向不等式可以相乘,不等号不变.”

性质6可推广为:两个或两个以上的两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.

性质6补充  

性质6补充是不等式的异向不等式可除原则.必须注意:不等式两边相除时,不等式两边必须都是正数,定理8可表述为:两边都是正数的两个异向不等式两边分别相除,所得不等式与被除不等式同向,可简称为:“两边都是正数的两个异向不等式可以相除,不等式与被除不等式同向.”

性质6补充的证明要用到“除零外,任何实数与它的倒数同号”、“两个正数,较大的倒数较小”的结论.

推论的功能可表述为:不等式两边可以颠倒分子分母,不等式改向,但必须保证不等式两边同号.

性质7 两边是正数的不等式可以乘或开n次方,不等式不变号

教材性质7拓展

初中已有的三角形不等式,应用非常广泛,它可表述为:两数和或差的绝对值不大于两数绝对值的和,不小于两数绝对值的差的绝对值.

三角形不等式揭示出了两数及其和、差的绝对值与两数是否同号的关系,搞清楚等号何时成立及三角形不等式何时是严格不等式,对透彻理解三角形不等式是至关重要的,现将它们的关系列出: