数学九年级上册1. 相似三角形学案

23.3  相似三角形

1  相似三角形

学习目标：

1. 理解并掌握相似三角形的有关概念.（重点）

2.掌握运用平行线判定两个三角形相似的方法.（难点）

                        自主学习

一、新知预习

1.如图①所示的两个三角形中,＝＝，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.

此时△ABC与△A′B′C′相似，记作______________. 读作______________.      

如果记＝＝＝k，

那么这个比值____就表示这两个相似三角形的相似比．      

                    图①                                图②

2.如图②，在△ABC中，D为边AB上任意一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．

【归纳】 对应边_______、对应角______的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做它们的______.

合作探究

一、探究过程

探究点1：相似三角形的概念

对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.反过来，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′相似记作△ABC∽△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′.

【典例精析】

例1如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED＝∠B，那么能成立的比例式是(　　)

A．＝＝      B．＝＝[来源:Z|xx|k.Com]

C．＝＝         D．＝＝[来源:学§

【归纳总结】在相似三角形中找对应线段或对应角时，一定要结合图形来分辨．本题采用了数形结合法，通过图形寻找相似三角形的对应边．

【针对训练】

1.如图，△ABC∽△ACD，若AB=5，BC=4，AC=,求CD的长.

探究点2：用平行线判定两个三角形相似

【问题】如图，已知DE∥BC，判断△AED与△ABC是否相似，并说明理由.

解：______.理由如下：∵DE∥BC，

∴__________,          .（两直线平行，内错角相等）

作DF∥BE交CB的延长线于F，

则四边形DEBF是_____四边形，

∴_________________.（平行四边形对边相等）.

∴==，同理可证=,

∴==.

又∵∠E=∠EBC,∠DAE=∠BAC,∠CDE=∠C.

∴△ADE∽△ACB（相似三角形的定义）.

【归纳】平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形____.

【典例精析】

例2如图，已知DE∥BC，若AD=3cm，AE=2cm，DE=4cm，，求△ABC的周长．

【归纳总结】求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

【针对训练】

2.如例2图，已知DE∥BC，若AE＝3，EC＝5，DE＝3.6，则BC的长为__________．                                         

二、课堂小结

当堂检测

1.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，且满足△APC∽△ACB，则下列比例式：

①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的是(　　)

A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④

      第1题图                       第2题图

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. 已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，若△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最大边长是15，求△A1B1C1的面积．

4. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.[来源:Z*xx*k.Com]

(1)求证：△DQP∽△CBP；

(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．[来源:ZXXK]

[来源:]

参考答案

自主学习

一、新知预习

1. △ABC∽△A′B′C′     △ABC相似于△A′B′C′    k

2.相似.量得∠A=50°，∠ADE=∠B=∠55°，∠AED=∠ACB=75°. AD=1.1cm, AE=1cm,DE=0.9cm, AB=2.2cm, AC=2cm,BC=1.8cm.所以,所以两个三角形相似.

【归纳】成比例   相等    相似比

合作探究

探究点1

【典例精析】

例1  A

【针对训练】

1. 解：∵△ABC∽△ACD，∴,即,解得CD=.

探究点2 

【问题】  相似   ∠E=∠EBC  ∠CDE=∠C  平行  DE=BF

【归纳】  相似

【典例精析】

例2 解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵AD=3 cm，AE=2 cm，DE=4 cm，
∴即解得AB=9cm，BC=12cm，AC=6cm.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=9+12+6=27(cm)．

【针对训练】

   2.9.6  

二、课堂小结   

 成比例   相等   比例   相等

当堂检测

1. A  2.B

3.解：因为32＋42＝52，所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.[K]因为△ABC∽△A1B1C1，所以△A1B1C1也是直角三角形，且＝＝.所以A1C1＝·AC＝9，B1C1＝·BC＝12.所以S△A1B1C1＝A1C1·B1C1＝×9×12＝54.

4. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC，∴△DQP∽△CBP.

(2) 解：∵△DQP≌△CBP，∴DP＝CP＝CD.∵AB＝CD＝8，∴DP＝4.