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专题02 数轴中的动点问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）
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这是一份专题02 数轴中的动点问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版），文件包含专题02数轴中的动点问题专训原卷版docx、专题02数轴中的动点问题专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
题型一单动点问题（简单运动类）
题型二单动点问题（规律变化类）
题型三双动点问题（匀速运动类）
题型四双动点问题（变速运动类）
题型五多动点问题
题型六新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【经典例题二单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【经典例题三双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2023秋·北京·七年级期末）如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．
(1)AB的长为_______；
(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．
(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．
(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．
【变式训练】
【变式1】（2023春·浙江·七年级开学考试）对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP=NP成立，则称
点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”.
(1)如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）；
(2)如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数－2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数；
(3)如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发.在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM=.
【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·七年级统考阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的中点．解答以下问题：
（1）若点A表示的数为-5，点A与点B的中点表示的数为1，则点B表示的数为；
（2）点A表示的数为-5，点C，D表示的数分别是-3，-1，点O为数轴原点，点B为线段上一点．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点B的中点，则m的取值范围是；
②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点Q从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动；若经过t（）秒，点P与点D的中点在线段上，则t的取值范围是．
【经典例题四双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【经典例题五多动点问题】
【例5】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（I）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_______．
（II）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是9？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（III）如果点P以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几秒时点P到点M，点N的距离相等？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1、5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A点B分别以2个单位长度每分和1个单位长度每分的速度同时向右运动，点P以6个单位长度每分的速度向O点向左运动，当遇到A时，点P以原来的速度向右运动，并不停得往返于A与B之间，求当A遇到B重合时，P所经过的总路程．
【变式2】（2022秋·广东广州·七年级校考期中）如图，点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1．点A与点B之间的距离表示为AB．
（1）AB=．
（2）点P是数轴上A点右侧的一个动点，它表示的数是，满足，求的值．
（3）点C为6．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级期末）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。
（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点
【经典例题六新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数.
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
【培优检测】
1．（2020秋·四川·七年级四川省德阳中学校校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足.
（1）求点与点在数轴上对应的数和；
（2）现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒.
① 若点和点相遇于点, 求点在数轴上表示的数；
② 当点和点相距个单位长度时，直接写出的值.
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．
（1）写出、两点所对应的数；
（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；
（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．
3．（2022秋·浙江·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.
(1)写出点A所对应的数；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合；
(3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200.
5．（2022秋·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）如图，点A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，已知|a+5|+（a+b+1）2=0．
(1)求a、b 的值；
(2)若数轴上有一点C，且AC+BC=15，求点C 在数轴上对应的数；
(3)若点P 从点A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点P 表示的数为______，点Q 表示的数为________．（用含t 的代数式表示）；当OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上直接填写答案）
6．（2022秋·全国·七年级期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．
(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若，试求线段的长．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滚动后，小圆离原点最远；
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留）
9．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知数轴上有、、三点，点为原点，点、点在原点的右侧，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，且与满足，．
(1)直接写出、的值，___________，___________；
(2)动点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为秒，请用含的式子表示线段的长度；
(3)在（2）的条件下，若点为的中点，点为的中点，求为何值时，满足．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考阶段练习）如图一，已知数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为t秒．
(1)线段______．
(2)当点P运动到的延长线时______．（用含t的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长度．
(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动．
①点P表示的数为：______（用含t的代数式表示）；
点Q表示的数为：______（用含t的代数式表示）；
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值．
题型一单动点问题（简单运动类）
题型二单动点问题（规律变化类）
题型三双动点问题（匀速运动类）
题型四双动点问题（变速运动类）
题型五多动点问题
题型六新定义类运动问题
【知识梳理】
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高．
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值．
注意：
1、要注意动点是否会来回往返运动．
2、学会用含字母的式子表示运动的距离；
【经典例题一单动点问题（简单运动类）】
【例1】（2022秋·广东潮州·七年级潮州市金山实验学校校考期末）如图，已知数轴上的点A表示的为 6，点B表示的是4的相反数，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东枣庄·七年级校考期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．（用1个单位长度表示）
(1)请你在题中所给的数轴上表示出A、、三点的位置；
(2)把点到点的距离记为，则__________．
(3)一动点从点出发沿数轴正方向移动，且速度保持不变，设点移动的时间为（单位：），当及时，分别求点到点的距离（用含的式子表示）．
【变式2】（2022秋·山西运城·七年级统考期中）如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【变式3】（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【经典例题二单动点问题（规律变化类）】
【例2】（2023·江苏·七年级假期作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C．
(1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置；
(2)写出点A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级校考期中）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是 ．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【变式2】（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：
①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【变式3】（2022秋·全国·七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【经典例题三双动点问题（匀速运动类）】
【例3】（2023秋·北京·七年级期末）如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．
(1)AB的长为_______；
(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．
(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．
(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．
【变式训练】
【变式1】（2023春·浙江·七年级开学考试）对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP=NP成立，则称
点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”.
(1)如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）；
(2)如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数－2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数；
(3)如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发.在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM=.
【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·七年级统考阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的中点．解答以下问题：
（1）若点A表示的数为-5，点A与点B的中点表示的数为1，则点B表示的数为；
（2）点A表示的数为-5，点C，D表示的数分别是-3，-1，点O为数轴原点，点B为线段上一点．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点B的中点，则m的取值范围是；
②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点Q从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动；若经过t（）秒，点P与点D的中点在线段上，则t的取值范围是．
【经典例题四双动点问题（变速运动类）】
【例4】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【变式训练】
【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段．
例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．
已知点为数轴原点，点为数轴上的动点．
(1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________；
(2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）．
【变式2】（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．
(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；
②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．
（1）求，，，的值；
（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【经典例题五多动点问题】
【例5】（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（I）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_______．
（II）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是9？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（III）如果点P以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几秒时点P到点M，点N的距离相等？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1、5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A点B分别以2个单位长度每分和1个单位长度每分的速度同时向右运动，点P以6个单位长度每分的速度向O点向左运动，当遇到A时，点P以原来的速度向右运动，并不停得往返于A与B之间，求当A遇到B重合时，P所经过的总路程．
【变式2】（2022秋·广东广州·七年级校考期中）如图，点A、B是数轴上的两个点，它们分别表示的数是和1．点A与点B之间的距离表示为AB．
（1）AB=．
（2）点P是数轴上A点右侧的一个动点，它表示的数是，满足，求的值．
（3）点C为6．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式3】（2022秋·浙江·七年级期末）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。
（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点
【经典例题六新定义类运动问题】
【例6】（2022秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·天津和平·七年级耀华中学校考期末）对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是；
（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数.
【变式2】（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
【变式3】（2022秋·湖北恩施·七年级统考期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为___________；我们把这个模型记为“木棒模型”；
(2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，已知点C表示的数为．求木棒的右端点与点A的距离；
(3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”．请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
【培优检测】
1．（2020秋·四川·七年级四川省德阳中学校校考阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足.
（1）求点与点在数轴上对应的数和；
（2）现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒.
① 若点和点相遇于点, 求点在数轴上表示的数；
② 当点和点相距个单位长度时，直接写出的值.
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度．
（1）写出、两点所对应的数；
（2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数；
（3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．
3．（2022秋·浙江·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
4．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.
(1)写出点A所对应的数；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合；
(3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200.
5．（2022秋·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）如图，点A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，已知|a+5|+（a+b+1）2=0．
(1)求a、b 的值；
(2)若数轴上有一点C，且AC+BC=15，求点C 在数轴上对应的数；
(3)若点P 从点A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点P 表示的数为______，点Q 表示的数为________．（用含t 的代数式表示）；当OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上直接填写答案）
6．（2022秋·全国·七年级期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．
(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若，试求线段的长．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滚动后，小圆离原点最远；
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留）
9．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知数轴上有、、三点，点为原点，点、点在原点的右侧，点在原点左侧，点表示的数为，点表示的数为，且与满足，．
(1)直接写出、的值，___________，___________；
(2)动点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为秒，请用含的式子表示线段的长度；
(3)在（2）的条件下，若点为的中点，点为的中点，求为何值时，满足．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考阶段练习）如图一，已知数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为t秒．
(1)线段______．
(2)当点P运动到的延长线时______．（用含t的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长度．
(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动．
①点P表示的数为：______（用含t的代数式表示）；
点Q表示的数为：______（用含t的代数式表示）；
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值．
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