新教材2023_2024学年高中数学第7章概率测评北师大版必修第一册

第七章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.下列事件是必然事件的是(　　)

A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数

B.异性电荷相互吸引

C.在标准大气压下,水在1 ℃时结冰

D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数

2.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是(　　)

A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”

B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”

C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”

D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”

3.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:

则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　)

A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

4.某大学外语系有6名志愿者,其中志愿者A1,A2,C只通晓英语,志愿者B1,B2,B3只通晓俄语.现从这6名志愿者中选出2名,组成一个能通晓两种语言的小组,则C被选中的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=(　　)

A.0.3 B.0.6 

C.0.7 D.0.9

6.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面向上”,事件B=“第二枚硬币正面向上”,则              (　　)

A.事件A与事件B互为对立事件

B.事件A与事件B为互斥事件

C.事件A与事件B相等

D.事件A与事件B相互独立

7.一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为0.1,第二道工序的次品率为0.2,则该件产品的正品率为(　　)

A.0.98 B.0.72 C.0.70 D.0.28

8.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是(　　)

A. B. C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,则下列不是对立事件的为(　　)

A.恰有1名男生和恰有2名男生

B.至少有1名男生和至少有1名女生

C.至少有1名男生和全是男生

D.至少有1名男生和全是女生

10.如图所示的电路中,5只盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　　)

A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为

B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为

C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为

D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为

11.下列概率模型是古典概型的为(　　)

A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小

B.同时掷一次两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率

12.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　)

A.2个球都是红球的概率为

B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为

D.2个球中恰有1个红球的概率为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为　　　　. 

14.某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用0,1,2表示手术不成功,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为　　　　　. 

15.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为　　　. 

16.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概率为　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200千米,遇到红灯个数的概率如下表所示:

(1)求表中字母a的值;

(2)求至少遇到4个红灯的概率;

(3)求至多遇到5个红灯的概率.

18.(12分)盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.

(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;

(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.

19.(12分)(2020全国1,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?

20.(12分)某单位开展岗前培训期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下:

(1)根据有关统计知识回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适?请说明理由.

(2)根据有关概率知识解答以下问题:若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.

21.(12分)某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛,现有甲、乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为.且各场比赛互不影响.

(1)若采用三局两胜制进行比赛,求甲队获胜的概率;

(2)若采用五局三胜制进行比赛,求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.

22.(12分)为了推进新高考改革,某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课,同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣,该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动,本次活动共进行两轮比赛,第一轮是综合知识小测验,满分100分,并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题,第二轮从6个难度升级且分别涉及“时事政治”“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目中随机抽选3个题目进行作答,以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]进行分组绘制而成的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛?

(2)已知李华比较擅长“时事政治”类题目,不太擅长“逻辑推理”类题目,若李华成功进入了第二轮比赛,求他刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.

参考答案

第七章测评

1.B　四个选项都是随机事件,根据定义可知B选项是必然事件.故选B.

2.C　对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可能同时发生,不是互斥事件;

对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;

对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;但C中的两个事件不可能同时发生,是互斥事件,故选C.

3.C　由题意可知频数在(10,40]的有13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.

4.C　从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(C,B1),(C,B2),(C,B3),共9个.其中C被选中的样本点有(C,B1),(C,B2),(C,B3),共3个,所以所求概率为.故选C.

5.C　因为P(C)=0.6,事件B与C对立,

所以P(B)=0.4,

又P(A)=0.3,A与B互斥,

所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.

6.D　抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A发生与否与事件B无关,事件B发生与否与事件A无关,所以事件A与事件B相互独立.故选D.

7.B　该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品,则该件产品的正品率为P=(1-0.1)×(1-0.2)=0.72.故选B.

8.D　击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中,及甲前两次均未击中、乙第二次才击中,所以其概率为P=,故选D.

9.ABC　A是互斥事件,不是对立事件,理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.B不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.C不是互斥事件,从而也不是对立事件,理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.D是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.

故选ABC.

10.CD　A,B两个盒子串联后畅通的概率P=,A错误;

D,E两个盒子并联后畅通的概率P=1-,B错误;

A,B,C三个盒子混联后畅通的概率P=1-,C正确;

当开关合上时,整个电路畅通的概率P=,D正确.故选CD.

11.ABD　古典概型的特点:①一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;②每个样本点发生的可能性是均等的,即等可能性.显然A,B,D符合古典概型的特征,所以A,B,D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选ABD.

12.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2独立.在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为,D正确.

故选ACD.

13.0.95　记事件A={抽得甲级品},B={抽得乙级品},C={抽得丙级品},

因为事件A,B,C互为互斥事件,且三个事件对立,

所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=0.95.

14.0.4　根据题意,10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有569,683,537,989,共4个,

则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4.

15.0.446　两队比赛,一队胜、平、负是互斥事件,因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2,0.2,0.1,所以甲胜的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×0.1+0.5×0.2×0.8+0.2×0.6×0.8=0.446.

16.　记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.

则该选手被淘汰的概率为P=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()=.

17.解(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.

(2)设事件A为遇到红灯的个数为4,事件B为遇到红灯的个数为5,事件C为遇到红灯的个数为6个及以上,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,

因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯,则至多遇到5个红灯为事件.则P()=1-P(D)=1-0.03=0.97.

18.解由题知,共有25个样本点,

(1)2个球中恰好1个黑球为13,14,15,23,24,25,再交换一下,共有12个样本点,故概率P=.

(2)取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球,即全是黑球为11,12,21,22,共4个样本点,即P=1-.

19.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10.

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.

20.解(1)甲的平均成绩为=85,乙的平均成绩为=85,

故甲、乙二人的平均水平一样.

甲的成绩的方差为(xi-)2=31.6,

乙的成绩的方差为(xi-)2=50,

∴,故应派甲合适.

(2)从5次考试的成绩中,任意取出2次,所有的样本点有10个,其中,满足至少有一次考试两人“水平相当”的有(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共7个样本点,故所求事件的概率等于.

21.解设Ai(i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜.

(1)所求概率为P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=2+×2×2=.

(2)所求概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=×3×3=.

22.解(1)设学生在第一轮比赛中至少得到x分才能进入第二轮比赛,

∵0.007×20=0.14<0.2,0.007×20+0.015×20=0.44>0.2,∴x在区间[60,80)内,且×0.3+0.14=0.2,解得x=76,

故估计学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛.

(2)由题意得,李华成功进入了第二轮比赛,

从6个题目中抽选3个题目共有20种不同的可能,

刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目,

即再从“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”4个题目中选择2个题目,共有6种不同的可能,

故李华成功进入了第二轮比赛,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率为P=.