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人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段一课一练
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这是一份人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段一课一练，文件包含七年级数学上册专题45线段中的动点问题专项训练40道举一反三人教版原卷版docx、七年级数学上册专题45线段中的动点问题专项训练40道举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
专题4.5 线段中的动点问题专项训练（40道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！
一．解答题（共40小题）
1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
(1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由）
(2)出发几秒后，AP＝3BP？
(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)3；18
(2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP
(3)是；理由见解析
【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB；
（2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可；
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断．
（1）
解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18．
故答案为：3；18．
（2）
解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t，
∵AP＝3BP，
∴2t＝3（24−2t），
解得t＝9；
②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24，
∵AP＝3BP，
∴2t＝3（2t−24），
解得t＝18．
综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP．
（3）
解：是，理由如下：
设运动时间为x秒，
则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x−12，
∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12，
即MN的值为定值．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=1秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________；
(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值；
(3)若M为线段AQ的中点，点N为线段BP的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值．
【答案】(1)−4；5；−2
(2)2.4
(3)8
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8﹣12；点P表示的数为8−3t；
（2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝AB，列出方程求解即可；
（3）根据动点P在数轴上运动，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，
故OM=ON，由此可得出结论；
（1）
∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝12，
∴点B表示的数是8−12=−4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8−3×1=5，
∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点Q表示的数是−4+2×1=−2，
故答案为：−4,5,−2；
（2）
设点P运动t秒时，与点Q重合，则AP＝3t，BQ＝2t，
∵AP+BQ=AB，
∴3t+2t=12，
解得：t=2.4，
∴点P运动2.4秒时与点Q重合；
（3）
由（1）知，A表示8，B表示−4，P表示8−3t，Q表示2t−4，
∵ M为AQ中点，
∴ M表示8+2t−42=t+2，
∵ N为BP中点，
∴ N表示−4+8−3t2=2−32t，
∵点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，
∴ t+2−0=2−32t−0，
即t+2=2−32t，
当t+2=2−32t时，t=0（舍去），
当t+2=−2−32t时，t=8，
答：当t=8时，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式(a+10)x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
【答案】(1)−10，20，30；
(2)3或75；
(3)252．
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：−10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论．
（1）
解：由题意知：a+10=0，b=20，
∴a=−10，
∴AB的距离为20−−10=30；
故答案为：−10，20，30；
（2）
分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=18，
∵M是AB的中点，
∴AM=15，
∴CM=18−15=3；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=90，
∵AM=15，
∴CM=90−15=75；
综上，CM的长是3或75；
（3）
由题意得：点G表示的数为：：−10+t，点H表示的数为：20+56t，
∵t<30，AB=30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG的中点，
∴点D表示的数为：20+(−10+t)2 = 5+12t，
∵F是DH的中点，
∴点F表示的数为：5+12t+20+56t2=75+4t6，
∵BG=20−10+t=30−t，
∵EG=13BG，
∴EG=30−t3 = 10−13t，
∴点E表示的数为： −10+t+10−13t = 23t，
∴DE+DF=(5+12t)−23t+75+4t6−(5+12t) = 252．
【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．
4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段AB上任意一点，AB=15cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动）
(1)若AP=10cm．
①运动1 s后，求CD的长；
②当点D在线段PB上运动时，试说明：AC=2CD．
(2)如果t=3s时，CD=1cm，试探索AP的长．
【答案】(1)①CD=4cm；②见解析
(2)AP的长为11cm或13cm
【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB−DB即可求出答案；
②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；
（2）当t=3时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
（1）
①当t=1时，CP=2t=2cm，DB=3t=3cm，
∵AP=10cm，AB=15cm，
∴PB=AB−AP=5cm，
∴CD=CP+PB−DB=2+5−3=4cm；
②∵AP=10，AB=15，
∴BP=5，
∵CP=2t，DB=3t，
∴AC=AP−CP=10−2t=25−t，DP=BP−BD=5−3t，
∴CD=CP+DP=2t+5−3t=5−t，
∴AC=2CD．
（2）
当t=3时，CP=2t=6cm，DB=3t=9cm，
当点D在C的右边时，
如图：
CD=CP−PD=CP+AB−AP−DB=6+15−AP−9=1，
∴AP=11cm；
当点D在C的左边时，
如图：
CD=BD−CP−PB=9−6−(15−AP)=1，
∴AP=13cm；
综上可得，AP的长为11cm或13cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．
5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；
(2)①12．②当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【分析】（1）根据M是线段AP的中点，可得AM=12AP=t，从而得到PB=24−2t，再由PB=AM，即可求解；
（2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当048时，即可求解．
（1）
解∶根据题意得：AP=2t，
∵M是线段AP的中点，
∴AM=12AP=t， PB=AB−AP=24−2t．
∵PB=AM，
∴24−2t=t，
解得t=8．
∴当t=8时，PB=AM；
（2）
①当点P在B点左侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=1224−2t=12−t．
∴MN=t+12−t=12．
当点P在B点或B点右侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=122t−24=t−12．
∴MN=t−t−12=12，
综上所述，线段MN的长度为12；
②当PN=2NB时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．
当0
∵PM=PN，
∴t=2324−2t，解得， t=487．
当12
∵PM=2PN，
∴t=2×232t−24，解得， t=965．
当t>48时，
由题意得：PM=t,PN=232t−24，
∵PN=2PM，
∴2t=232t−24，解得，t=−24（舍去）．
综上，当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝12x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝12BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣34BN的值不变；②12PM+34 BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
【答案】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣92和72；(2)正确的结论是：PM﹣34BN的值不变，且值为2.5．
【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得12BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣34BN和②12PM+34BN求出其值即可解答．
【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝5．
解方程2x+1＝12x﹣5得x＝﹣4．
所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，
①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，
PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，
解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，
所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，
所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝12PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣34BN＝﹣34××（n﹣2），
＝（不变）．
②12PM+34BN＝+34××（n﹣2）＝34n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.
【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝112AB．
【详解】解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的13处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=13AB，
∴PQAB=13
（3）②MNAB的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=12AB，
∴CM=14AB，
∴PM=CM-CP=14AB-5，
∵PD=23AB-10，
∴PN=12（23AB-10）=13AB-5，
∴MN=PN-PM=112AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以MNAB=112ABAB=112.
【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求BCMN的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①AC+BPEF是定值；
②AC−BPEF是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴BCMN＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴BCMN＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴BCMN＝2；
故BCMN＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝12BC﹣AC+AE＝12（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣12AB＝12AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴AC−BPEF＝2．
②
EF＝12BC+CE＝12BC+AE﹣AC＝12（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣12AB﹣12AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴AC−BPEF＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12（AC﹣AB）＝12AC﹣AE+12 12AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴AC−BPEF＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=3AB+2.
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.
(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有AC+BD=38，求t的值.
(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有AB+AP+AC=DP，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由.
【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.
【分析】（1）根据CD=3AB+2，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入AC+BD=38中解出t即可；
（3）由CD=3AB+2，在点A和C之间有一点P，得到AC=AP+CP，DP=CP+DC=CP+3AB+2，化简即可证明BP为定值.
【详解】解：（1）∵CD=3AB+2，AB=10，
∴CD=3×10+2=32，
∵B为线段AC的中点，
∴AC=2AB=20，
∴AD=AC+CD=20+32=52；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，
∴AC=5t−20+3t=2t−20，BD=10+5t−52+3t=2t−42，
∵AC+BD=38，
∴2t−20+2t−42=38，
①当0≤t＜10时，−2t+20−2t+42=38，解得：t=6，0≤6＜10，成立；
②当10≤t＜21时，2t−20−2t+42=38，方程无解；
③当21≤t时，2t−20+2t−42=38，解得：t=25，21≤25，成立；
t=6或25；
（3）∵CD=3AB+2，在点A和C之间有一点P ，
∴AC=AP+CP，DP=CP+DC=CP+3AB+2，
∴AB+AP+AC=DP
AB+AP+AP+CP=CP+3AB+2
2AP=2AB+2
AP=AB+1
∴BP=1，为定值.
【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题.
10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．
(1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条；
②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；
(3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=32AD时，请直接写出t的值．
【答案】(1) ①6条；②10；(2)MN=12AD−12BC，证明见解析；(3) t=1.
【分析】（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA+PD最小，即P为AD的中点，求出AD的长即可；
(2) 根据M，N分别为AC，BD的中点，得到MC=12AC，BN=12BD，利用MN=MC+BN−BC代入化简即可；
(3) 根据C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，得到AC=3，CD=6，并可得到EC=2t，FD=t，EQ=t+62，代入AQ+AE+AF=32AD，化简则可求出t.
【详解】解：(1) ①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条；
②∵BD=6，BC=1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA+PD的值最小时，P为AD的中点，
∴PA+PD=AD=AC+CD=5+5=10；
(2)MN=12AD−12BC.
如图2示：
∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴MC=12AC，BN=12BD
∴MN=MC+BN−BC
=12AC+12BD−BC
=12AC+BD−BC
=12AB+BC+BD−BC
=12AD−12BC；
(3)如图示：
∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，
∴AC=3，CD=6，
根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t，
则有：EC=2t，FD=t，EQ=EF2=AD−AE−FD2=t+62
当AQ+AE+AF=32AD时，
则有：AE+EQ+AE+AD−FD=32AD
即是：3−2t+t+62+3−2t+9−t=92×9
解之得：t=1.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．
11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，A、B、C三点在数轴上，点A表示的数为−10，点B表示的数为14，点C为线段AB的中点.动点P在数轴上，且点P表示的数为x.
（1）求点C表示的数；
（2）点P从点A出发，向终点B运动.设BP中点为M.请用含x的整式表示线段MC的长.
（3）在（2）的条件下，当x为何值时，AP−CM=2PC？
【答案】（1）2；（2）MC=5+x2；（3）当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标；
（2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度；
（3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值.
【详解】解：（1）点A表示的数为−10，点B表示的数为14，
∴线段AB=14−(−10)=24，
∴点C表示的数为：14−24÷2=2；
（2）根据题意，
点M表示的数为：14+x2，
∴线段MC的长度为：14+x2−2=5+x2；
（3）根据题意，
线段AP的长度为：x+10，
线段MC的长度为：5+x2，
线段PC的长度为：2−x，
∵AP−CM=2PC，
∴x+10−(5+x2)=22−x，
整理得：2−x=14x+52，
①当点P在点C的左边时，x<2，则2−x>0，
∴2−x=14x+52，
解得：x=−25；
②当点P与点C重合时，x=2，
∴14x+52=0，
解得：x=−10（不符合题意，舍去）；
③当点P在点C的右边时，x>2，则2−x<0，
∴x−2=14x+52，
解得：x=6.
∴当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形ABC中，AB=8，BC=16，AC=12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．
（1）当t为多少时，P是AB的中点；
（2）若点Q的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP=2BQ；
（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．
【答案】（1）2；（2）存在，t=125；（3）54或127
【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得；
（2）根据题意可得：当BP=2BQ时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可；
（3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可.
【详解】解：（1）∵AB=8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，
∴当P为AB中点时，
4÷2=2（秒）；
（2）由题意可得：当BP=2BQ时，
P，Q分别在AB，BC上，
∵点Q的运动速度为23个单位长度/秒，
∴点Q只能在BC上运动，
∴BP=8-2t，BQ=23t，
则8-2t=2×23t，
解得t=125，
当点P运动到BC和AC上时，不存在BP=2BQ；
（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图，
AB+BC+CP=8+16+8=32，
此时t=32÷2=16，
∵BC+CQ=16+4=20，
∴a=20÷16=54，
当点P为靠近点C的三等分点时，如图，
AB+BC+CP=8+16+4=28，
此时t=28÷2=14，
∵BC+CQ=16+8=24，
∴a=24÷14=127.
综上：a的值为54或127.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等.
13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，如下图所示已知AC=6AB．
（1）a=_______；b=_______；c=________．
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求BP−AQEF的值．
（3）点P、Q分别自A、B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3
【答案】（1）16，20，-8；（2）BP−AQEF=2；（3）1或0.5
【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及AC=6AB即可求出c的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出BP−AQ的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点P,Q,M,N所表示的数，再用含t，x的式子表示MQ,NT,PT的长，代入MQ−NT=3PT即可求出PT的值．
【详解】（1）由题意得：a−16=0,b=20
则a=16
∴AB=b−a=20−16=4,AC=a−c=16−c
∵AC=6AB
∴16−c=6×4
∴c=−8
故答案为：16；20；−8；
（2）由（1）知，AB=4,AC=16−c=16−(−8)=24,BC=b−c=20−(−8)=28
设运动时间为t秒
如图，由题意得：CP=2t,OQ=3t
∴BP−AQ=(BC−CP)−(AO−OQ)
=(28−2t)−(16−3t)
=12+t
∵点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点
∴AE=12AP=12(AC−CP)=12(24−2t)=12−tBF=12BQ=12(BO−OQ)=12(20−3t)=10−32t
∴EF=AE−AF=AE−(BF−AB)
=12−t−(10−32t−4)
=6+12t
∴BP−AQEF=12+t6+12t=2
故BP−AQEF的值为2；
（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为a−2t=16−2t
点Q所表示的数为b−2t=20−2t
点M所表示的数为6t−8
点N所表示的数为6t−8−2=6t−10
∵3
NT=x−(6t−10)=x−6t+10
PT=16−2t−x
∵MQ−NT=3PT
∴28−8t−(x−6t+10)=316−2t−x
整理得：2+16−2t−x=316−2t−x
∴2+PT=3PT或2−PT=3PT
解得：PT=1或PT=0.5
故此时线段PT的长度为1或0.5．
【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点P,Q,M,N所表示的数是解题关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从点P、B出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上）．
（1）若点C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明点P在线段AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB的值；
（3）在（1）的条件下，若点C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时点C停止运动，点D继续运动（点D在线段PB上），点M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM−PN的值不变；②MNAB的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的13处；（2）13或1；（3）结论②MNAB的值不变正确，MNAB=112.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据PD=2AC，可知点P在线段AB上的位置；
（2）由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得AP=BQ，再结合AP=13AB可得PQAB的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得AQ−BQ=AB=PQ，易得PQAB的值.
（3）点C停止运动时，CD=12AB，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知MNAB的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则PD=PB−2t,PC=AP−t，
由PD=2AC得PB−2t=2(AP−t)，即PB=2AP
∵AP+PB=AB，∴AP+2AP=AB，∴3AP=AB，即AP=13AB
所以点P在线段AB的13处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ
∴PQ=AP=13AB
∴PQAB=13
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
∵AQ−BQ=AB，AQ−BQ=PQ
∴AB=PQ
∴PQAB=1
综合上述，PQAB的值为13或1；
（3）②MNAB的值不变.
由点C、D运动5秒可得CP=5,BD=5×2=10，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点C停止运动时，CD=12AB，
∵点M、N分别是CD、PD的中点，
∴CM=12CD,PN=12PD
∴CM=14AB
∴PM=CM−CP=14AB−5
∵PD=PB−BD=23AB−10
∴PN=12(23AB−10)=13AB−5
∴MN=PN−PM=112AB
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB=112ABAB=112；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点C停止运动时，CD=12AB，
∵点M、N分别是CD、PD的中点，
∴CM=12CD,PN=12PD
∴CM=14AB
∴PM=CP−CM=5−14AB
∵PD=PB−BD=23AB−10
∴PN=12(23AB−10)=13AB−5
∴MN=PN+PM=112AB
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB=112ABAB=112；
所以②MNAB的值不变正确，MNAB=112.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，a表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB=a−b，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为－3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长．
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1=12x−2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB=AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断14AP−13NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
【答案】（1）5；（2）−7或6；（3）随着点N的移动，14AP−13NQ的值不变．
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可．
（2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可．
（3）用点N表示的数n，列出14AP−13NQ关于n的代数式进行讨论解答即可．
【详解】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为−3，点B对应的数为2，
∴AB=|−3−2|=5．
（2）存在．
设M点对应的数为m，解方程x+1=12x−2，得x=−6，
∴点C对应的数为−6，
∵MA+MB=AB+BC，
∴|m+3|+|m−2|=|−3−2|+|−6−2|，即，|m+3|+|m−2|=13，
①当m⩽−3时，有−m−3+2−m=13，解得m=−7；
②当−3
（3）设点N对应的数为n，则NA=−n−3，NB=2−n，
∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，
∴NQ=1−12n，则点Q对应的数为12n+1；NP=−13n−1，则P点对应的数为23n−1；
∴AP=−23n−2，则14AP−13NQ=−56．
∴随着点N的移动，14AP−13NQ的值不变．
【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键．
16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【答案】（1）①14，②8，③12或16；（2）−452或252；（3）当时间为54秒时，M代表﹣12，Q代表﹣10，P代表﹣392；当时间为6秒时，M代表﹣10，Q＝﹣48，P代表﹣48
【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离直接写出AB即可；②由P在AB之间，则直接由AB-AP得到BP；③根据点P在A，B之间或者之外分情况讨论即可；
（2）结合题意可知C应该位于线段AB之外，从而分两种情况分别计算即可；
（3）设运动时间为T秒，则分别表示出各线段的长度，从而分三种情况讨论即可．
【详解】（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．
②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．
③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB＋BP＝14＋2＝16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC＋BC＝35，解得x＝−452；
当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC＋BC＝35，解得x＝252
∴C表示的数为−452或252．
（3）设经过时间T秒，则P 点表示﹣12﹣6T，Q点表示﹣8T，M点表示2﹣2T．
当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）＋（2﹣2T），解得T＝54s．
当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）＋（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．
当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，
∴﹣12﹣6T＝﹣8T，
∴T＝6s．
因此，当T＝54秒时，此时，M表示﹣12，Q表示﹣10，P表示﹣392．
当T＝6秒时，此时，M表示﹣10，Q表示﹣48，P表示﹣48．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及动点问题，以及线段中点有关的计算和一元一次方程，能够灵活根据题意进行分类讨论是解题关键．
17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段AB上，且AC:CB=1:2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，则DP=__________cm．
（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒3cm，设运动时间为t秒．
①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长．
②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）DP=5或10cm；（2）①PQ的长为253或53或56或256；②t=52或t=103或t=5．
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意进行分类，分别求出当BQ=5和当BQ=10时t的值即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10
综上：DP=5或10cm．
（2）①当BQ=5时，3t=5，即t=53．
∴AP=t=53，
∴PQ=15−5−53=253．
当BQ=10时，3t=10，即t=103．
∴AP=t=103，
∴PQ=15−5−103=53．
②当P，Q重合前点P是线段AQ的三等分点时，AQ=15−3t，
AP1=1315−3tAP1=t或AP2=2315−3tAP2=t
解得t=52或t=103
当P，Q重合后时点P是线段AQ的三等分点时，
当P，Q重合时，t+3t=15，即t=154．
∴P是线段AQ的三等分点时，AQ=154+3t−15−154=3t−152，
或AP3=233t−152AP3=t或AP3=133t−152AP3=t
解得t=5．
综上述：解得t=52或t=103或t=5．
【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论.
18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．
（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为253或503或752或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；
（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可．
【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1；
（2）① 则线段BP的长为 2t．
② 当P在线段AB上时，有以下两种情况：
如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，
所以50-2t = 2×2t，
解得t=253；
如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，
所以2t=2（50-2t），
解得t=503；
当P在点A左侧时，有以下两种情况：
如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，
所以50=2（2t-50）
解得t=752；
如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，
所以2t-50=2×50，
解得t=75；
综上所述：当t为253或503或752或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键．
19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段AB=12个单位长度．
（1）如图1，点P沿线段AB自点A出发向点B以1个单位长度每秒的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B出发向点A以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？
（3）如图2，AO=3个单位长度，PO=1个单位长度，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿线段BA自B点向A点运动，假若P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
【答案】（1）4；（2）3或5；（3）每秒52个单位长度或每秒45个单位长度
【分析】（1）设经过ts后，点P、Q相遇，根据相遇问题列方程t+2t=12解答；
（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，列方程x+2x+3=12或x+2x−3=12，计算解答；
（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，计算点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s或120+18030=10s，设点Q的速度为y，列方程4y=12−2，或10y=12−4，计算求解即可．
【详解】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
t+2t=12，
解得：t=4．
答：经过4秒钟后，点P、Q相遇；
（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，
x+2x+3=12或x+2x−3=12，
解得：x=3或x=5．
答：经过3秒钟或5秒钟后，P、Q两点相距3个单位长度．
（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s或120+18030=10s，
设点Q的速度为y，则有4y=12−2，或10y=12−4，
解得：y=52或y=45，
答：点Q的速度为每秒52个单位长度或每秒45个单位长度．
【点睛】此题考查数轴上动点问题，一元一次方程的实际应用，理解行程问题中的相遇问题的思考方法及解法是解题的关键．
20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点．
（1）当C点运动到AO中点时，求BF长度；
（2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由；
（3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）；
【答案】（1）FE=2，BE=12，BF=14cm（2）2CF=BE（3）①16cm ②4秒
【详解】试题分析： （1）先求出 AO，BO的长，再求当C点运动到AO中点时，AC，CE，OE的长． 根据F为OE中点，即可求出BF的长；
（2）设AC=x，分别表示出CO，OE，FE，CF，BE的长 ，即可得到结论；
（3）①设OF=EF=x，得到OE –nCF=（2-n）x+8n ，可以得到当n=2 时，OE -2CF = 16 cm．
② 根据时间=路程÷速度即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB=24cm，AO：BO=1：2．
∴AO=8，BO=16．当C点运动到AO中点时，AC=4，CE=8，OE=4．
∵F为OE中点，∴FE=2，BE=12，BF=14cm．
（2）设AC=x，CO=8-x，OE=AC=x，FE=FO= FE=FO=12x，CF=8-12x．
BE=24-8-x=16-x ，∴2CF=BE
（3）①设OF=EF=x，OE –nCF=2x-n（x-8）=（2-n）x+8n
当n=2 时， OE -2CF = 16 cm．
② 8÷2=4秒．
点睛：本题考查线段的有关计算，正确理解题意是关键．
21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，Q点从点C开始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16cm，AC=12cm，BC=20cm，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间．
（1）如图1，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；
（2）如图2，点Q在CA上运动，当t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14；
（3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长．
【答案】（1）4，（2）9，（3）283或4
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
∴t＝4时，AQ＝AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14，
∴12•AB•AQ＝14×12•AB•AC，
∴12×16×（12﹣t）＝18×16×12，解得t＝9．
∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14．
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝283．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），
综上所述，t＝283或4时，AQ＝BP．
【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点C为线段AB上一点，当CA=3CB或CB=3CA时，我们就规定C为线段AB的“三倍距点”．
如图，在数轴上，点A所表示的数为−3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为___________；
（2）若动点P从点B出发，沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①求AP的长度（用含t的代数式表示）；
②当点A为线段BP的“三倍距点”时，求出t的值．
【答案】（1）-1或3；（2）①AP=8−2t或AP=2t−8；②t=163或16
【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解；
（2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当AP=3AB时，当AB=3AP时，进而分类求解即可．
【详解】解：（1）设点C表示的数为c，
当CA=3CB时，
∴c+3=35−c，解得：c=3，
当CB=3CA时，则有：3c+3=5−c，
解得：c=−1；
故答案为-1或3；
（2）①由题意得：AB=8，
当点P在点A的右侧时，则有AP=8−2t；
当点P在点A的左侧时，则有AP=2t−8；
②设点P表示的数为p，
当AP=3AB时，此时−3−p=3×8，
解得：p=−27，
∴BP=5+27=32，
∴t=322=16；
当AB=3AP时，此时3−3−p=8，
解得：p=−173，
∴BP=5+173=323，
∴t=323÷2=163；
综上所述：当点A为线段BP的“三倍距点”时，t=163或16．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）
【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①43，②16．
【分析】（1）根据中点的定义可得；
（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时163秒，据此知点M的运动时间为163秒，再根据路程＝速度×时间可得答案．
【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为−4+122=4，
故答案为：4；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；
当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，
当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，
即点C表示的数为﹣6或14；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，
由题意知﹣4+t＝12﹣2t，
解得：t=163，
则相遇时点P对应的数为﹣4+163=43；
②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时163秒，
∴点M的运动时间为163秒，
则点M所经过的总路程是3×163=16单位．
【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．
24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足(a+1)2+|b−3|=0．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1)－1，3，4
(2)53或7
(3)①甲：t+1；乙：3−2t或2t−3；②t=23秒或t=4秒
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞32时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤32，（Ⅱ）t＞32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
（1）
因为(a+1)2+|b−3|=0，
所a+1=0,b−3=0，
所以a=−1,b=3；
所以AB的距离＝|b−a|=4，
故答案为：－1，3，4；
（2）
设数轴上点C表示的数为c．
因为AC=2BC，
所以|c−a|=2|c−b|，即|c+1|=2|c−3|．
因为AC=2BC>BC，
所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有−1
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>3，
得c+1=2(c−3)，解得c=7．
故当AC=2BC时，c=53或c=7；
（3）
①因为甲球运动的路程为：1×t=t,OA=1，
所以甲球与原点的距离为：t+1；
乙球到原点的距离分两种情况：
（I）当0
所以乙球到原点的距离为：3−2t；
（I I）当t>32时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−3；
②当0
当t>32时，得t+1=2t−3，
解得t=4．
故当t=23秒或t=4秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，AB=32BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=12AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)
解：∵AB=32BC，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=32BC，解得：BC=16m，
∴AB=32×16=24m．
故答案为：16，24．
(2)
解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，
∴6x=12{8+2x），解得x=45．
答：当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)
解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=32；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=52或x
194．
答：当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当t=1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．
（1）
解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，
∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，
∴3x+2x=9，
解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，
∴3x+2x=15
解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2）
2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ
=12AQ+12BP-PQ
=12（AQ+BP-PQ）-12PQ
=12AB-12PQ
=12（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；
(2)13或1或53或233；
(3)1，2617，167，8．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b；
（2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间；
（3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值；
(1)
解：b是最大的负整数，即b=﹣1，
|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，
∴a=﹣3，c=9，
故答案为：﹣3，﹣1；
(2)
解：AB=2，BC=10，AC=12，
PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，
∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：
由B到A时：x=1÷3=13，
由A到B时：x=3÷3=1，
由B到C时：x=5÷3=53，
由C到B时：x=23÷3=233；
故x的值为:13或1或53或233．
(3)
解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜23），
当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（23≤t＜143），
当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（143≤t≤8），
当M点由A到C运动时M=4t－3，
当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，
PM相遇时3t＋4t=2，t=27，
MN相遇时4t＋5t=12，t=43，
PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=74，
0≤t＜27，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣85舍去；
27＜t＜23，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=78舍去；
23≤t＜43，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；
43＜t＜74，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=2617；
74＜t＜143，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=167；
143≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；
故t的值为：1，2617，167，8．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键．
28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或307或154或458或457或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
（1）
解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）
解：①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）
解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2t），
解得t＝154；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2t），
解得t＝307；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13t，
解得t＝457；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23t，
解得t＝458．
综上所述，t为3或307或154或458或457或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点C在数轴上表示的数是10，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．
(1)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间；
(2)问运动多少秒时BC=2（单位长度）；
(3)设线段AB，CD开始运动后的运动时间为t秒，当t为何值时，恰好满足AD=2BC．
【答案】(1)t=3秒；
(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒
(3)当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC
【分析】（1）根据线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可；
（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可；
（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，然后分分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可．
（1）
解：B、C相遇后到A点完全离开：
t=AB+CDVAB−VCD=(−6)−(−8)+(14−10)3−1=2+42=3秒
（2）
解：①B、C相遇之前：
t=BC−2VAB−VCD=10−(−6)−23−1=142=7秒
②B、C相遇之后：
t=BC+2VAB−VCD=10−(−6)+23−1=182=9秒
（3）
由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．
则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，
①B、C相遇之前，由题可得：
22−2t=216−2t
2t=10
t=5
②B、C相遇之后，由题可得：
22−2t=22t−16
−6t=−54
t=9
综上所述：当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键．
30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；
(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．
(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
【答案】(1)CD=3
(2)当t=65时点D是线段BC的中点
(3)MNAB=12或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据CD=CM+MD可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；
（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解．
（1）
解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，
又∵点A表示−3，点B表示7，
∴AM=3，BM=7
∴MD=BM−BD=7−6=1
∴CD=CM+MD=2+1=3．
（2）
解：∵点A，B分别表示−2，6，
所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6−3t，CD=MD+MC=t+6−3t
当D是BC的中点时CD=BD，即t+6−3t=3t， t=65
∴当t=65时点D是线段BC的中点．
（3）
解：①当点N在线段AB上时，如图
∵AN−BN=MN，
又∵AN−AM=MN
∴BN=AM，
又∵AM=14AB
∴MN=12AB，即MNAB=12
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB
∴MN=AB，即MNAB=1
综上所述MNAB=12或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．
31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1)x=6；
(2)2BM−BP为定值24；
(3)MN=12．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=12PB=x−12，再根据MN=PM-PN即可求解．
（1）
解：∵M是线段AP的中点，∴AM=12AP=x，
PB=AB−AP=24−2x，
∵PB=2AM，
∴24−2x=2x，
解得x=6．
（2）
解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，
∴2BM−BP=224−x−24−2x=24，
即2BM−BP为定值24．
（3）
解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=12PB=x−12，
∴MN=PM−PN=x−x−12=12，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．
32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知AB=20，BC=80，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为________；
(2)当t为何值时，M、N两点重合?
(3)若点Р为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使PQ长度为5?若存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；
（2）根据题意可得出BM=t，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤50．由此可求出AQ=AB+BQ=20+12t．再根据PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，即可列出关于t的等式，解出t即可．
（1）
∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴AM=2t．
故答案为：2t；
（2）
根据题意可知BN=t．
当M、N两点重合时，有2t=20+t，
解得：t=20．
故t为20时，M、N两点重合；
（3）
根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤20+802=50．
∴AQ=AB+BQ=20+12t．
∴PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，
即5=20+12t−t或5=t−20−12t
解得：t=30或t=50．
故存在时间t，使PQ长度为5，此时t的值为30或50．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”）
(2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒．
①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？
②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值．
【答案】(1)是
(2)①t=94或3或32；②187、1811秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒
【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可；
（2）①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t, 再分三种情况；当AB=2AP时， 当AP=2BP时， 当BP=2AP时， 再列方程求解即可；②当P与Q相遇时，则 t=6, 再分两种情况讨论：当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t, 当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18, 再列方程求解即可.
（1）
解：如图，D为AB的中点，
所以AB=2AD=2BD,
所以D是AB的“倍分点”，
故答案：是；
（2）
①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t,
当AB=2AP时，此时AB=2BP，8t=18, 解得t=94,
当AP=2BP时，4t=2(18−4t), 解得：t=3,
当BP=2AP时，18−4t=8t, 解得：t=32,
综上：当t=94s或t=3s或t=32s时，点P是线段AB的“倍分点”.
②当P与Q相遇时，4t−t=18, 解得：t=6,
当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t,
当AQ=2AP=2PQ时，18+t=8t, 解得：t=187,
当AP=2PQ时，4t=2(18−3t), 解得：t=3.6,
当PQ=2AP时，18−3t=8t, 解得：t=1811,
当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18,
当AP=2AQ=2PQ时，4t=2(18+t), 解得：t=18,
当AQ=2PQ时，18+t=2(3t−18), 解得：t=10.8,
当PQ=2AQ时，3t−18=2(18+t), 解得：t=54,
综上：当t=187s或t=3.6s或t=1811s或t=18s或t=10.8s或t=54s，点P是线段AQ的“倍分点”.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键.
34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm．点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做往返运动（即沿C→B→C→B→⋯运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动．设点M运动的时间为t（s）．
(1)当t=1时，求MN的长．
(2)当点C为线段MN的中点时，求t的值．
(3)若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)7 cm
(2)2或143
(3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=143；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
（1）
解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）
如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得：t=143； 综上所述，当t=2或143时，点C为线段MN的中点．
（3）
如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足m−4+n−82=0，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分M′在N′的左侧和M′在N′的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，分段讨论即可求解．
（1）
解：∵m−4+n−82=0，
∴m−4=0，n−82=0，
∴m=4，n=8，
∴AB=4，CD=8，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）
解：∵AB=4，CD=8，
∴MB=12AB=2，CN=12CD=4，
设运动后点M对应点为M′，点N对应点为N′，分两种情况，
若6秒后，M′在N′的左侧时：MN+NN′=MM′+M′N′，
∴MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，
即2+BC+4+6×1=6×4+4，
解得BC=16．
若6秒后，M′在N′的右侧时：MM′=MN+NN′+M′N′，
∴MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，
即6×4=2+BC+4+6×1+4，
解得BC=8．
即线段BC的长为16或8；
（3）
解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，
∴MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，
当0≤t<7.5时，MN+AD=30−4t+36−4t=66−8t；
当7.5≤t≤9时，MN+AD=4t−30+36−4t=6；
当t>9时，MN+AD=4t−30+4t−36=8t−66；
故当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数a、b满足：a+32+5−b=0．
(1)当AC的长度为6个单位长度时，则a= ，b= ， ．
(2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？
(3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值．
【答案】(1)−3，5，3或-9
(2)7或1
(3)1或2或3或5.5或5.75
【分析】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；
（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况讨论，即可求解．
（1）
解：∵a+32+5−b=0，
∴a+32=0，5−b=0
∴a=−3， b=5，
又∵AC=6，
∴c=3或−9
故答案为：−3，5，3或-9．
（2）
∵点P是AB的中点，
∴点P表示的数是1，
当点c=−9时，AC=6，
∵点Q是AC的中点，
∴点Q表示的数是-6
∴PQ的长度是7
同理可得：PQ的长度是1．
（3）
点N从出发到返回原点O并停止运动的时间为：5×2÷2=5（秒）
点M从出发到运动结束的时间为：5+1=6（秒）
点M从点A出发到达点B用时：8÷4=2（秒）
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时：6-2-3=1（秒）
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）为：8÷1=8
点M从点B开始加快速度返回点A时，点N到达点O并已停止
①当M和N都向点B运动时：MN=2t-（4t-3）=1或4t-3-2t=1，t=1或t=2
②当点M到达点B停留3秒时，点N正返回原点O，2t=5+1，t=3
③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，
此时点N已到原点O并停止距离点B为5，
设点M从点B出发运动x秒时MN=1，则
5−8x=1或8x-5=1
x=0.5或x=0.75
所以t=5+0.5=5.5或t=5+0.75=5.75
∴当MN=1时t的值为1或2或3或5.5或5.75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是的熟练掌握非负数的性质和两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．
37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
(1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求OB−APEF的值．
【答案】(1)经过45s后P、Q两点相遇
(2)v＝56cm/s或v＝514cm/s
(3)2
【分析】（1）根据题意P,Q的路程和为OM的长，据此列出方程，解方程即可求解；
（2）设Q的速度为vcm/s，经过ts后，若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，根据点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，可得1202＝135﹣vt，根据PA＝2PB，建立绝对值方程，解方程并检验即可求解；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，根据题意点E对应数轴上的数是12t，点F对应数轴上的数是120+302＝75，进而用含t的式子表示EF,AP,OB，代入OB−APEF即可求解．
（1）
解：设经过ts，P、Q两点相遇，
∴2t+t＝30+90+15，
解得：t＝45，
答：经过45s后P、Q两点相遇．
（2）
设Q的速度为vcm/s，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，
∴点P对应数轴上的数是t，点Q对应数轴上的135﹣vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
∴1202＝135﹣vt，
∴vt＝75，
∵PA＝2PB，
∴|t﹣30|＝2|t﹣120|，
∴解得：t＝90或t＝210，
当t＝90s时，90v＝75，
∴v＝56，
而点Q到达O点所需要时间为13556＝142s＞90s，
当t＝210时，210v＝75，
∴v＝514，
而点Q到达O点所需要的时间为135514＝378＞210s，
综上所述，v＝56cm/s或v＝514cm/s；
（3）
设经过ts时，点P在AB之间，
点O对应数轴上的数是0，点A对应数轴上的数是30，点B对应数轴上的数是120，点C对应数轴上的数是135，
∴点P对应数轴上的数是t，
∵OP和AB的中点E，F，
∴点E对应数轴上的数是12t，点F对应数轴上的数是120+302＝75，
∴EF＝75﹣12t，AP＝t﹣30，OB＝120，
∴OB−APEF＝120−(t−30)75−12t＝2．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练运用两点间的距离公式，转化为数轴上的动点问题．
38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？
(2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
(3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1或2
(2)1.5秒
(3)3.5或5
【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论；
（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
(1)
解：设运动t秒时，BC=2单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：3t+2+t=6，
解得：t=1；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：3t﹣2+t=6，
解得：t=2．
(2)
解：（2+4）÷（3+1）=1.5（秒）．
答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过1.5秒长时间．
(3)
解：存在BD-AP=3PC，
设运动时间为t秒，
①当t=（4+2）÷（3+1）=1.5时，点B和点C重合，BD=CD=4，
∵点P在线段AB上，
∴0＜PC≤2，
∴PA+3PC=PA+PB+2PC=AB+2PC=2+2PC，
∴当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
此时PD=5，
②当1.5＜t＜2.5时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段BC上时，
∵BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∴4-BC=2-BC+4PC，
∴PC=0.5，有BD=AP+3PC，
故PD=3.5时，BD-AP=3PC，
③当t=2.5时，点A与点C重合，0＜PC≤2，
∵BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∴4PC=2，
∴PC=0.5，有BD=AP+3PC，
故BD-AP=3PC，
此时PD=3.5，
综上所述，线段PD的长为3.5或5．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题．
同．
39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
问：
（1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ；
（2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】（1）15；4（2）t的值为2、3.5、5或17.
【分析】（1）根据路程除以速度等于时，可得答案；根据相遇时P,Q的时间相等，可得方程，解出即可.
（2）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，解出即可.
【详解】（1）点P运动至点C时，所需时间t=6÷2+10÷1+4÷2=15（s），
答：动点P从点A运动至C点需要15秒；
由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x．
则6÷2+x÷1=4÷1+（10-x）÷2，
x=4，
答：M所对应的数为4．
（2）P点运动完时间：6÷2+10÷1+4÷2=15（s）
Q点运动完时间：4÷1+10÷2+6÷1=15（s）
P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有以下可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，
则：4-1t=6-2t，解得：t=2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，
则：4-1t=1×（t-3），解得：t=3.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，
则：2（t-4）=1×（t-3），解得：t=5．
④动点Q在OA上，动点P在OB上，
则：1×（t-9）+10=1×（t-3），无解
④动点Q在OA上，动点P在BC上，
则：1×（t-9）+10=2×（t-13）+10，解得：t=17，
综上所述：t的值为2、3.5、5或17．
【点睛】本题考查动点问题，关键在于分段讨论，弄清楚每一段的时间及点所在的位置.
40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝12AB，则dC﹣AB＝12；反过来，当dC﹣AB＝12时，则有AC＝12AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义．
应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝23，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ；
（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝35？
拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．
【答案】应用：（1）23；34；（2）①dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−t10，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或163；拓展：dQ﹣CB＝5n−32．
【分析】应用：（1）根据dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义，进行解答即可；
（2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定义可求解；
②分t＜5与t≥5两种情况，根据定义可得dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−2t10（t＜5），dQ﹣AB＝2t−1010（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，列出方程即可求解；
拓展：设运动时间为t，由题意点P、Q同时到达点B，可设点P的速度为3x，点Q速度为5x，可得dP﹣AB＝n＝3xt12，dQ﹣CB＝5xt−128，求解即可．
【详解】解：应用：（1）∵dC﹣AB＝23，∴AC＝23AB，
∵AC＝3BC，∴AC＝34AB，∴dC﹣AB＝34，
故答案为：23；34；
（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，
∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−t10，
∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝t+10−t10＝1；
②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，
∴AP＝tcm，
当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−2t10，
∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，∴t10+10−2t10＝35，解得t＝4；
当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝2t−1010，
∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，∴t10+2t−1010＝35，解得t＝163；
综上所述，t＝4或163；
拓展：设运动时间为t，
∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20，
∴点P的速度:点Q速度＝3:5，
设点P的速度为3x，点Q速度为5x，
∴dP﹣AB＝n＝3xt12，dQ﹣CB＝5xt−128，
∴xt=4n，
∴dQ﹣CB＝5×4n−128＝5n−32．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，新定义问题以及一元一次方程的解法等知识，理解新定义并能运用是本题的关键．
专题4.5 线段中的动点问题专项训练（40道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！
一．解答题（共40小题）
1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
(1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由）
(2)出发几秒后，AP＝3BP？
(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)3；18
(2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP
(3)是；理由见解析
【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB；
（2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可；
（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断．
（1）
解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18．
故答案为：3；18．
（2）
解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t，
∵AP＝3BP，
∴2t＝3（24−2t），
解得t＝9；
②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24，
∵AP＝3BP，
∴2t＝3（2t−24），
解得t＝18．
综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP．
（3）
解：是，理由如下：
设运动时间为x秒，
则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝12PB＝x−12，
∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12，
即MN的值为定值．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)当t=1秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________；
(2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值；
(3)若M为线段AQ的中点，点N为线段BP的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值．
【答案】(1)−4；5；−2
(2)2.4
(3)8
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8﹣12；点P表示的数为8−3t；
（2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝AB，列出方程求解即可；
（3）根据动点P在数轴上运动，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，
故OM=ON，由此可得出结论；
（1）
∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝12，
∴点B表示的数是8−12=−4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8−3×1=5，
∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点Q表示的数是−4+2×1=−2，
故答案为：−4,5,−2；
（2）
设点P运动t秒时，与点Q重合，则AP＝3t，BQ＝2t，
∵AP+BQ=AB，
∴3t+2t=12，
解得：t=2.4，
∴点P运动2.4秒时与点Q重合；
（3）
由（1）知，A表示8，B表示−4，P表示8−3t，Q表示2t−4，
∵ M为AQ中点，
∴ M表示8+2t−42=t+2，
∵ N为BP中点，
∴ N表示−4+8−3t2=2−32t，
∵点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等，
∴ t+2−0=2−32t−0，
即t+2=2−32t，
当t+2=2−32t时，t=0（舍去），
当t+2=−2−32t时，t=8，
答：当t=8时，点M到原点的距离等于点N到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式(a+10)x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
【答案】(1)−10，20，30；
(2)3或75；
(3)252．
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：−10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论．
（1）
解：由题意知：a+10=0，b=20，
∴a=−10，
∴AB的距离为20−−10=30；
故答案为：−10，20，30；
（2）
分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=18，
∵M是AB的中点，
∴AM=15，
∴CM=18−15=3；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=90，
∵AM=15，
∴CM=90−15=75；
综上，CM的长是3或75；
（3）
由题意得：点G表示的数为：：−10+t，点H表示的数为：20+56t，
∵t<30，AB=30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG的中点，
∴点D表示的数为：20+(−10+t)2 = 5+12t，
∵F是DH的中点，
∴点F表示的数为：5+12t+20+56t2=75+4t6，
∵BG=20−10+t=30−t，
∵EG=13BG，
∴EG=30−t3 = 10−13t，
∴点E表示的数为： −10+t+10−13t = 23t，
∴DE+DF=(5+12t)−23t+75+4t6−(5+12t) = 252．
【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．
4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段AB上任意一点，AB=15cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动）
(1)若AP=10cm．
①运动1 s后，求CD的长；
②当点D在线段PB上运动时，试说明：AC=2CD．
(2)如果t=3s时，CD=1cm，试探索AP的长．
【答案】(1)①CD=4cm；②见解析
(2)AP的长为11cm或13cm
【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB−DB即可求出答案；
②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；
（2）当t=3时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
（1）
①当t=1时，CP=2t=2cm，DB=3t=3cm，
∵AP=10cm，AB=15cm，
∴PB=AB−AP=5cm，
∴CD=CP+PB−DB=2+5−3=4cm；
②∵AP=10，AB=15，
∴BP=5，
∵CP=2t，DB=3t，
∴AC=AP−CP=10−2t=25−t，DP=BP−BD=5−3t，
∴CD=CP+DP=2t+5−3t=5−t，
∴AC=2CD．
（2）
当t=3时，CP=2t=6cm，DB=3t=9cm，
当点D在C的右边时，
如图：
CD=CP−PD=CP+AB−AP−DB=6+15−AP−9=1，
∴AP=11cm；
当点D在C的左边时，
如图：
CD=BD−CP−PB=9−6−(15−AP)=1，
∴AP=13cm；
综上可得，AP的长为11cm或13cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键．
5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；
(2)①12．②当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【分析】（1）根据M是线段AP的中点，可得AM=12AP=t，从而得到PB=24−2t，再由PB=AM，即可求解；
（2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当0
（1）
解∶根据题意得：AP=2t，
∵M是线段AP的中点，
∴AM=12AP=t， PB=AB−AP=24−2t．
∵PB=AM，
∴24−2t=t，
解得t=8．
∴当t=8时，PB=AM；
（2）
①当点P在B点左侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=1224−2t=12−t．
∴MN=t+12−t=12．
当点P在B点或B点右侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=122t−24=t−12．
∴MN=t−t−12=12，
综上所述，线段MN的长度为12；
②当PN=2NB时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．
当0
∵PM=PN，
∴t=2324−2t，解得， t=487．
当12
∵PM=2PN，
∴t=2×232t−24，解得， t=965．
当t>48时，
由题意得：PM=t,PN=232t−24，
∵PN=2PM，
∴2t=232t−24，解得，t=−24（舍去）．
综上，当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝12x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝12BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣34BN的值不变；②12PM+34 BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
【答案】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣92和72；(2)正确的结论是：PM﹣34BN的值不变，且值为2.5．
【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得12BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣34BN和②12PM+34BN求出其值即可解答．
【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，
∴AB＝5．
解方程2x+1＝12x﹣5得x＝﹣4．
所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，
①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，
PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，
解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，
所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，
所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝12PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣34BN＝﹣34××（n﹣2），
＝（不变）．
②12PM+34BN＝+34××（n﹣2）＝34n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.
【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝112AB．
【详解】解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的13处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=13AB，
∴PQAB=13
（3）②MNAB的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=12AB，
∴CM=14AB，
∴PM=CM-CP=14AB-5，
∵PD=23AB-10，
∴PN=12（23AB-10）=13AB-5，
∴MN=PN-PM=112AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以MNAB=112ABAB=112.
【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求BCMN的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①AC+BPEF是定值；
②AC−BPEF是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴BCMN＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴BCMN＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴BCMN＝2；
故BCMN＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝12BC﹣AC+AE＝12（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣12AB＝12AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴AC−BPEF＝2．
②
EF＝12BC+CE＝12BC+AE﹣AC＝12（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣12AB﹣12AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴AC−BPEF＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12BC＝AC﹣AE﹣12（AC﹣AB）＝12AC﹣AE+12 12AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴AC−BPEF＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=3AB+2.
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长.
(2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有AC+BD=38，求t的值.
(3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有AB+AP+AC=DP，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由.
【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析.
【分析】（1）根据CD=3AB+2，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入AC+BD=38中解出t即可；
（3）由CD=3AB+2，在点A和C之间有一点P，得到AC=AP+CP，DP=CP+DC=CP+3AB+2，化简即可证明BP为定值.
【详解】解：（1）∵CD=3AB+2，AB=10，
∴CD=3×10+2=32，
∵B为线段AC的中点，
∴AC=2AB=20，
∴AD=AC+CD=20+32=52；
（2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，
∴AC=5t−20+3t=2t−20，BD=10+5t−52+3t=2t−42，
∵AC+BD=38，
∴2t−20+2t−42=38，
①当0≤t＜10时，−2t+20−2t+42=38，解得：t=6，0≤6＜10，成立；
②当10≤t＜21时，2t−20−2t+42=38，方程无解；
③当21≤t时，2t−20+2t−42=38，解得：t=25，21≤25，成立；
t=6或25；
（3）∵CD=3AB+2，在点A和C之间有一点P ，
∴AC=AP+CP，DP=CP+DC=CP+3AB+2，
∴AB+AP+AC=DP
AB+AP+AP+CP=CP+3AB+2
2AP=2AB+2
AP=AB+1
∴BP=1，为定值.
【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题.
10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．
(1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条；
②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；
(3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=32AD时，请直接写出t的值．
【答案】(1) ①6条；②10；(2)MN=12AD−12BC，证明见解析；(3) t=1.
【分析】（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA+PD最小，即P为AD的中点，求出AD的长即可；
(2) 根据M，N分别为AC，BD的中点，得到MC=12AC，BN=12BD，利用MN=MC+BN−BC代入化简即可；
(3) 根据C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，得到AC=3，CD=6，并可得到EC=2t，FD=t，EQ=t+62，代入AQ+AE+AF=32AD，化简则可求出t.
【详解】解：(1) ①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条；
②∵BD=6，BC=1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA+PD的值最小时，P为AD的中点，
∴PA+PD=AD=AC+CD=5+5=10；
(2)MN=12AD−12BC.
如图2示：
∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴MC=12AC，BN=12BD
∴MN=MC+BN−BC
=12AC+12BD−BC
=12AC+BD−BC
=12AB+BC+BD−BC
=12AD−12BC；
(3)如图示：
∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，
∴AC=3，CD=6，
根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t，
则有：EC=2t，FD=t，EQ=EF2=AD−AE−FD2=t+62
当AQ+AE+AF=32AD时，
则有：AE+EQ+AE+AD−FD=32AD
即是：3−2t+t+62+3−2t+9−t=92×9
解之得：t=1.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．
11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，A、B、C三点在数轴上，点A表示的数为−10，点B表示的数为14，点C为线段AB的中点.动点P在数轴上，且点P表示的数为x.
（1）求点C表示的数；
（2）点P从点A出发，向终点B运动.设BP中点为M.请用含x的整式表示线段MC的长.
（3）在（2）的条件下，当x为何值时，AP−CM=2PC？
【答案】（1）2；（2）MC=5+x2；（3）当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标；
（2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度；
（3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值.
【详解】解：（1）点A表示的数为−10，点B表示的数为14，
∴线段AB=14−(−10)=24，
∴点C表示的数为：14−24÷2=2；
（2）根据题意，
点M表示的数为：14+x2，
∴线段MC的长度为：14+x2−2=5+x2；
（3）根据题意，
线段AP的长度为：x+10，
线段MC的长度为：5+x2，
线段PC的长度为：2−x，
∵AP−CM=2PC，
∴x+10−(5+x2)=22−x，
整理得：2−x=14x+52，
①当点P在点C的左边时，x<2，则2−x>0，
∴2−x=14x+52，
解得：x=−25；
②当点P与点C重合时，x=2，
∴14x+52=0，
解得：x=−10（不符合题意，舍去）；
③当点P在点C的右边时，x>2，则2−x<0，
∴x−2=14x+52，
解得：x=6.
∴当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形ABC中，AB=8，BC=16，AC=12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．
（1）当t为多少时，P是AB的中点；
（2）若点Q的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP=2BQ；
（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．
【答案】（1）2；（2）存在，t=125；（3）54或127
【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得；
（2）根据题意可得：当BP=2BQ时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可；
（3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可.
【详解】解：（1）∵AB=8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，
∴当P为AB中点时，
4÷2=2（秒）；
（2）由题意可得：当BP=2BQ时，
P，Q分别在AB，BC上，
∵点Q的运动速度为23个单位长度/秒，
∴点Q只能在BC上运动，
∴BP=8-2t，BQ=23t，
则8-2t=2×23t，
解得t=125，
当点P运动到BC和AC上时，不存在BP=2BQ；
（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图，
AB+BC+CP=8+16+8=32，
此时t=32÷2=16，
∵BC+CQ=16+4=20，
∴a=20÷16=54，
当点P为靠近点C的三等分点时，如图，
AB+BC+CP=8+16+4=28，
此时t=28÷2=14，
∵BC+CQ=16+8=24，
∴a=24÷14=127.
综上：a的值为54或127.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等.
13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，如下图所示已知AC=6AB．
（1）a=_______；b=_______；c=________．
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求BP−AQEF的值．
（3）点P、Q分别自A、B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3
【答案】（1）16，20，-8；（2）BP−AQEF=2；（3）1或0.5
【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及AC=6AB即可求出c的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出BP−AQ的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点P,Q,M,N所表示的数，再用含t，x的式子表示MQ,NT,PT的长，代入MQ−NT=3PT即可求出PT的值．
【详解】（1）由题意得：a−16=0,b=20
则a=16
∴AB=b−a=20−16=4,AC=a−c=16−c
∵AC=6AB
∴16−c=6×4
∴c=−8
故答案为：16；20；−8；
（2）由（1）知，AB=4,AC=16−c=16−(−8)=24,BC=b−c=20−(−8)=28
设运动时间为t秒
如图，由题意得：CP=2t,OQ=3t
∴BP−AQ=(BC−CP)−(AO−OQ)
=(28−2t)−(16−3t)
=12+t
∵点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点
∴AE=12AP=12(AC−CP)=12(24−2t)=12−tBF=12BQ=12(BO−OQ)=12(20−3t)=10−32t
∴EF=AE−AF=AE−(BF−AB)
=12−t−(10−32t−4)
=6+12t
∴BP−AQEF=12+t6+12t=2
故BP−AQEF的值为2；
（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为a−2t=16−2t
点Q所表示的数为b−2t=20−2t
点M所表示的数为6t−8
点N所表示的数为6t−8−2=6t−10
∵3
NT=x−(6t−10)=x−6t+10
PT=16−2t−x
∵MQ−NT=3PT
∴28−8t−(x−6t+10)=316−2t−x
整理得：2+16−2t−x=316−2t−x
∴2+PT=3PT或2−PT=3PT
解得：PT=1或PT=0.5
故此时线段PT的长度为1或0.5．
【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点P,Q,M,N所表示的数是解题关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从点P、B出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上）．
（1）若点C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明点P在线段AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，求PQAB的值；
（3）在（1）的条件下，若点C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时点C停止运动，点D继续运动（点D在线段PB上），点M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM−PN的值不变；②MNAB的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的13处；（2）13或1；（3）结论②MNAB的值不变正确，MNAB=112.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据PD=2AC，可知点P在线段AB上的位置；
（2）由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，当点Q在线段AB上时，等量代换可得AP=BQ，再结合AP=13AB可得PQAB的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得AQ−BQ=AB=PQ，易得PQAB的值.
（3）点C停止运动时，CD=12AB，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知MNAB的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则PD=PB−2t,PC=AP−t，
由PD=2AC得PB−2t=2(AP−t)，即PB=2AP
∵AP+PB=AB，∴AP+2AP=AB，∴3AP=AB，即AP=13AB
所以点P在线段AB的13处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由AQ−BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ
∴PQ=AP=13AB
∴PQAB=13
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
∵AQ−BQ=AB，AQ−BQ=PQ
∴AB=PQ
∴PQAB=1
综合上述，PQAB的值为13或1；
（3）②MNAB的值不变.
由点C、D运动5秒可得CP=5,BD=5×2=10，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点C停止运动时，CD=12AB，
∵点M、N分别是CD、PD的中点，
∴CM=12CD,PN=12PD
∴CM=14AB
∴PM=CM−CP=14AB−5
∵PD=PB−BD=23AB−10
∴PN=12(23AB−10)=13AB−5
∴MN=PN−PM=112AB
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB=112ABAB=112；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点C停止运动时，CD=12AB，
∵点M、N分别是CD、PD的中点，
∴CM=12CD,PN=12PD
∴CM=14AB
∴PM=CP−CM=5−14AB
∵PD=PB−BD=23AB−10
∴PN=12(23AB−10)=13AB−5
∴MN=PN+PM=112AB
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以MNAB=112ABAB=112；
所以②MNAB的值不变正确，MNAB=112.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，a表示数a的点到原点的距离．如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：AB=a−b，这是绝对值的几何意义．已知如图，点A在数轴上对应的数为－3，点B对应的数为2．
（1）求线段AB的长．
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1=12x−2的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB=AB+BC？若存在，求出点M对应的数；若不存在说明理由．
（3）若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断14AP−13NQ的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．
【答案】（1）5；（2）−7或6；（3）随着点N的移动，14AP−13NQ的值不变．
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可．
（2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可．
（3）用点N表示的数n，列出14AP−13NQ关于n的代数式进行讨论解答即可．
【详解】解：（1）∵点A在数轴上对应的数为−3，点B对应的数为2，
∴AB=|−3−2|=5．
（2）存在．
设M点对应的数为m，解方程x+1=12x−2，得x=−6，
∴点C对应的数为−6，
∵MA+MB=AB+BC，
∴|m+3|+|m−2|=|−3−2|+|−6−2|，即，|m+3|+|m−2|=13，
①当m⩽−3时，有−m−3+2−m=13，解得m=−7；
②当−3
（3）设点N对应的数为n，则NA=−n−3，NB=2−n，
∵若点N是数轴上在点A左侧的一点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，
∴NQ=1−12n，则点Q对应的数为12n+1；NP=−13n−1，则P点对应的数为23n−1；
∴AP=−23n−2，则14AP−13NQ=−56．
∴随着点N的移动，14AP−13NQ的值不变．
【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键．
16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【答案】（1）①14，②8，③12或16；（2）−452或252；（3）当时间为54秒时，M代表﹣12，Q代表﹣10，P代表﹣392；当时间为6秒时，M代表﹣10，Q＝﹣48，P代表﹣48
【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离直接写出AB即可；②由P在AB之间，则直接由AB-AP得到BP；③根据点P在A，B之间或者之外分情况讨论即可；
（2）结合题意可知C应该位于线段AB之外，从而分两种情况分别计算即可；
（3）设运动时间为T秒，则分别表示出各线段的长度，从而分三种情况讨论即可．
【详解】（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．
②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．
③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB＋BP＝14＋2＝16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC＋BC＝35，解得x＝−452；
当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC＋BC＝35，解得x＝252
∴C表示的数为−452或252．
（3）设经过时间T秒，则P 点表示﹣12﹣6T，Q点表示﹣8T，M点表示2﹣2T．
当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）＋（2﹣2T），解得T＝54s．
当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）＋（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．
当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，
∴﹣12﹣6T＝﹣8T，
∴T＝6s．
因此，当T＝54秒时，此时，M表示﹣12，Q表示﹣10，P表示﹣392．
当T＝6秒时，此时，M表示﹣10，Q表示﹣48，P表示﹣48．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及动点问题，以及线段中点有关的计算和一元一次方程，能够灵活根据题意进行分类讨论是解题关键．
17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段AB上，且AC:CB=1:2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，则DP=__________cm．
（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒3cm，设运动时间为t秒．
①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长．
②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）DP=5或10cm；（2）①PQ的长为253或53或56或256；②t=52或t=103或t=5．
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意进行分类，分别求出当BQ=5和当BQ=10时t的值即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10
综上：DP=5或10cm．
（2）①当BQ=5时，3t=5，即t=53．
∴AP=t=53，
∴PQ=15−5−53=253．
当BQ=10时，3t=10，即t=103．
∴AP=t=103，
∴PQ=15−5−103=53．
②当P，Q重合前点P是线段AQ的三等分点时，AQ=15−3t，
AP1=1315−3tAP1=t或AP2=2315−3tAP2=t
解得t=52或t=103
当P，Q重合后时点P是线段AQ的三等分点时，
当P，Q重合时，t+3t=15，即t=154．
∴P是线段AQ的三等分点时，AQ=154+3t−15−154=3t−152，
或AP3=233t−152AP3=t或AP3=133t−152AP3=t
解得t=5．
综上述：解得t=52或t=103或t=5．
【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论.
18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．
（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为253或503或752或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；
（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可．
【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1；
（2）① 则线段BP的长为 2t．
② 当P在线段AB上时，有以下两种情况：
如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，
所以50-2t = 2×2t，
解得t=253；
如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，
所以2t=2（50-2t），
解得t=503；
当P在点A左侧时，有以下两种情况：
如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，
所以50=2（2t-50）
解得t=752；
如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，
所以2t-50=2×50，
解得t=75；
综上所述：当t为253或503或752或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键．
19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段AB=12个单位长度．
（1）如图1，点P沿线段AB自点A出发向点B以1个单位长度每秒的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B出发向点A以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？
（3）如图2，AO=3个单位长度，PO=1个单位长度，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿线段BA自B点向A点运动，假若P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
【答案】（1）4；（2）3或5；（3）每秒52个单位长度或每秒45个单位长度
【分析】（1）设经过ts后，点P、Q相遇，根据相遇问题列方程t+2t=12解答；
（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，列方程x+2x+3=12或x+2x−3=12，计算解答；
（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，计算点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s或120+18030=10s，设点Q的速度为y，列方程4y=12−2，或10y=12−4，计算求解即可．
【详解】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
t+2t=12，
解得：t=4．
答：经过4秒钟后，点P、Q相遇；
（2）设经过x秒，P、Q两点相距3个单位长度，
x+2x+3=12或x+2x−3=12，
解得：x=3或x=5．
答：经过3秒钟或5秒钟后，P、Q两点相距3个单位长度．
（3）点P、Q只能在线段AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为：12030=4s或120+18030=10s，
设点Q的速度为y，则有4y=12−2，或10y=12−4，
解得：y=52或y=45，
答：点Q的速度为每秒52个单位长度或每秒45个单位长度．
【点睛】此题考查数轴上动点问题，一元一次方程的实际应用，理解行程问题中的相遇问题的思考方法及解法是解题的关键．
20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点．
（1）当C点运动到AO中点时，求BF长度；
（2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由；
（3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）；
【答案】（1）FE=2，BE=12，BF=14cm（2）2CF=BE（3）①16cm ②4秒
【详解】试题分析： （1）先求出 AO，BO的长，再求当C点运动到AO中点时，AC，CE，OE的长． 根据F为OE中点，即可求出BF的长；
（2）设AC=x，分别表示出CO，OE，FE，CF，BE的长 ，即可得到结论；
（3）①设OF=EF=x，得到OE –nCF=（2-n）x+8n ，可以得到当n=2 时，OE -2CF = 16 cm．
② 根据时间=路程÷速度即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB=24cm，AO：BO=1：2．
∴AO=8，BO=16．当C点运动到AO中点时，AC=4，CE=8，OE=4．
∵F为OE中点，∴FE=2，BE=12，BF=14cm．
（2）设AC=x，CO=8-x，OE=AC=x，FE=FO= FE=FO=12x，CF=8-12x．
BE=24-8-x=16-x ，∴2CF=BE
（3）①设OF=EF=x，OE –nCF=2x-n（x-8）=（2-n）x+8n
当n=2 时， OE -2CF = 16 cm．
② 8÷2=4秒．
点睛：本题考查线段的有关计算，正确理解题意是关键．
21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，Q点从点C开始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16cm，AC=12cm，BC=20cm，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间．
（1）如图1，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA=AP；
（2）如图2，点Q在CA上运动，当t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14；
（3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长．
【答案】（1）4，（2）9，（3）283或4
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
∴t＝4时，AQ＝AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14，
∴12•AB•AQ＝14×12•AB•AC，
∴12×16×（12﹣t）＝18×16×12，解得t＝9．
∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的14．
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝283．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），
综上所述，t＝283或4时，AQ＝BP．
【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点C为线段AB上一点，当CA=3CB或CB=3CA时，我们就规定C为线段AB的“三倍距点”．
如图，在数轴上，点A所表示的数为−3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为___________；
（2）若动点P从点B出发，沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①求AP的长度（用含t的代数式表示）；
②当点A为线段BP的“三倍距点”时，求出t的值．
【答案】（1）-1或3；（2）①AP=8−2t或AP=2t−8；②t=163或16
【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解；
（2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当AP=3AB时，当AB=3AP时，进而分类求解即可．
【详解】解：（1）设点C表示的数为c，
当CA=3CB时，
∴c+3=35−c，解得：c=3，
当CB=3CA时，则有：3c+3=5−c，
解得：c=−1；
故答案为-1或3；
（2）①由题意得：AB=8，
当点P在点A的右侧时，则有AP=8−2t；
当点P在点A的左侧时，则有AP=2t−8；
②设点P表示的数为p，
当AP=3AB时，此时−3−p=3×8，
解得：p=−27，
∴BP=5+27=32，
∴t=322=16；
当AB=3AP时，此时3−3−p=8，
解得：p=−173，
∴BP=5+173=323，
∴t=323÷2=163；
综上所述：当点A为线段BP的“三倍距点”时，t=163或16．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数；
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果）
【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①43，②16．
【分析】（1）根据中点的定义可得；
（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时163秒，据此知点M的运动时间为163秒，再根据路程＝速度×时间可得答案．
【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为−4+122=4，
故答案为：4；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去；
当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，
当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，
即点C表示的数为﹣6或14；
（3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，
由题意知﹣4+t＝12﹣2t，
解得：t=163，
则相遇时点P对应的数为﹣4+163=43；
②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时163秒，
∴点M的运动时间为163秒，
则点M所经过的总路程是3×163=16单位．
【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．
24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足(a+1)2+|b−3|=0．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1)－1，3，4
(2)53或7
(3)①甲：t+1；乙：3−2t或2t−3；②t=23秒或t=4秒
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞32时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤32，（Ⅱ）t＞32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
（1）
因为(a+1)2+|b−3|=0，
所a+1=0,b−3=0，
所以a=−1,b=3；
所以AB的距离＝|b−a|=4，
故答案为：－1，3，4；
（2）
设数轴上点C表示的数为c．
因为AC=2BC，
所以|c−a|=2|c−b|，即|c+1|=2|c−3|．
因为AC=2BC>BC，
所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有−1
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>3，
得c+1=2(c−3)，解得c=7．
故当AC=2BC时，c=53或c=7；
（3）
①因为甲球运动的路程为：1×t=t,OA=1，
所以甲球与原点的距离为：t+1；
乙球到原点的距离分两种情况：
（I）当0
所以乙球到原点的距离为：3−2t；
（I I）当t>32时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−3；
②当0
当t>32时，得t+1=2t−3，
解得t=4．
故当t=23秒或t=4秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，AB=32BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=12AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)
解：∵AB=32BC，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=32BC，解得：BC=16m，
∴AB=32×16=24m．
故答案为：16，24．
(2)
解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，
∴6x=12{8+2x），解得x=45．
答：当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)
解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=32；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=52或x
194．
答：当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当t=1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．
（1）
解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，
∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，
∴3x+2x=9，
解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，
∴3x+2x=15
解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2）
2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ
=12AQ+12BP-PQ
=12（AQ+BP-PQ）-12PQ
=12AB-12PQ
=12（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；
(2)13或1或53或233；
(3)1，2617，167，8．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b；
（2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间；
（3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值；
(1)
解：b是最大的负整数，即b=﹣1，
|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，
∴a=﹣3，c=9，
故答案为：﹣3，﹣1；
(2)
解：AB=2，BC=10，AC=12，
PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，
∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：
由B到A时：x=1÷3=13，
由A到B时：x=3÷3=1，
由B到C时：x=5÷3=53，
由C到B时：x=23÷3=233；
故x的值为:13或1或53或233．
(3)
解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜23），
当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（23≤t＜143），
当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（143≤t≤8），
当M点由A到C运动时M=4t－3，
当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，
PM相遇时3t＋4t=2，t=27，
MN相遇时4t＋5t=12，t=43，
PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=74，
0≤t＜27，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣85舍去；
27＜t＜23，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=78舍去；
23≤t＜43，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；
43＜t＜74，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=2617；
74＜t＜143，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=167；
143≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；
故t的值为：1，2617，167，8．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键．
28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或307或154或458或457或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
（1）
解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）
解：①当N为中点时，CN＝12CD＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝13CD＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝23CD＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）
解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝12AQ，即t＝12（15﹣2t），
解得t＝154；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即t＝13（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即t＝23（15﹣2t），
解得t＝307；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝12AQ，即15﹣2t＝12t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝13AQ，即15﹣2t＝13t，
解得t＝457；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝23AQ，即15﹣2t＝23t，
解得t＝458．
综上所述，t为3或307或154或458或457或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点C在数轴上表示的数是10，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．
(1)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间；
(2)问运动多少秒时BC=2（单位长度）；
(3)设线段AB，CD开始运动后的运动时间为t秒，当t为何值时，恰好满足AD=2BC．
【答案】(1)t=3秒；
(2)①B、C相遇之前：t=7秒，②B、C相遇之后：t=9秒
(3)当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC
【分析】（1）根据线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可；
（2）分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可；
（3）由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，然后分分B、C相遇之前和B、C相遇之后，两种情况讨论求解即可．
（1）
解：B、C相遇后到A点完全离开：
t=AB+CDVAB−VCD=(−6)−(−8)+(14−10)3−1=2+42=3秒
（2）
解：①B、C相遇之前：
t=BC−2VAB−VCD=10−(−6)−23−1=142=7秒
②B、C相遇之后：
t=BC+2VAB−VCD=10−(−6)+23−1=182=9秒
（3）
由题可得，t秒后A，B，C，D可分别表示为：A：−8+3t，B：−6+3t，C：10+t，D：14+t．
则：AD=14+t−−8+3t=22−2t，BC=10+t−−6+3t=16−2t，
①B、C相遇之前，由题可得：
22−2t=216−2t
2t=10
t=5
②B、C相遇之后，由题可得：
22−2t=22t−16
−6t=−54
t=9
综上所述：当t为5秒或9秒后恰好满足AD=2BC．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键．
30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点M位于数轴原点，C点从M点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，D点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点A表示的数为−3，点B表示的数为7，当点C，D运动时间为2秒时，求线段CD的长；
(2)若点A，B分别表示−2，6，运动时间为t，当t为何值时，点D是线段BC的中点．
(3)若AM=14AB，N是数轴上的一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
【答案】(1)CD=3
(2)当t=65时点D是线段BC的中点
(3)MNAB=12或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据CD=CM+MD可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点D是线段BC的中点，列方程求解；
（3）分N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，分别求解．
（1）
解：∵CM=2×1=2，BD=2×3=6，
又∵点A表示−3，点B表示7，
∴AM=3，BM=7
∴MD=BM−BD=7−6=1
∴CD=CM+MD=2+1=3．
（2）
解：∵点A，B分别表示−2，6，
所以AM=2，BM=6，MC=t，BD=3t，MD=6−3t，CD=MD+MC=t+6−3t
当D是BC的中点时CD=BD，即t+6−3t=3t， t=65
∴当t=65时点D是线段BC的中点．
（3）
解：①当点N在线段AB上时，如图
∵AN−BN=MN，
又∵AN−AM=MN
∴BN=AM，
又∵AM=14AB
∴MN=12AB，即MNAB=12
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB
∴MN=AB，即MNAB=1
综上所述MNAB=12或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．
31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1)x=6；
(2)2BM−BP为定值24；
(3)MN=12．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=12PB=x−12，再根据MN=PM-PN即可求解．
（1）
解：∵M是线段AP的中点，∴AM=12AP=x，
PB=AB−AP=24−2x，
∵PB=2AM，
∴24−2x=2x，
解得x=6．
（2）
解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，
∴2BM−BP=224−x−24−2x=24，
即2BM−BP为定值24．
（3）
解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=12PB=x−12，
∴MN=PM−PN=x−x−12=12，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．
32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知AB=20，BC=80，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示线段AM的长度为________；
(2)当t为何值时，M、N两点重合?
(3)若点Р为AM中点，点Q为BN中点．问：是否存在时间t，使PQ长度为5?若存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50
【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；
（2）根据题意可得出BM=t，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤50．由此可求出AQ=AB+BQ=20+12t．再根据PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，即可列出关于t的等式，解出t即可．
（1）
∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴AM=2t．
故答案为：2t；
（2）
根据题意可知BN=t．
当M、N两点重合时，有2t=20+t，
解得：t=20．
故t为20时，M、N两点重合；
（3）
根据题意可得：PA=12AM=t，BQ=12BN=12t，且t≤20+802=50．
∴AQ=AB+BQ=20+12t．
∴PQ=AQ−AP或PQ=AP−AQ，
即5=20+12t−t或5=t−20−12t
解得：t=30或t=50．
故存在时间t，使PQ长度为5，此时t的值为30或50．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”．
(1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”）
(2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒．
①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？
②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值．
【答案】(1)是
(2)①t=94或3或32；②187、1811秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒
【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可；
（2）①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t, 再分三种情况；当AB=2AP时， 当AP=2BP时， 当BP=2AP时， 再列方程求解即可；②当P与Q相遇时，则 t=6, 再分两种情况讨论：当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t, 当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18, 再列方程求解即可.
（1）
解：如图，D为AB的中点，
所以AB=2AD=2BD,
所以D是AB的“倍分点”，
故答案：是；
（2）
①由题意得：AB=18, AP=4t,BP=18−4t,
当AB=2AP时，此时AB=2BP，8t=18, 解得t=94,
当AP=2BP时，4t=2(18−4t), 解得：t=3,
当BP=2AP时，18−4t=8t, 解得：t=32,
综上：当t=94s或t=3s或t=32s时，点P是线段AB的“倍分点”.
②当P与Q相遇时，4t−t=18, 解得：t=6,
当0≤t≤6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=18−3t,
当AQ=2AP=2PQ时，18+t=8t, 解得：t=187,
当AP=2PQ时，4t=2(18−3t), 解得：t=3.6,
当PQ=2AP时，18−3t=8t, 解得：t=1811,
当t>6时，AP=4t,AQ=18+t,PQ=3t−18,
当AP=2AQ=2PQ时，4t=2(18+t), 解得：t=18,
当AQ=2PQ时，18+t=2(3t−18), 解得：t=10.8,
当PQ=2AQ时，3t−18=2(18+t), 解得：t=54,
综上：当t=187s或t=3.6s或t=1811s或t=18s或t=10.8s或t=54s，点P是线段AQ的“倍分点”.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键.
34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm．点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做往返运动（即沿C→B→C→B→⋯运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动．设点M运动的时间为t（s）．
(1)当t=1时，求MN的长．
(2)当点C为线段MN的中点时，求t的值．
(3)若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)7 cm
(2)2或143
(3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=143；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
（1）
解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）
如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得：t=143； 综上所述，当t=2或143时，点C为线段MN的中点．
（3）
如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足m−4+n−82=0，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分M′在N′的左侧和M′在N′的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，分段讨论即可求解．
（1）
解：∵m−4+n−82=0，
∴m−4=0，n−82=0，
∴m=4，n=8，
∴AB=4，CD=8，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）
解：∵AB=4，CD=8，
∴MB=12AB=2，CN=12CD=4，
设运动后点M对应点为M′，点N对应点为N′，分两种情况，
若6秒后，M′在N′的左侧时：MN+NN′=MM′+M′N′，
∴MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，
即2+BC+4+6×1=6×4+4，
解得BC=16．
若6秒后，M′在N′的右侧时：MM′=MN+NN′+M′N′，
∴MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，
即6×4=2+BC+4+6×1+4，
解得BC=8．
即线段BC的长为16或8；
（3）
解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，
∴MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，MN=30−4t，AD=36−4t，
当0≤t<7.5时，MN+AD=30−4t+36−4t=66−8t；
当7.5≤t≤9时，MN+AD=4t−30+36−4t=6；
当t>9时，MN+AD=4t−30+4t−36=8t−66；
故当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数a、b满足：a+32+5−b=0．
(1)当AC的长度为6个单位长度时，则a= ，b= ， ．
(2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？
(3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值．
【答案】(1)−3，5，3或-9
(2)7或1
(3)1或2或3或5.5或5.75
【分析】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；
（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况讨论，即可求解．
（1）
解：∵a+32+5−b=0，
∴a+32=0，5−b=0
∴a=−3， b=5，
又∵AC=6，
∴c=3或−9
故答案为：−3，5，3或-9．
（2）
∵点P是AB的中点，
∴点P表示的数是1，
当点c=−9时，AC=6，
∵点Q是AC的中点，
∴点Q表示的数是-6
∴PQ的长度是7
同理可得：PQ的长度是1．
（3）
点N从出发到返回原点O并停止运动的时间为：5×2÷2=5（秒）
点M从出发到运动结束的时间为：5+1=6（秒）
点M从点A出发到达点B用时：8÷4=2（秒）
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时：6-2-3=1（秒）
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）为：8÷1=8
点M从点B开始加快速度返回点A时，点N到达点O并已停止
①当M和N都向点B运动时：MN=2t-（4t-3）=1或4t-3-2t=1，t=1或t=2
②当点M到达点B停留3秒时，点N正返回原点O，2t=5+1，t=3
③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，
此时点N已到原点O并停止距离点B为5，
设点M从点B出发运动x秒时MN=1，则
5−8x=1或8x-5=1
x=0.5或x=0.75
所以t=5+0.5=5.5或t=5+0.75=5.75
∴当MN=1时t的值为1或2或3或5.5或5.75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是的熟练掌握非负数的性质和两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．
37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
(1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求OB−APEF的值．
【答案】(1)经过45s后P、Q两点相遇
(2)v＝56cm/s或v＝514cm/s
(3)2
【分析】（1）根据题意P,Q的路程和为OM的长，据此列出方程，解方程即可求解；
（2）设Q的速度为vcm/s，经过ts后，若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，根据点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，可得1202＝135﹣vt，根据PA＝2PB，建立绝对值方程，解方程并检验即可求解；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，根据题意点E对应数轴上的数是12t，点F对应数轴上的数是120+302＝75，进而用含t的式子表示EF,AP,OB，代入OB−APEF即可求解．
（1）
解：设经过ts，P、Q两点相遇，
∴2t+t＝30+90+15，
解得：t＝45，
答：经过45s后P、Q两点相遇．
（2）
设Q的速度为vcm/s，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，
∴点P对应数轴上的数是t，点Q对应数轴上的135﹣vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
∴1202＝135﹣vt，
∴vt＝75，
∵PA＝2PB，
∴|t﹣30|＝2|t﹣120|，
∴解得：t＝90或t＝210，
当t＝90s时，90v＝75，
∴v＝56，
而点Q到达O点所需要时间为13556＝142s＞90s，
当t＝210时，210v＝75，
∴v＝514，
而点Q到达O点所需要的时间为135514＝378＞210s，
综上所述，v＝56cm/s或v＝514cm/s；
（3）
设经过ts时，点P在AB之间，
点O对应数轴上的数是0，点A对应数轴上的数是30，点B对应数轴上的数是120，点C对应数轴上的数是135，
∴点P对应数轴上的数是t，
∵OP和AB的中点E，F，
∴点E对应数轴上的数是12t，点F对应数轴上的数是120+302＝75，
∴EF＝75﹣12t，AP＝t﹣30，OB＝120，
∴OB−APEF＝120−(t−30)75−12t＝2．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练运用两点间的距离公式，转化为数轴上的动点问题．
38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？
(2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
(3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1或2
(2)1.5秒
(3)3.5或5
【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论；
（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
(1)
解：设运动t秒时，BC=2单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：3t+2+t=6，
解得：t=1；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：3t﹣2+t=6，
解得：t=2．
(2)
解：（2+4）÷（3+1）=1.5（秒）．
答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过1.5秒长时间．
(3)
解：存在BD-AP=3PC，
设运动时间为t秒，
①当t=（4+2）÷（3+1）=1.5时，点B和点C重合，BD=CD=4，
∵点P在线段AB上，
∴0＜PC≤2，
∴PA+3PC=PA+PB+2PC=AB+2PC=2+2PC，
∴当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC；
此时PD=5，
②当1.5＜t＜2.5时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段BC上时，
∵BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∴4-BC=2-BC+4PC，
∴PC=0.5，有BD=AP+3PC，
故PD=3.5时，BD-AP=3PC，
③当t=2.5时，点A与点C重合，0＜PC≤2，
∵BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∴4PC=2，
∴PC=0.5，有BD=AP+3PC，
故BD-AP=3PC，
此时PD=3.5，
综上所述，线段PD的长为3.5或5．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题．
同．
39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
问：
（1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ；
（2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】（1）15；4（2）t的值为2、3.5、5或17.
【分析】（1）根据路程除以速度等于时，可得答案；根据相遇时P,Q的时间相等，可得方程，解出即可.
（2）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，解出即可.
【详解】（1）点P运动至点C时，所需时间t=6÷2+10÷1+4÷2=15（s），
答：动点P从点A运动至C点需要15秒；
由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x．
则6÷2+x÷1=4÷1+（10-x）÷2，
x=4，
答：M所对应的数为4．
（2）P点运动完时间：6÷2+10÷1+4÷2=15（s）
Q点运动完时间：4÷1+10÷2+6÷1=15（s）
P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有以下可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，
则：4-1t=6-2t，解得：t=2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，
则：4-1t=1×（t-3），解得：t=3.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，
则：2（t-4）=1×（t-3），解得：t=5．
④动点Q在OA上，动点P在OB上，
则：1×（t-9）+10=1×（t-3），无解
④动点Q在OA上，动点P在BC上，
则：1×（t-9）+10=2×（t-13）+10，解得：t=17，
综上所述：t的值为2、3.5、5或17．
【点睛】本题考查动点问题，关键在于分段讨论，弄清楚每一段的时间及点所在的位置.
40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝12AB，则dC﹣AB＝12；反过来，当dC﹣AB＝12时，则有AC＝12AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义．
应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝23，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ；
（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝35？
拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．
【答案】应用：（1）23；34；（2）①dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−t10，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或163；拓展：dQ﹣CB＝5n−32．
【分析】应用：（1）根据dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义，进行解答即可；
（2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定义可求解；
②分t＜5与t≥5两种情况，根据定义可得dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−2t10（t＜5），dQ﹣AB＝2t−1010（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，列出方程即可求解；
拓展：设运动时间为t，由题意点P、Q同时到达点B，可设点P的速度为3x，点Q速度为5x，可得dP﹣AB＝n＝3xt12，dQ﹣CB＝5xt−128，求解即可．
【详解】解：应用：（1）∵dC﹣AB＝23，∴AC＝23AB，
∵AC＝3BC，∴AC＝34AB，∴dC﹣AB＝34，
故答案为：23；34；
（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，
∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−t10，
∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝t+10−t10＝1；
②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，
∴AP＝tcm，
当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝10−2t10，
∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，∴t10+10−2t10＝35，解得t＝4；
当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm，
∴dP﹣AB＝t10，dQ﹣AB＝2t−1010，
∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝35，∴t10+2t−1010＝35，解得t＝163；
综上所述，t＝4或163；
拓展：设运动时间为t，
∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20，
∴点P的速度:点Q速度＝3:5，
设点P的速度为3x，点Q速度为5x，
∴dP﹣AB＝n＝3xt12，dQ﹣CB＝5xt−128，
∴xt=4n，
∴dQ﹣CB＝5×4n−128＝5n−32．
【点睛】本题考查了线段的和差运算，新定义问题以及一元一次方程的解法等知识，理解新定义并能运用是本题的关键．
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