专题1.3整式的加减应用及综合问题八大核心考点精讲精练-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】

2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题1.3整式的加减应用及综合问题八大核心考点精讲精练

（知识梳理+典例剖析+变式训练）

【目标导航】

【知识梳理】

1.代数式求值

（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．

（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．

（3）题型简单总结以下三种：

2.整式加减的应用主要考查的题型有：

（1）整体思想在整式加减中的应用

（2）代数式求值问题

（3）整式加减中的无关性问题

（4）整式的应用——面积问题

（5）整式的应用——销售问题

（6）整式的应用——方案比较问题

（7）探索规律——数字变化问题

（8）探索规律——图形变化问题

【典例剖析】

【考点1】整体思想在整式加减中的应用

【例1】（2020秋•滨海新区期末）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

请尝试：

（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是　     　；

（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x的值；

（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．

【变式1.1】（2022秋•香洲区期中）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：

（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是 　   　．

（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x﹣10的值；

（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．

【变式1.2】（2022秋•张湾区期中）阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：

原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．把式子5a+3b＝﹣4两边同乘以2，得10a+6b＝﹣8．

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

（1）已知a2+a＝0，求2a2+2a+2017的值；

（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣a+b+5的值；

【变式1.3】（2022秋•石阡县期中）[阅读材料]

我们知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．“整体思想”是解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

[尝试应用]

（1）把（a﹣b）2看成一个整体，将3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2合并同类项，结果是 　   　；

（2）已知x2+2y＝5，求3x2+6y﹣21的值；

[拓展探索]

（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣c）﹣（2b﹣d）的值．

【考点2】代数式求值问题

【例2】（2020秋•平山县期中）已知a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，试求a2+2ab+b2与a2﹣b2的值．

【变式2.1】通过计算填写下表．

请你根据上表，直接写出a2与（a）2之间的数量关系；并验证当a时，上式是否成立？

【变式2.2】请根据图示的对话，解答下列问题．

我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是8﹣a+b﹣c．

我告诉你，a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是﹣8．

（1）求a，b的值；

（2）求8﹣a+b﹣c的值．

【变式2.3】（2022秋•南开区期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．

（Ⅰ）化简：2A﹣B；

（Ⅱ）若x+y，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．

【考点3】整式加减中的无关性问题

【例3】（2019秋•黄冈期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2．

（1）化简4A﹣（3A﹣2B）；

（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．

【变式3.1】（2022秋•东港区校级期中）有这样一道题：当a＝2，b＝﹣2时，求多项式的值，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝﹣2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．

【变式3.2】（2022秋•丹徒区期中）已知：A＝x2+2x﹣1，B＝3x2﹣2ax+1．

（1）当x＝1，a＝﹣3时，求B的值；

（2）用含a，x的代数式表示3A﹣B；

（3）若3A﹣B的值与x无关，求a的值．

【变式3.3】（2022秋•石阡县期中）已知M＝x2﹣ax﹣1，N＝3x2﹣2ax﹣2x﹣1．

（1）求N﹣（N﹣2M）；

（2）若多项式3M﹣N的值与字母x的取值无关，求a的值．

【考点4】整式的应用——面积问题

【例4】（2018秋•曲阳县期末）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b

（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：

①长方形ABCD的面积；

②S2﹣S1的值．

（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．

【变式4.1】（2022秋•社旗县期中）某校开展了丰富多样的劳动实践课．八（1）班在边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b米的正方形空地种植萝卜，其余的地方种植白菜．

（1）先画出本题的示意图．

（2）用含a、b的代数式表示种植白菜的面积．

（3）当a＝6.4米、b＝1.8米时，计算种植白菜的面积．

【变式4.2】（2022秋•历下区期中）小磊房间窗户的装饰物如图阴影部分所示，它们由两个半径相同的四分之一圆组成（单位：米）．

（1）请用字母表示装饰物的面积（结果保留π）：　   　；

（2）请用字母表示窗户能射进阳光的部分面积（结果保留π）：　   　；

（3）若a，b＝2时，请求出窗户能射进阳光的面积（π取3）．

【变式4.3】（2022秋•高港区期中）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“5”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示．

（1）用含a、b的代数式表示新矩形的周长；

（2）当a＝4，b＝1时，求新矩形的周长．

【考点5】整式的应用——销售问题

【例5】（2020秋•岐山县期中）某商店销售一种商品，每件成本a元，每件先按成本增加b元定出售价，销售了20件．后来由于库存积压，在原售价的基础上降价20%出售，又销售了50件．请用含a，b的代数式表示．

（1）该商店销售70件这种商品的总销售额为多少元？

（2）销售70件这种商品，该商店共盈利多少元？

【变式5.1】（2022秋•盐城期中）随着北京冬奥会周边“冰墩墩”不断售罄，某玩具加工厂打算紧急招聘了80名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据市场行情，普通款每件利润为150元，升级款每件利润为350元，设每天生产升级款x件．

（1）根据信息填表：

（2）当x＝30时，工厂每日的利润可达到多少元？

【变式5.2】（2022秋•长汀县期中）某农户去年承包荒山若干亩，投资17800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售2000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其他各项税费平均每天400元．

（1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入？

（2）若a＝2.6，b＝2.1，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．

（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到25000元，那么纯收入增长率是多少？（纯收入＝总收入﹣总支出，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售）

【变式5.3】（2022秋•青云谱区期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：

（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 　   　元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 　   　元；

（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　   　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　   　元（用含x的代数式表示并化简）；

（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？

【考点6】整式的应用——方案比较问题

【例6】（2019秋•南召县期末）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；

方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．

现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．

（1）若该客户按方案一购买，需付款　（200x+6000）　元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款　（180x+7200）　元．（用含x的代数式表示）

（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？

【变式6.1】（2022秋•未央区校级期中）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10双和运动袜x双（x＞10）．

（1）若该客户按方案一购买，需付款 　   　元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付款 　   　元．（需化简）

（2）当x＝20时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？

【变式6.2】（2022秋•临潼区期中）青少年活动中心为了满足乒乓球社团活动的需要，决定购置某品牌乒乓球拍和乒乓球．以阳呼乒乓球拍每副定价90元，乒乓球每个定价20元．现有A、B两个体育店出售这种品牌，并提出了各自的优惠方案．具体如下：

A店乒乓球拍和乒乓球都按定价的8折付款；B店买一副乒乓球拍送4个乒乓球．

已知该青少年活动中心共购买乒乓球拍50副，乒乓球x个（x＞200）．

（1）求在A店、B店购买各需付多少元钱（用含x的式子表示）？

（2）当x＝500时，在哪家购买划算．

【变式6.3】（2022秋•黄冈期中）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；

方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．

现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．

（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）

（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？

【考点7】探索规律——数字变化问题

【例7】（2020秋•莲湖区期中）观察下列等式：

1，，，

将以上三个等式两边分别相加得：

11．

（1）猜想并写出：　　．

（2）直接写出计算结果：　　；

（3）探究并计算：

①．

②．

【变式7.1】（2022秋•顺德区校级期中）定义一种新运算“f”：f（n）表示n在运算f作用下的结果．若f（n）＝n2﹣（n﹣1）2表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：f（1）＝12﹣（t﹣1）2＝1，f（2）＝22﹣（2﹣1）2＝3，f（3）＝32﹣（3﹣1）2＝5，……

根据以上定义完成以下问题：

（1）计算f（20）的值；

（2）计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f（20）的值；

（3）计算的值．

【变式7.2】（2022秋•龙口市期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2100．

首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100①，

则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②，

②﹣①得S＝2101﹣1，

即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．

以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．

请你根据上面的材料，解决下列问题：

（1）1+2+22+23+24+…+22000．

（2）1（）2+（）3+（）4+…+（）2000；

（3）求1+3+32+33+34+…+32022的值．

【变式7.3】（2022秋•黄陂区期中）观察下列四行数，回答下面的问题：

﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；①

0，6，﹣6，18，﹣30，…；②

﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…；③

3，﹣3，9，﹣15，33，…；④

（1）第①行数的第7个数是 　   　；

（2）设第①行第n个数为a，写出第②行数的第n个数是 　   　（用含a的式子表示）；

（3）取每行数中的第m个数，则第①②④行这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请你求出m的值，如果不能，请说明理由；

（4）若第③行连续三个数的和恰为﹣192，直接写出这三个数分别为 　   　．

【考点8】探索规律——图形变化问题

【例8】（2019秋•海州区校级期中）列代数式表示

（1）某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为　（16a﹣20）　元．

（2）如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，搭n个这样的三角形的需要火柴棒根数为　2n+1　．

（3）用代数式表示：①a与b的差的平方：　（a﹣b）2　；②a的立方与﹣1的和　a3﹣1　．

【变式8.1】（2022秋•安徽期中）（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片；

第（2）个图形中有2（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；

第（3）个图形中有2（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；

第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片．

请你观察上述图形与算式，完成下列问题：

（规律归纳）

（1）第（6）个图形中有 　   　张正方形纸片（直接写出结果）；

（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+…+n＝　   　（用含n的代数式表示）；

（3）（规律应用）根据你的发现计算：121+122+123+…+400．

【变式8.2】（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．

（1）按图示规律完成下表：

（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 　   　根火柴棒．（用含n的代数式表示）

（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．

【变式8.3】（2022秋•无为市期中）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：

（1）图案④中黑色五边形有 　   　个，白色五边形有 　   　个；

（2）图案n中黑色五边形有 　   　个，白色五边形有 　   　个；（用含n的式子表示）

（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．