第17课 弧长及扇形的面积-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第17课 弧长及扇形的面积

目标导航


学习目标
1.经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程.
2.掌握弧长和扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.

知识精讲


知识点01 弧长公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．
知识点02 扇形的面积公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR.
能力拓展
考点01 弧长的计算
【典例1】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】由圆周角定理求出OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，再根据弧长公式进行计算即可．
【解析】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝1，
∴的长为＝，
故选：A．

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
【即学即练1】如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．

【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠AOD＝50°，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质可求出∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，由圆周角定理可得答案；
（2）根据弧长公式进行计算即可．
【解析】解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
因此的长为＝．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的前提．
考点02 扇形面积的计算
【典例2】如果一个扇形的弧长等于它的半径的倍，那么此扇形称为“优雅扇形”，则半径为2的“优雅扇形”的面积为（　　）
A．π B． C．π D．2
【思路点拨】根据扇形的面积公式S＝lr，其中l＝r，求解即可．
【解析】解：∵S＝lr，
∴S＝×2××2＝2，
故选：D．
【点睛】本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．
【即学即练2】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，连结OB，求图中扇形BOC的面积．

【思路点拨】（1）先根据垂径定理得出BE＝CE，＝，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先解直角三角形得出OC的长，再求出∠BOC的度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【解析】解：（1）∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，＝，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵BC＝8cm，
∴CE＝BC＝4cm，
∵∠AOC＝60°，
∴OC＝8cm，
∵∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴S扇形OBC＝＝π（cm2）．
【点睛】本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，解直角三角形等，熟知以上知识是解答此题的关键．
考点03 组合图形的面积
【典例3】如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若图中阴影部分的面积为10π，则∠CDE＝（　　）

A．30° B．36° C．54° D．45°
【思路点拨】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得∠BOC＝36°，然后根据求得三角形的性质以及平行线的性质即可求得∠CDE＝36°．
【解析】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，
在△DOE与△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SAS），
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积＝10π，
∴＝10π，
∴n＝36，
∴∠BOC＝36°，
∵△DOE≌△CEO，
∴∠DEO＝∠BOC＝36°，
∵CD∥OE，
∴∠CDE＝∠DEO＝36°，
故选：B．

【点睛】本题考查了扇形的面积，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
【即学即练3】如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC．
（1）求剪出的扇形ABC的周长．
（2）求被剪掉的阴影部分的面积．

【思路点拨】（1）连接BC，首先证明BC是直径，求出AB，AC，利用弧长公式求出弧BC的长即可解决问题．
（2）根据S阴＝S圆O﹣S扇形ABC计算机可解决问题．
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝20cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝10，
∴的长＝＝5π，
∴扇形ABC的周长＝（20+5π）cm．
（2）S阴＝S圆O﹣S扇形ABC＝π•102﹣＝50πcm2．

【点睛】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

分层提分


题组A 基础过关练
1．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的弧长是（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【思路点拨】根据弧长的计算方法进行计算即可．
【解析】解：由弧长公式可知，
l＝＝4π，
故选：B．
【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的关键．
2．若扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．3π
【思路点拨】利用扇形面积公式求解即可．
【解析】解：这个扇形的面积＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝．
3．已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【思路点拨】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解析】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
＝12π，
解得l＝4π，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
4．如图，C是⊙O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【思路点拨】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠ADB，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由弧长计算公式求解即可．
【解析】解：
如图，作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵A、D、B、C四点共圆，∠ACB＝120°，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝60°．
∴∠AOB＝2∠D＝120°．
∴劣弧AB的长度为：＝
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长的计算，能正确作出辅助线是解此题的突破口．
5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝即可得出答案．
【解析】解：如图，连结CO，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠C＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°，
∵直径AB＝6，
∴半径r＝3，
∴长＝＝，
故选：C．

【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．
6．把长度为2π的一根铁丝弯成圆心角是120°的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】设半径为R，利用弧长公式构建方程求出R即可．
【解析】解：设半径为R．
由题意，2π＝，
∴R＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．
7．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（　　）

A．14π B．7π C． D．2π
【思路点拨】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解析】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
8．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）

A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【思路点拨】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积＝无阴影两部分的面积之差，即﹣1＝．
【解析】解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
9．已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 　100°　．
【思路点拨】根据弧长的公式l＝，代入计算即可．
【解析】解：∵弧长的公式l＝，
∴弧长的公式π＝，
解得，n＝100，
故该弧所对的圆心角度数为100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了弧长的公式计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
10．如图，△ABC中，CA＝CB，以AB为直径的⊙O分别交CA，CB于点D，E．
（1）求证：＝；
（2）若∠C＝50°，半径OA＝3，求的长．

【思路点拨】（1）由CA＝CB，推出∠A＝∠B，推出＝，可得结论；
（2）求出圆心角∠DOE＝80°，再利用弧长公式求解．
【解析】（1）证明：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）解：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝65°，
∵OA＝OD＝OB＝OE，
∴∠ADO＝∠A＝65°，∠B＝∠OEB＝65°．
∴∠AOD＝∠EOB＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠DOE＝180°﹣2×50°＝80°，
∴的长＝＝π．
【点睛】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，记住弧长公式l＝．

题组B 能力提升练
11．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的弧长是（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【思路点拨】根据扇形面积公式求得半径R，再根据弧长的公式求弧长即可．
【解析】解：令扇形的半径为R，弧长为l，
∵S＝＝12π，
∴R＝6，
∴l＝＝4π．
∴扇形的弧长为4π．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
12．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，D为垂足，AB＝9cm，则的长为（　　）

A．6πcm B．3πcm C．4πcm D．2πcm
【思路点拨】连接OA、OB，先求出∠OAB＝∠OBA＝30°，得到∠AOB，再求出OA＝3cm，然后代入弧长公式计算即可．
【解析】解：连接OA、OB．
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴∠ADO＝∠BDO＝90°，OD＝OC＝OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°．
∵OC⊥AB，
∴AD＝AB＝cm，
∴OA＝3（cm），
∴的长为＝＝2π（cm）．
故选：D．

【点睛】本题主要考查垂径定理、锐角三角函数，弧长公式，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形．
13．如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm，经过35分钟，分针针尖转过的弧长是（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】根据弧长公式可求得．弧长公式为l＝．
【解析】解：l＝＝＝π（cm）．
故选：D．
【点睛】主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为l＝，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°．
14．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B'处，点C的对应点为点C'，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可．
【解析】解：连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图，

∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'，
∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）
＝﹣（﹣）
＝π+，
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S＝．
15．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

【思路点拨】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD＝．
在Rt△ODE中，∠DOE＝60°
∴DE＝，
∴S△BOD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．
∴S阴影＝．

【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．

题组C 培优拔尖练
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【思路点拨】求出∠DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【解析】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查弧长的计算，锐角三角函数，矩形的性质等知识，本题中根据BE、AE的长结合三角函数求出∠AEB的度数是解题关键．
17．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】连接OD，根据轴对称的性质得到AD＝OA，根据等边三角形的性质求出∠AOD＝60°，结合图形求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案．
【解析】解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴的长＝＝π，
故选：B．

【点睛】本题考查的是弧长的计算、轴对称的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
18．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上（E不与B、D重合），若AD＝3，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】连接AC，AF，根据正方形的性质得出∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC＝90°，求出∠FAC＝45°，再根据弧长公式求出答案即可．
【解析】解：连接AC、AF，
∵四边形ABCD是正方形，AD＝3，
∴∠DAC＝45°，AD＝CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝3，

∵正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上（E不与B、D重合），
∴E在AC上，F在直线AD上，
∴的长是＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长公式等知识点，能求出AC长和旋转角的度数是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．
19．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，CD＝6，则图中阴影部分面积为（　　）

A．π﹣24 B．9π C．π﹣12 D．9π﹣6
【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根据垂径定理求出AE、CF，再利用勾股定理列式求出OE＝OF，从而得到AE＝OF，OE＝CF，然后利用“边角边”证明△AOE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE＝∠OCF，再求出∠AOE+∠COF＝90°，然后求出∠AOB+∠COD＝180°，把弧CD旋转到点D与点B重合，构建直角三角形ABC；然后根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式来求阴影部分的面积：阴影面积＝半圆面积﹣直角三角形ABC的面积．
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，
由垂径定理得，AE＝AB＝×8＝4，
CF＝CD＝×6＝3，
由勾股定理得，OE＝＝＝3，
OF＝＝＝4，
∴AE＝OF，OE＝CF，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（SAS），
∴∠AOE＝∠OCF，
∵∠OCF+∠COF＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝2（∠AOE+∠COF）＝2×90°＝180°，
把弧CD旋转到点D与点B重合．
∴△ABC为直角三角形，且AC为圆的直径；
∵AB＝8，CD＝6，
∴AC＝10（勾股定理），
∴阴影部分的面积＝S半圆﹣S△ABC＝π×52﹣×6×8＝π﹣24；
故选：A．


【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理和扇形的面积公式，作辅助线构造成全等三角形并求出两个阴影部分的圆心角的和等于180°，推知三角形ABC是直角三角形是解题的关键．
20．如图，圆P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且AB＝12，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB的两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为（　　）

A．0 B．36π C． D．6π
【思路点拨】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE＝BE＝AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF＝BC＝AB，DF＝AE，根据圆环的面积公式即可得出结论．
【解析】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．

∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ADF＝∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF＝AE＝6，
∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．
∴S＝π•PD2﹣πPF2＝π（PD2﹣PF2）＝πDF2＝36π，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．
21．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长．

【思路点拨】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．
（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD＝∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD＝∠BOD，所以AD＝BD，∠ABD＝∠BAD＝45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．
【解析】解：（1）如图，连接OC，OD，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB=10，AC=5，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
∴的长＝＝π．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
在Rt△ABD中，
BD＝AB×＝5．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握性质定理以及公式．